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Módulo ou valor absoluto de um número e as equações

Módulo ou valor absoluto de um número e as equações. Recorda o que se entende por módulo ou valor absoluto, completando a respetiva definição:. Módulo ou valor absoluto de um número . é a distância desse número à origem (ponto zero). Exemplo:. | – 3| = 3 e | 3| = 3 .

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Módulo ou valor absoluto de um número e as equações

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  1. Módulo ou valor absoluto de um número e as equações

  2. Recorda o que se entende por módulo ou valor absoluto, completando a respetiva definição: Módulo ou valor absoluto de um número é a distância desse número à origem (ponto zero). Exemplo: | – 3| = 3 e | 3| = 3

  3. O que se entende por | x | = 4 ? • Quais são os números cujo valor absoluto é 4? • Quais são os números cujo módulo é 4? • Quais são os números cuja distância a zero é 4? Esta última forma de linguagem foi utilizada pela primeira vez no 7.º ano de escolaridade (revê).

  4. Uma representação na reta real, do que nos é pedido, ajuda-nos a deduzir a solução: Os pontos que distam 4 unidades da origem são o -4 e o 4. Simbolicamente, podemos escrever: • | x | = 4 ⇔ x = 4 ∨ x = – 4 S = {– 4 ; 4 }

  5. Vejamos um outro exemplo: | x | = 0 • Quais são os números cujo valor absoluto é 0? • Quais são os números cujo módulo é 0? • Quais são os números cuja distância a zero é 0? A resposta é: só o número 0. Simbolicamente: | x | = 0 ⇔ x = 0 S = {0}

  6. Vejamos um último exemplo: | x | = – 4 • Quais são os números cujo valor absoluto é – 4? • Quais são os números cujo módulo é – 4? • Quais são os números cuja distância a zero é – 4? Obviamente não existe qualquer número nestas condições, dado que o módulo ou valor absoluto de um número é sempre um número não negativo. Logo a equação é impossível. S = { }

  7. Generalizando: • Se a< 0, então | x| = aé uma equação impossível S = { } • Se a> 0, então | x| = a⇔ x = a∨ x= – a S = {– a; a} • Se a= 0, então | x| = 0 ⇔ x = 0 S = {0}

  8. Módulo ou valor absoluto de um número e as inequações

  9. Procuremos resolver a inequação | x | < 4. O que se entende por | x | < 4? • Quais são os números cujo valor absoluto é inferior a 4? • Quais são os números cuja distância a zero é inferior a 4? Usar a reta real ajuda-nos a encontrar a solução:

  10. Observamos que os números pretendidos são todos os números entre – 4 e 4. Podemos escrever que os números reais que são solução são: – 4 < x < 4 que é o mesmo que: x < 4 ∧ x > – 4 Simbolicamente: | x | < 4 ⇔ x < 4 ∧ x > – 4 S = ] – 4 ; 4 [

  11. Vê agora o exemplo | x | > 4 O que se entende por | x | > 4? • Quais são os números cujo valor absoluto é superior a 4? • Quais são os números cuja distância a zero é superior a 4? Usar a reta real ajuda-nos a encontrar a solução:

  12. Observamos que os números pretendidos são todos os números menores que – 4 ou maiores que 4. Podemos escrever que os números reais que são solução são: x < – 4 ⋁ x > 4 Simbolicamente: | x | > 4 ⇔ x < – 4 ⋁ x > 4 S = ] – ∞; - 4 [ ∪ ] 4; + ∞[

  13. Generalizando: • Se a> 0, então | x| <a⇔ x < a ∧x > – a ⇔ -a < x < a S = ]– a; a [ • Se a> 0, então | x| > a⇔ x > a ⋁ x < – a S = ]– ∞; - a [ ∪ ] a; +∞[

  14. Resolve: Página 96, exercício 7 Página 97, exercício 13

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