Metodi sa potpunom informacijom Izbor metoda ocenjivanja

1. Metodi sa potpunom informacijomIzbor metoda ocenjivanja Ekonometrija, IV godina Predavač: Aleksandra Nojković Beograd, školska 2012/13

2. Metod trostepenih najmanjih kvadrata (3SNK) • Metod sa potpunom informaciom iz grupe metoda najmanjih kvadrata. • Primenjuje se na sve jednačine sistema i daje ocene svih parametara sistema simultano. • Uzima u obzir celu strukturu modela (sa svim ograničenjima na parametre), te je efikasniji od metoda kojim se ocenjuju pojedinačne jednačine. • Koristi potpune informacije o strukturi modela, uključujući i međusobne zavisnosti grešaka pojedninih jednačina.

3. Metod 3SNK (nastavak) • Primena metoda NK u tri sukcesivna stepena. • Komplikovanije računanje i zahteva veći broj opservacija nego metodi ocenjivanja pojedinačnih jednačina. • Pretpostavke za primenu ovog metoda: • Poznata je kompletna specifikacija celog sistema jednačina. • Greške jednačina su neautokorelisane, ali su tekuće vrednosti grešaka međusobno zavisne. • Sistem je identifikovan. • Pre ocenjivanja se eliminišu identiteti i definicione jednačine, tako što zamenjuju odnosne varijable u sistemu.

4. Postupak primene 3SNK • Ako je sistem normalizovan, i-ta jednačina sistema je: yi=Yiβi+Xiαi+ui, gde je: yi-vektor kolona on n-opservacija zavisne prom. i-te jednačine Yi-matrica (nxl) opservacija tekućih vrednosti drugih endogenih prom. koje se javljaju u jednačini. Xi-matrica (nxk) opservacija predeterminisanih prom. Prisutnih u i-toj jednačini. α1 i β1 su vektori parametara. ui-vektor od n grešaka.

5. Postupak primene 3SNK (nastavak) • Posmatrana i-ta jednačina sistema se može zapisati kao: yi=Wiδi+ui, gde je: Wi=(Yi Xi); • Ako jednačinu pomnožimo sa leve strane sa X’, pri čemu je X matrica (nxk) svih predeterminisanih promenljivih, dobija se: X’yi=X’Wiδi+X’ui. • Tada je kovarijantna matrica reziduala: E(X’ui ui’X)=σi2(X’X).

6. Postupak primene 3SNK (nastavak) • Vektor σi se ocenjuje metodom uopštenih najmanjih kvadrata prema formuli: što je u stvari ocena i-te jednačine po metodu 2SNK (zapravo je u pitanju metod UNK primenjen na svaku jednačinu sistema posebno). • Ceo sistem jednačina se može zapisati kao:

7. Postupak izračunavanja kovarijantne matrice grešaka sistema • Matrica varijansi i kovarijansi grešaka ovog sistema je: • Ako se elementi matrice σij izraze matricom Σ=[σij], greške sistema imaju kovarijantnu matricu jednaku Kroneckerovom proizvodu matrica Σ i X’X, odnosno: • Primena metoda UNK na sistem zahteva poznavanje matrice V, odnosno Σ.

8. Postupak izračunavanja kovarijantne matrice grešaka sistema (nastavak) • Matrica matrice V, odnosno Σ se izračunava iz vektora reziduala dobijenih ocenjivanjem svake jednačine sistema metodom 2 SNK kao: • Tada su ocene parametara po metodu 3 SNK: gde je sij element inverzne matrice [sij]-1 i M=X(X’X)-1 X’.

9. Ocenjivanje u tri stepena • U prvom stepenu ocenjivanja dobijaju se ocene endogenih promenljivih iz redukovane forme i zamenjuju na desnu stranu strukturnih jednačina. • U drugom stepenu vrši se ocenjivanje tako transformisanih strukturnih jednačina (metod 2SNK), da bi se dobile ocene grešaka raznih jednačina, iz kojih se ocenjuju njihove varijanse i kovarijanse. • U trećem stepenu se te ocene varijanski i kovarijansi koriste za transformaciju originalnih promenljivih, odnosno primenu metoda UNK.

10. Osobine ocena 3SNK • Ocene 3SNK su pristrasne, ali konzistentne. • Ocene 3SNK biće identične ocenama 2SNK ako su greške jednačina međusobno nezavisne. • Slično, ako su sve jednačine tačno identifikovane prema uslovu reda, ocene 2SNK i 3SNK su identične (moguće je primeniti ga sao na grupu/podskup L2 prekomerno identifikovanih). • Metod 3SNK je efikasniji samo kad postoje međuzavisnosti grešaka različitih jednačina.

11. Nedostaci metoda 3SNK • Komplikovanije računanje, ali je i dalje jednostaniji metod od MVPI. • Kako zahteva potpuno poznavanje specifikacije svih jednačina sistema i veliki broj opservacija, njegova primena se ne preporučuje kada je od interesa ocenjivanje samo jedne relacije u celom modelu. • Vrlo je osetljiv na greške specifikacije (svaka od ovih grešaka se prenosi i u ostale relacije modela).

12. Metod maksimalne verodostojnosti sa potpunom informacijom (MVPI) • Zasniva se na pretpostavci o normalnoj distribuciji stohastičkih grešaka, a daje ocene sa asimptotski poželjim osobinama. • Primenjuje se na sve jednačine modela i daje istovremeno ocene svih strukturnih parametara. • Pretpostavlja se poznavanje potpune specifikacije svih jednačina i normalna raspodela grešaka, sa očekivanim vrednostima jednakim nuli. • Greške različitih jednačina mogu biti i međusobno zavisne (otežano izvođenje uslova maksimalne verodostojnosti).

13. Metod MVPI (nastavak) • Kako je reč o proširenom metodu sa ograničenom informacijom, ocene su konzistentne ali pristrasne u malim uzorcima. • U maksimiziranje logarima f-je verodostojnosti potrebno je uključiti sva ograničenja koja su postavljena strukturnim jednačinama. • Takođe spada u grupu metoda instrumentalnih promenljivih. • Ocene dobije metodom 3SNK i MVPI imaju istu asimptotsku distribuciju (ako je distribucija grešaka normalna), pa se koristi jednostavniji metod 3SNK. • Osetljiviji je na greške specifikacije od drugih metoda. • Potreban je veliki skup podataka, pri čemu je i rešavanje nelinearnih jednačina po parametrima vrlo komplikovano, ovaj metod se ne koristi često.

14. Izbor metoda ocenjivanja • Interes istraživača može biti: • ocena ispravnosti nekih teorijskih koncepata (ocena parametara strukturne forme) • ocene numeričkih parametara radi donošenja odluka (koeficijenti redukovane forme) • uslovno predviđanje vrednosti endogenih promenljivih uz date pretpostavke o egzogenim (preko finalne forme modela).

15. Izbor metoda ocenjivanja (nastavak) • Parametri strukturne forme se mogu konzistentno oceniti raznim ekonometrijskim tehnikama, kao i da se iz podataka uzorka za te ocene mogu izračunati ocene asim. varijanse. • Koeficijenti redukovane forme se mogu oceniti metodom ONK, koja daje nepristrasne i konzistentne ocene. • Kod predviđanja vrednosti endogenih promeljivih (jedinstvene predviđene vrednosti) dobijaju se jednostavnom zamenom datih vrednosti predeterm. promenljivih u jednačinu finalne forme.

16. Izbor metoda ocenjivanja (nastavak) • U slučaju upotrebe modela kod kojih se javlja nelinearnost promenljivih preporučuje se ocenjivanje metodom sa ograničenom informacijom (2SNK). Prognoziranje i računanje multiplikatora u nelinearnim modelima je otežano. • Sa dovoljnim brojem opservacija i ako su sve jednačine sistema identifikovane, svi parametri se mogu jedinstveno oceniti bilo kojim od razmatranih metoda. • Metod 2SNK je najčešće u upotrebi, osim u slučaju kada su jednačine međusobno zavisne, kada je potrebno koristiti metode sa potpunom informacijom.

17. Poređenje ocena dobijenih različitim metodama ocenjivanja – rezultati Monte Carlo simulacija • Najveću pristrasnost pokazuju ocene ONK, a ovaj metod i prenaglašava pouzdanost parametara. Međutim, u slučajevima visoke multikolinearnosti i grešaka merenja, inferiornost metoda ONK se ublažava. • U klasi konzistentnih ocena, ocene 2SNK superiorne, posebno sa stanovišta jednostavnosti. Pri tome, metod 2SNK vrlo visoko rangiran u slučajevima pogrešne specifikacije. • U dobijanju koeficijenata redukovane forme koristi se metod NK (bez ograničenja ili izvođenjem iz ocena strukturnih param., odnosno sa ograničenjem) . • Važno: Mnogo su veće varijacije ocena usled greški merenja, nego primenom različitih metoda – primarna je tačna specifikacija modela i poboljšanje kvaliteta podataka!