1 / 69

Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

Penyelesaian Persamaan Linier Simultan. CONTOH KASUS. Seorang insinyur Teknik Sipil merancang sebuah rangka statis yang berbentuk segitiga . Ujung segitiga yang bersudut 30° bertumpu pada sebuah penyangga statis , sedangkan ujung segitiga yang lain bertumpu pada penyangga beroda .

nailah
Download Presentation

Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PenyelesaianPersamaan Linier Simultan

  2. CONTOHKASUS

  3. SeoranginsinyurTeknikSipilmerancangsebuahrangkastatis yang berbentuksegitiga. Ujung segitiga yang bersudut 30° bertumpupadasebuahpenyanggastatis, sedangkanujungsegitiga yang lain bertumpupadapenyanggaberoda. Rangkamendapatgayaeksternalsebesar 1000 pon. Gaya inidisebarkeseluruhbagianrangka. Gaya F menyatakanteganganataukompresipadaanggotarangka. Reaksieksternal (H2 , V2 , danV3) adalahgaya yang mencirikanbagaimanarangkaberinteraksidenganpermukaanpendukung. Engselpadasimpul 2 dapatmenjangkitkangayamendatardantegakpadapermukaan, sedangkangelindingpadasimpul 3 hanyamenjangkitkangayategak.

  4. Struktur jenis ini dapat diuraikan sebagai sistem persamaan aljabar lanjar simultan. Diagram gaya-benda-bebas diperlihatkan untuk tiap simpul dalam gambar berikut

  5. Menuruthukum Newton, resultangayadalamarahmendatarmaupuntegakharusnolpadatiapsimpul, karenasistemdalamkeadaandiam (statis). Olehkarenaitu, untuksimpul 1,

  6. å FH = 0 = -F1 cos 30° + F3 cos 60° + F1, h = -0.866F1 + 0.5 F3 å FV = 0 = -F1 sin 30° - F3 sin 60° + F1, v = -0.5F1 – 0.866 F3 + 1000 å FH = 0 = F2 + F1 cos 30° + F2, h + H2 = F2 + 0.866F1 + 0 + H2 å FV = 0 = F1 sin 30° - F2, v + V2 = 0.5 F1 + V2 å FH = 0 = -F2 - F3 cos 60° + F3, h = -F2 – 0.5 F3 å FV = 0 = F3 sin 60° + F3, v + V3 = 0.866 F3 + V3

  7. Contoh 2 : • Seorangpembuatbonekainginmembuatduamacambonekayaituboneka A danboneka B. Keduabonekatersebutdibuatdenganmenggunakanduamacambahanyaitupotongankaindankancing. Boneka A membutuhkan 10 potongankaindan 6 kancing, sedangkanboneka B membutuhkan 8 potongankaindan 8 kancing. • Permasalahannyaadalahberapabuahboneka A danboneka B yang dapatdibuatdari 82 potongankaindan 62 kancing ?

  8. Contoh 2 • Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : • x = jumlah boneka A • y = jumlah boneka B • Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: • Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 • Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 • Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 • Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.

  9. 3 4 2 1 Contoh 3 : • Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai berikut : • Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. • Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. • Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

  10. Contoh 3 : • 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu : • Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d • Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

  11. 3 4 2 1 Contoh 3 : • Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.

  12. TEOREMA

  13. Persamaan Linier Simultan • Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas • Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas • aijuntuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan • xiuntuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

  14. Persamaan Linier Simultan • Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xiuntuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. • AX = B • Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. • Vektor x = vektor variabel • vektor B = vektor konstanta.

  15. Augmented Matrix • matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: • Augmented (A) = [A B]

  16. Theorema • Suatupersamaan linier simultanmempunyaipenyelesaiantunggalbilamemenuhisyarat-syaratsebagaiberikut. • Ukuranpersamaan linier simultanbujursangkar, dimanajumlahpersamaansamadenganjumlah variable bebas. • Persamaan linier simultan non-homogendimana minimal adasatunilai vector konstanta B tidaknolatauadabn 0. • Determinandarimatrikkoefisienpersamaan linier simultantidaksamadengan nol.

  17. Metode Analitik • metodegrafis • Substitusi • Eliminasi • Determinan

  18. Metodedeterminan

  19. SolusiNumerikuntukpersamaan- persamaan linier: a. MetodeLangsung 1. Eliminasi Gauss 2. Eliminasi Gauss-Jordan 3. Invers Matriks 4. Dekomposisi LU 5. Determinan

  20. b. MetodeTakLangsung (Iterasi) 1. Metode Jacobi 2. Metode Gauss-Seidel 3. Metode Newton-Raphson 4. Successive overRelaxation Metodetaklangsungbiasanyamemerlukanwaktu yang sangat lama.

  21. ELIMINASI GAUSS

  22. Metode Eliminasi Gauss

  23. ELIMINASI GAUSS NAIF • Tanpamempedulikan pivot bernilai 0 atautidak.

  24. Algoritma Eliminasi Gauss Menyatakan persamaan linier sebagai n buah persamaan simultan Tentukan faktor pengali (1) (2) (3)

  25. Persamaan (1) dikali m2: m2 a11x1 + m2a12x2 + m2a13x3 =m2b1 • Hasilperkaliandiperkurangkandaripersamaan(2) (4)

  26. a’22 = a22 – m2a12 a’23 = a23 – m2a13 b’2 = b2 – m2b1 maka: a’22x2 + a’23x3 = b’2……………(5) Persamaan (2) disubtitusidgnpersamaan (5).

  27. Tentukanfaktorpengaliuntukpersamaanketiga: Persamaanpertamadikalidengan m3, persamaanketigadikurangipersamaanpertama. a’32x2 + a’33x3 = b’3…………………………(6) dimana a’32 = a32 – m3a12 a’33 = a33 – m3a13 b’3 = b3 – m3b1

  28. Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6): a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……….(1) a’22x2 + a’23x3 = b’2 ………(5) a’32x2 + a’33x3 = b’3……….(6) Faktor pengali m’3 = a’32/a’22 a’32 – m’3a’22 = 0 a’’33 = a’33 – m’3a’23 b’’3 = b’3 – m’3b’2

  29. a’33x3 = b’3 ………….. (7) Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6), a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……..(1) a’22x2 + a’23x3 = b’2……..(5) a’’33x3 = b’3 …….(7)

  30. Contoh 1: Diberikansistimpersamaan linier: 2x1 + x2 + 3x3 = 11………….(1) 4x1 + 3x2 + 10x3 = 28………….(2) 2x1 + 4x2 + 17x3 = 31………….(3)

  31. Contoh 2: w + x + y + z = 10 2w + 3x + y + 5z = 31 -w + x - 5y + 3z = -2 3w + x + 7y - 2z = 18 Matriks augmented

  32. II – 2(I) III + 1(I) IV -3(I)

  33. III-2(II) IV+2(II) x - ½

  34. IV – 2(III)

  35. x4 = 4 x3 + x4 = 7; x3 + 4 = 7; x3 = 3 x2 – x3 + 3x4 = 11; x2 – 3 + 12 = 11; x2 = 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 10; x1 + 2 +3 + 4 = 10; x1 = 1

  36. ELIMINASI GAUSS PIVOTING

  37. latihan

  38. Algoritma Metode Eliminasi Gauss

  39. Persamaan Linier Simultan • Persamaan Linier SimultanatauSistemPersamaan Linier mempunyaikemungkinansolusi : • Tidakmempunyaisolusi • Tepatsatusolusi • Banyaksolusi Ada tigacara yang dapatdigunakanuntukpenyelesaiansuatusistempersamaan linier, yaitu: (1). MetodeSubstitusi, (2). MetodeEliminasi, dan (3). MetodeDeterminan.

  40. Gauss jordan

  41. Metode Eliminasi Gauss Jordan • Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal • Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:

  42. MetodaEliminasi Gauss-Jordan

  43. Contoh 1 : • Selesaikan persamaan linier simultan: • Augmented matrik dari persamaan linier simultan • Lakukan operasi baris elementer Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1

  44. Contoh 2 -1

  45. Contoh 2-2

  46. Contoh 3 -1 : B2-2B1 B3-3B1 B3-3B1 B2-2B1

More Related