Zjištění průběhu funkce

1. y3 – y1 y2 – y1 y3 – y1 y2 – y1 < x3 – x1 x2 – x1 x2 – x1 x3 – x1  funkce f(x) je rostoucí v intervalu i, jestliže platí, že když je x2 > x1 a zároveň platí, že y2>y1 . funkce f(x) je rostoucí pokud derivace funkce f´(x) je větší než nula. funkce f je klesající v intervalu i, jestliže platí, že když je x2 > x1 a zároveň platí, že y2 < y1 . funkce f je klesající pokud derivace funkce f´(x) je menší než nula. Zjištění průběhu funkce funkce f je konvexní, jestliže za předpokladu x1 < x2 < x3 platí t Základní pojmy Graf je nad tečnou funkce. funkce f je konkávní, jestliže za předpokladu x1 < x2 < x3 platí t Graf je pod tečnou funkce. Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci. Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní)

2. A A Ostré lokální maximum Ostré lokální minimum y´ < 0 y´ > 0 y´ < 0 y´ > 0 Pouze jeden extrém ostré neostré Lokální (pouze ve vnitřních bodech Df ) Zjištění průběhu funkce funkce f(x) má své extrémy absolutní minimum maximum Při definování extrémů funkce definujeme hodnotu y pro nějaké x. Má-li funkce v bodě A lokální extrém, pak nutně derivace funkce pro A bude rovna nule. (f ´x = 0) Extrémy funkce Pro zjištění absolutního extrému se dosazují hodnoty x z definičního oboru funkce. Absolutní (globální) extrém se zjistí porovnáním extrémů lokálních. Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci. Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní)

3. Zjištění definičního oboru funkce f(x) • Derivace funkce f(x)  f´(x) • Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. • Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce • Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. • Zapsání výsledku v podobě : f je rostoucí (klesající) v intervalu … , … • Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x)  f ´´(x) • Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df. • Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní. • Zápis výsledku Zjištění průběhu funkce Postup Příklady použité v tomto materiálu byly převzaty z webových stránek http://matematika.tf.czu.cz/institut/uvod.htm

4. Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, a v kterých rostoucích. 1) Zjištění definičního oboru funkce f(x) Zjištění průběhu funkce 2) Derivace funkce f(x)  f´(x) Příklad 1 3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. = 

5. + - f 1 8 -1 f je rostoucí na <-1;1>, klesající na <1; ) 8 Příklad 1 4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce. Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. Zjištění průběhu funkce Pozn.: Už z grafického znázornění je zřejmé, že ostré absolutní maximum je v x = 1. Ostré absolutní minimum bychom zjistili porovnáním zbývajících lokálních extrémů, v našem případě s x = -1 a s x v nekonečnu. Jak se počítá s nekonečnem to nevím a tak mi zbývá už jen to x = -1. Příklad 2 Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, v kterých rostoucích, v kterých konkávní a v kterých konvexní. 1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)

6. 2 2 2 2 e e e 2) Derivace funkce f(x)  f´(x) Zjištění průběhu funkce 3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. 4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce. Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. Příklad 2 + - f ´ f 8 0 f je rostoucí na (0; >, klesající na < ; ) 8

7. y = 4 ( 1 – ln 1) = 4 (1 – 0) = + 4 y = 4 (1 – ln e ) = 4 (1 – 2) = - 4 2 f je konvexní na (0;e >, konkávní na <e; ) 8 5) Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x)  f ´´(x) Zjištění průběhu funkce 6) Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df). Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní. + - f ´´ Příklad 2 f e 8 0 Teď to už jen nechám počítač zkontrolovat, abych to viděl na vlastní oči e e 2