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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE. DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica . 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO. Definiamo coseno e seno di a , e indichiamo con cos a e sen a :. e sia B il punto della circonferenza associato ad a . cos a = x B ,

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Presentation Transcript

  1. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  2. DEFINIZIONE Seno e coseno Consideriamo la circonferenza goniometrica 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO Definiamo coseno e seno di a, e indichiamo con cos a e sen a: e sia B il punto della circonferenzaassociato ada. cos a = xB, sen a = yB. e un angolo orientato a, LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  3. 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO Circonferenza di raggio unitario Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi Scopriamo che: Indichiamo con (x; y) le coordinate di B. Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. e e quindi sen a e cos a non dipendono dalla particolare circonferenza considerata, x = cos a y = sen a ma solo dall’angolo a. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  4. 1. LE FUNZIONI SENO E COSENO Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo. Triangoli rettangoli cos a = rapporto tra il catetoadiacente all’angolo e l’ipotenusa. sen a = rapporto tra il catetoopposto all’angolo e l’ipotenusa. Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  5. 2. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO cos x = cos (–x) ; PROPRIETÀ In particolare si verifica che: –1 ≤ sen x ≤ 1 ; –1 ≤ cos x ≤ 1 ; sen x = –sen (–x) . Costruiamo il grafico delle funzioniy = sen x e y = cos x in [0; 2p] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le coordinate dei punti della circonferenza goniometrica. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  6. sen (x + 2p) = sen x = sen (x + 4p) = ... ,cos (x + 2p) = cos x = cos (x + 4p) = … , 3. SINUSOIDE E COSINUSIDE cioèsen (x + 2kp) = sen x ,cos (x + 2kp) = cos x . Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2p . Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. I due grafici differiscono per una traslazione di p/2. p2 LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  7. 4. LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE Prima relazione fondamentale della goniometria cos2a + sen2a = 1 Da cui, se è noto cos a, , mentre, se è noto sen a , . LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  8. DEFINIZIONE Tangente Consideriamo un angolo orientato a,e sia B il punto della circonferenza associato ad a. 5. LA FUNZIONE TANGENTE Definiamo tangente di a il rapporto, quando esiste, tra l’ordinata e l’ascissa di B: . LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  9. 5. LA FUNZIONE TANGENTE Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi tg a = ordinata di T. Triangolo rettangolo tg a = rapporto tra il catetoopposto all’angolo e il cateto adiacente. Un altro significato geometrico Consideriamo il cerchio goniometrico e la sua tangente t. Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  10. 6. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE TANGENTE PROPRIETÀ In particolare si verifica che: tg x tende a + o – quando x si avvicina a p/2, tg x = – tg (–x). Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;p] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y l’ordinata del punto T. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  11. tg (a + p) = tg a = tg (a + 2p) = ... 7. LA TANGENTOIDE cioètg(a + kp) = tga . La funzione tangente è periodica di periodo p . Il grafico completo della funzione tangente si chiama tangentoide. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  12. 8. LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE Seconda relazione fondamentale della goniometria , yB = sen a , xB = cos a , . LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  13. 9. ESERCIZI: SENO E COSENO Disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a cui corrispondono i seguenti valori. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  14. 9. ESERCIZI: SENO E COSENO Calcola il valore della funzione indicata, utilizzando le informazioni fornite. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  15. 10. ESERCIZI: LA TANGENTE Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli. Per ogni angolo a in figura, individua tg a, quando esiste, sulla retta tangente alla circonferenza. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

  16. 10. ESERCIZI: LA TANGENTE Calcola il valore di tga, usando le informazioni fornite. LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

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