STEREOMETRIE metrické vlastnosti

1. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Poznámky ve formátu PDF Mgr. Martina Fainová STEREOMETRIE metrické vlastnosti

2. Odchylka dvou přímek Odchylka přímek a, b je úhelpřímek a´, b´, které procházejí libovolným bodem M a jsou rovnoběžné s původními přímkami. Poznámka: 1) Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0. 2) Odchylku mimoběžek převedeme na odchylku dvou různoběžek.

3. Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek a) AB, EG b) AH, CF c) AH, BE d) AD, GF e) AC, AG 45 90 60 ? 0 3516´ Př. 2: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostr. ∆-ky. Určete odchylku přímek AB, CV. 60 Př. 3: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=6 cm, |BC|=3 cm, |AE|=8 cm. Určete odchylku přímek EG, BD. 538´

4. Odchylka přímky a roviny Odchylkapřímky a roviny je rovna úhlu, který svírá přímka se svým pravoúhlým průmětem do této roviny. Odchylka dvou rovin Odchylkadvou rovin je rovna odchylce jejich průsečnic s třetí rovinou, která je k oběma rovinám kolmá.

5. Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku roviny ABC a přímky BH. 3516´ ? Př. 2: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=4,5 cm, |BC|=3 cm, |AE|=3,8 cm, bod S je střed horní podsta- vy. Určete odchylku přímky BS a rovin ABF. ? 1846´ Př. 3: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ACF a ACH. 7031´ ? Př. 4: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, |AB|=5 cm, |AV|=7 cm. Početně i graficky určete odchylku roviny boční stěny a roviny podstavy. ? 6731´

6. Kolmost přímek a rovin Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°. Platí: pq a qrpr nebo jsou mimoběžné pq a qrprnebo jsou mimoběžné Vymodelujte Přímka k je kolmá k rovině  právě tehdy, je-li kolmá ke všem přímkám této roviny. Průsečík kolmice s rovinou je pata kolmice.

7. Kolmost přímek a rovin Kritérium kolmosti: Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je kolmá k rovině. p  a q  p  a q  p  p a  p p  a p  Platí: p  q q    Věta 1: Daným bodem lze vést k rovině jedinou kolmici. Věta 2: Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu.

8. Kolmost rovin Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Rovina je kolmá ke dvěma různoběžným rovinám právě tehdy, je-li kolmá k jejich průsečnici.

9. Cvičení Př. 1: Body K, L, M, N jsou po řadě středy hran EH, CD, AE, CG krychle ABCDEFGH. Ověřte kolmost : a)↔HM, ↔EF b)↔AL, ↔BK c)↔FH, ACG ? Př. 2: Vrcholem E krychle ABCDEFGH veďte přímku kolmou k rovině AFH. EC ? Př. 3: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Najděte rovinu kolmou k rovinám ADV a BCV. ? rovina S1S2V; S1 - střed AD, S2 - střed BC

10. Vzdálenost bodu Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB. Vzdálenost bodu A od přímky p je rovna vzdálenosti bodů AP, kde P je pata kolmice vedené bodem A k přímce p. Vzdálenost bodu A od roviny  je rovna vzdálenosti bodu A a jeho pravoúhlého průmětu A´ do roviny .

11. Cvičení Příklad 1: Je dán pravid. čtyřboký hranol ABCDA´B´C´D´,|AB|= 4 cm, |AA´|= 5,5 cm. Vypočtěte vzdá- lenost bodu B od přímky • AD • AC • C´D´ • AD • AC 4 cm 6,18 cm 2,82 cm 3,45 cm 6,8 cm Příklad 2: Je dána krychle ABCDEFGH s a = 5 cm, S je střed podstavy. Určete vzdálenost a) bodu S od roviny BCG b) bodu E od roviny AFH 2,5 cm 2,89 cm

12. Vzdálenosti přímek a rovin Vzdálenost dvou  přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky. Vzdálenost dvou mimoběžných přímek je velikost úsečky PQ; P, Q jsou průsečíky mimoběžek s přímkou k oběma kolmou. Vzdálenost dvou  rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny.

13. Cvičení Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH o délce hrany a. Určete vzdálenost a)přímek AB a GH b)rovin ABC a FGH c)přímky EG od roviny ABC a ? a Př. 2: Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany 6 cm, bod M je bodem hrany EH. Určete vzdálenost mimoběžek a)AB a FG b) AC a FM ? v = |BF| = 6 cm v = |PQ| = 6 cm, Q je průsečík FM a EG