Stereometrie

1. Stereometrie Úvod

2. 2.1 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami Jestliže bod A leží na přímce pa přímka p leží v rovině , pak i bod A leží v rovině . Jestliže v rovině  leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině . Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Třemi různými body, které neleží v přímce, prochází právě jedna rovina. Přímkou a bodem, který na přímce neleží, prochází právě jedna rovina. Dvěma různými rovnoběžnými přímkami prochází právě jedna rovina. Dvěma různoběžnými přímkami prochází právě jedna rovina.

3. 2.1 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami Libovolná rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a je jejich společnou hraniční rovinou. Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoli dva body útvaru je částí tohoto útvaru. Každý bod prostoru, který neleží v hraniční rovině, je vnitřním bodem jednoho z obou poloprostorů. Pokud bod leží (neleží) na přímce, v rovině, říkáme, že bod je incidentní (není incidentní) s přímkou, rovinou. Pokud přímka leží v rovině, je s rovinou incidentní.

4. 2.2 Vzájemná poloha dvou přímek Pokud přímky nemají žádný společný bod a leží v jedné rovině, jsou rovnoběžné. Pokud přímky mají aspoň dva společné body (všechny), jsou totožné (splývají). Pokud přímky mají právě jeden společný bod, jsou různoběžné. Tyto přímky leží v jedné rovině, jejich společný bod je jejich průsečík. Přímky, které nemají žádný společný bod a neleží v jedné rovině, nazýváme mimoběžné. Na obrázku se mohou jevit jako různoběžky! Přímka, která protíná mimoběžné přímky, se nazývá příčka mimoběžek.

5. 2.3 Vzájemná poloha přímky a roviny Má-li přímka s rovinou společný právě jeden společný bod, je přímka různoběžná s rovinou. Nemají-li přímka s rovinou žádný společný bod, je přímka rovnoběžná s rovinou. Mají-li přímka s rovinou aspoň dva různé společné body, přímka leží v rovině (je s rovinou incidentní). I o této přímce říkáme, že je rovnoběžná s rovinou.

6. 2.4 Vzájemná poloha dvou rovin Mají-li dvě různé roviny společný bod, pak mají společnou přímku, která tímto bodem prochází; kromě této přímky nemají žádný další společný bod. O dvou rovinách  a , které mají společnou přímku p, říkáme, že jsou různoběžné; přímka p je jejich průsečnice. Nemají-li dvě roviny žádný společný bod, nazýváme je rovnoběžné. Roviny, které mají všechny body společné, jsou totožné (splývající). Část prostoru ležící mezi dvěma rovnoběžnými rovinami, nazýváme vrstva. Roviny jsou hraniční roviny vrstvy, jejich vzdálenost je tloušťka (šířka) vrstvy. Jsou-li roviny různoběžné, vytváří klín. Jejich průsečnice je hrana klínu, poloroviny ohraničující klín jsou stěny klínu.

7. 2.5 Rovnoběžnost přímek a rovin Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku. Rovnoběžnost přímek je vztah tranzitivní: je-li pq, qr, je také pr. Kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny Přímka p je rovnoběžná s rovinou , jestliže v rovině  leží aspoň jedna přímka p‘, která je s přímkou p rovnoběžná. Pro libovolné dvě přímky p, q a rovinou  platí: pq, q, pak také p. Je-li přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí. Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin: Dvě roviny  a  jsou rovnoběžné, jestliže v jedné z nich, např.  leží dvě různoběžné přímky p a q, které jsou rovnoběžné s rovinou . Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou rovinu s ní rovnoběžnou. Rovnoběžnost rovin je vztah tranzitivní: je-li , , pak také .

8. 2.6. Vzájemná poloha tří rovin Existuje celkem pět možností vzájemné polohy tří rovin • Každé dvě roviny jsou rovnoběžné • Dvě roviny jsou rovnoběžné, třetí je protíná ve dvou rovnoběžných přímkách • Každé dvě roviny jsou různoběžné. Přitom buď • Všechny tři průsečnice splynou v jednu přímku (společná průsečnice každých dvou rovin)nebo • Průsečnice každých dvou rovin jsou různé rovnoběžné přímkynebo • Všechny tři průsečnice jsou různé přímky a procházejí jediným společným bodem všech tří rovin.

9. 2.7. Řešení polohových konstrukčních úloh Průsečík přímky p a roviny  • Přímkou pproložíme vhodnou rovinu , která je s rovinou  různoběžná. • Určíme průsečnici rrovin  a . • Průsečík Ppřímek p a r je hledaný průsečík přímky p a roviny .

10. Řez tělesa rovinou • Je průnik tělesa a roviny • Zpravidla rovinný útvar, jehož hranice je průnik hranice tělesa a roviny (hranice tělesa=hrany, stěny) • Hledáme průsečnice Základní věty V1: Leží-li dva různé body v rovině, pak leží v rovině i přímka určená těmito body. V2.: Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. V3: Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li jediný společný bod, pak tímto bodem prochází všechny tři průsečnice.

11. Spíše využijeme důsledky těchto vět • D1: Leží-li dva různé body roviny řezu v rovině některé stěny, leží v rovině stěny i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu. • D2: Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. • D3: Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě.