Stereometrie

1. Stereometrie Vzájemná poloha dvou přímek VY_32_INOVACE_M3r0103 Mgr. Jakub Němec

2. Základní vztahy mezi prostorovými útvary • Na začátek si musíme připomenout několik pravidel z minulé lekce, které nás budou provázet celou stereometrii: • Pokud leží bod na přímce a přímka leží v rovině, poté i bod leží v rovině. • Dvěma různými body je jednoznačně určena právě jedna přímka. • Pokud leží dva body v rovině, leží v této rovině i přímka, která je těmito body určena. • Třemi různými body, které neleží na jedné přímce, je určena právě jedna rovina. • Přímkou a bodem, který na ní neleží, je určena právě jedna rovina. • Dvěma různoběžnými přímkami je určena právě jedna rovina.

3. Rovina je také jednoznačně určena dvěma různými rovnoběžnými přímkami. • Pokud mají dvě různé roviny společný bod, mají také společnou přímku (říká se jí průsečnice – využijeme později), která je tvořena všemi jejich společnými body.

4. Vzájemná poloha dvou přímek • Na začátku problematiky je třeba rozhodnout, zda přímky ležící v prostoru náleží jedné rovině. • Pokud leží v jedné rovině, poté existují tři vzájemné polohy dvou přímek (známe z planimetrie): • Přímky nemají žádný společný bod – jsou rovnoběžné. • Přímky mají jeden společný bod – jsou různoběžné. • Přímky mají nekonečně společných bodů (popř. všechny body jsou společné) – jsou totožné. • Pokud přímky neleží v jedné rovině, vyplývá z výše uvedených pravidel, že nemůžou mít společné body. V tomto případě nazýváme polohu dvou přímek mimoběžnou.

5. Příklady rovnoběžných přímek Přímky AB a EF (leží v rovině přední stěny ABF) Přímky AE a CG (leží v úhlopříčné rovině ACG)

6. Příklady různoběžných přímek Přímky AC a CD (leží v rovině dolní podstavy ABC a mají průsečík v bodě C) Přímky BH a CE (leží v úhlopříčné rovině BCE a mají průsečík v bodě P)

7. Příklady mimoběžných přímek Přímky AB a CG (zdánlivě vzniká průsečík, ale přímka AB je v přední stěně a přímka CG je v zadní stěně) Přímky EF a BH (podobný případ, opět zdánlivý průsečík, který však není možný najít)

8. Postup určování vzájemné polohy dvou přímek • Ne všechny polohy přímek jsou však tak zřejmé jako u předchozích příkladů. • Nyní si ukážeme několik úloh, u kterých nelze využít vrcholů krychle (praktické provedení – rýsování rovin, bude náplní dalších lekcí) • Principy, které byly předvedeny v předchozích snímcích lze uplatnit na jakýchkoliv hranolech a jehlanech.

9. Přímky AB a KL, kde K, L jsou po řadě středy hran BC a CD, mají průsečík P mimo stěnu krychle, ale je zřetelné, že obě přímky leží v rovině dolní podstavy, takže jsou přímky různoběžné. Přímky AK a HL, kde K, L jsou po řadě středy stran BF a FG, mají průsečík P také mimo krychli, leží na průsečnici rovin horní podstavy a přední stěny.

10. Úkol závěrem • Mějme krychli ABCDEFGH a přímku BC. Určete všechny rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné přímky (určené vrcholy dané krychle) vůči přímce BC. • Mějme pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Najdi v něm přímky (určené vrcholy jehlanu), které jsou a) rovnoběžné, b) různoběžné, c) mimoběžné.

11. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.