Lineárna algebra - diferenciálne rovnice

1. Lineárna algebra - diferenciálne rovnice Diferenciálne rovnice vyšších rádov 1. Základné pojmy Definícia 1.1. Obyčajnou diferenciálnou rovnicou n-tého rádu nazývame rovnicu tvaru • F(x, y, y´,..., )=0, kde F je nejaká funkcia n+2 premenných, y je neznáma funkcia premennej x a premenná má nenulový koeficient. Jej špeciálny prípad je rovnica • =f(x, y, y´,..., ), kde f je funkcia n+1 premenných.

2. Definícia 1.2 Riešením diferenciálnej rovnice (2) nazývame každú funkciu y=y(x), ktorá má v nejakom intervale I deriváciu n-tého rádu a pre každé x z intervalu I vyhovuje rovnici (2) Definícia 1.3Úlohu, nájsť riešenie y rovnice (1) také, že vyhovuje podmienkam kde sú dané čísla sa nazýva Cauchyho začiatočná úloha a podmienky sa nazývajú Cauchyho začiatočné podmienky.

3. Veta 1.1 (o existencii a jednoznačnosti) Nech funkcia f(x, y, y´,..., )a jej parciálne derivácie podľa premenných y, y´, ...., sú spojité v (n+1) rozmernej oblasti D, ktorá obsahuje bod ( ). Potom existuje práve jedno riešenie y=y(x) diferenciálnej rovnice (2), ktoré spĺňa dané začiatočné podmienky z definície (1.3). 2. Diferenciálna rovnica tvaru Riešime postupným integrovaním. 3. Diferenciálna rovnica Použijeme substitúciu a dostaneme rovnicu

4. 4. Diferenciálna rovnica tvaru F(y, y´, y´´)=0. Použitím substitúcie: y´(x)=p(u), u =y(x), y´´=p´p, znížime rád o 1. 5. Diferenciálna rovnica tvaru: , kde Substitúciou Získame diferenciálnu rovnicu tvaru 4.

5. Príklad 1. ak sú dané začiatočné podmienky y(0)=1, y´(0)=-1, y´´(0)=0. Príklad 2. Príklad 3. Príklad 4.

6. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu1. Základné pojmy • Definícia 1.1 Diferenciálna rovnica tvaru (1) y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y=q(x) sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu, kde q(x), pi(x), i=1, 2, ... , n sú nejaké funkcie definované na intervale J. (pi(x) nazývame koeficientami tejto rovnice)

7. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu1. Základné pojmy • Poznámky: n=1, lineárna difererenciálna rovnica 1. rádu q(x)=0, LDR n-tého rádu bez pravej strany, alebo homogénna LDR n-tého rádu (ináč nehomogénna) (2) y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y=0

8. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu1. Základné pojmy • Veta 1.1 Nech funkcie pi(x), i=1, 2, ... , n a q(x) sú spojité na otvorenom intervale J, Nech x0 je ľubovoľné číslo tohto intervalu. Potom existuje práve jedno riešenie y LDR (1) definované v istom okolí U(x0), ktoré spĺňa začiatočné podmienky: y(x0)=b1, y´(x0)=b2, ... , y(n-1)(x0)=bn, kde b1, b2, ... , bn sú ľubovoľné vopred dané čísla.

9. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu1. Základné pojmy • Veta 1.2 Nech funkcie y1, y2, ... ,yn sú riešenia rovnice (2) na intervale J, potom aj ľubovoľná ich lineárna kombinácia y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn je riešením rovnice (2) na intervale J. • Veta 1.3 Ak komplexná funkcia y=u+i.v je riešením rovnice (2) na intervale J, tak aj u a v sú riešenia rovnice (2) na J.

10. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2) • Definícia 2.1 Nech y1, y2, ... ,yn sú funkcie definované na intervale J. Budeme hovoriť, že tieto funkcie sú na J lineárne závislé, ak existujú čísla c1, c2, ... ,cn z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly a pre každé x z intervalu J platí (3) c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn=0. Ak rovnosť (3) platí pre každé x z J iba vtedy ak c1= c2= ... =cn=0, hovoríme, že funkcie sú na J lineárne nezávislé.

11. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2) • Poznámky: • Ak IJ a funkcie sú lineárne závislé na J, potom sú lineárne závislé aj na I. • Ak JK a funkcie sú lineárne nezávislé na J, potom sú lineárne nezávislé aj na K.

12. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2) • Veta 2.1 • Funkcie y1, y2, ... ,yn sú na intervale J lineárne závislé práve vtedy, ak jedna z nich sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia ostatných. • Príklad 2.1 1, sin2x, cos2x sú lineárne závislé na R. • Príklad 2.2 1, x, x2, ... , xk sú lineárne nezávislé na každom intervale J. • Príklad 2.3 erx, x erx, x2 erx, ... , xk erx sú lineárne nezávislé na každom intervale J (r je ľubovoľné komplexné číslo)

13. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2) • Príklad 2.4 Ak r1, r2, ... ,rk sú navzájom rôzne reálne čísla, potom funkcie sú lineárne nezávislé na každom intervale J. • Poznámka: Zisťovanie lineárnej závislosti a nezávislosti pomocou derivácií, Wronského determinant

14. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2) Wronského determinant

15. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2) • Veta 2.2 Ak funkcie f1, f2, ... ,fk majú na intervale J derivácie rádu k-1 a sú na tomto intervale lineárne závislé, ich wronskián W(x)=0 pre každé x z J. • Dôsledok Ak funkcie f1, f2, ... ,fk majú na intervale J derivácie rádu k-1 a aspoň v jednom čísle x0 z J je W(x0)≠ 0, tak funkcie f1, f2, ... ,fk sú na tomto intervale lineárne nezávislé.

16. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2) • Príklad 2.5 Nech sú reálne čísla a je rôzne od nuly , potom funkcie sú lineárne nezávislé na R.

17. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2) • Veta 2.3 Nech funkcie y1, y2, ... ,yn sú riešenia rovnice (2) na intervale J, na ktorom sú funkcie pi(x), i=1, 2, ... , n spojité. Funkcie y1, y2, ... ,yn sú na intervale J lineárne nezávislé práve vtedy ak W(x)≠ 0 pre každé x z intervalu J.

18. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 3. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (2) • Poznámka: Dá sa ukázať, že každé riešenie rovnice (2) má tvar: y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn, kde yi sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (2). Systém n lineárne nezávislých riešení rovnice (2) budeme nazývať fundamentálnym systémom riešení rovnice (2).

19. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 3. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (2) • Veta 3.1 • Nech y1, y2, ... ,yn sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (2) na intervale J. • Potom každé riešenie y tejto rovnice na intervale J môžeme jednoznačne vyjadriť v tvare y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn , kde c1, c2, ... ,cn sú vhodné konštanty. • Systém funkcií určený rovnicou y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn , kde c1, c2, ... ,cn sú ľubovoľné konštanty je všeobecné riešenie rovnice (2) na intervale J.

20. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 3. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (2) • Poznámky: • Dá sa ukázať, že každá rovnica má nekonečne veľa fundamentálnych systémov. • Ako nájsť aspoň jeden? Túto úlohu nevieme riešiť vo všeobecnosti.

21. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami • Definícia 4.1 Rovnica (4) y(n) + a1y(n-1) + ... + any=0 kde ai sú konštanty, je lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami.

22. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami • Veta 4.1 Funkcia erx je riešením rovnice (4) vtedy a len vtedy ak číslo r je koreňom algebraickej rovnice (5) rn + a1rn-1 + ... + an =0. Rovnicu (5) nazývame charakteristickou rovnicou prislúchajúcou k rovnici (4).

23. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami • Dôsledok 1 Ak charakteristická rovnica (5) má n rôznych reálnych koreňov, potom funkcie: tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (4).

24. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami • Príklad 4.1 Riešte rovnicu: y´´´-4y´=0! • Dôsledok 2 Ak r je k-násobným koreňom rovnice (5), potom funkcie y1=erx,y2=xerx,...,yk=xk-1erx sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (4). • Príklad 4.2 Riešte rovnicu: y´´´+ 2y´´ + y´=0!

25. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami • Dôsledok 3 Nech je koreňom rovnice (5), potom funkcie sú lineárne nezávislé riešenia tejto rovnice. • Príklad 4.3 Riešte rovnicu y´´+ 6y´+ 13y = 0!

26. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami • Zhrnutie: korene reálne rôzne korene reálne viacnásobné korene komlexne združené korene komplexné viacnásobné

27. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 5. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (1) • Veta 5.1 • Ak y1, y2 sú ľubovoľné dve riešenia rovnice (1) na intervale J, potom funkcia y= y1- y2 je riešením rovnice (2). • Veta 5.2 • Ak y* je ľubovoľné riešenie rovnice (2) na intervale J a y** je ľubovoľné riešenie rovnice (1) na intervale J, potom aj funkcia y=y*+y** je riešením rovnice (1) na J.

28. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 5. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (1) • Veta 5.3 Ak Y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn je všeobecné riešenie rovnice (2) na intervale J a y* je ľubovoľné riešenie rovnice (1) na J, potom y=Y+y*= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn +y* je všeobecné riešenie rovnice (1).

29. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 5. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (1) • Veta 5.4 (princíp superpozície) Ak funkcia yi je riešením rovnice y(n) + a1y(n-1) + ... + any=qi, i=1, 2, ...,m, na intervale J, potom funkcia je riešením rovnice y(n) + a1y(n-1) + ... + any= na intervale J.

30. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 6. Metóda variácie konštánt (Lagrangeova metóda) • Veta 6.1 Nech y1, y2, ... ,yn je fundamentálny systém riešení rovnice (2) na intervale J. Potom funkcia je riešením rovnice (1) na intervale J.

31. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 6. Metóda variácie konštánt (Lagrangeova metóda) • Príklad 6.1 Riešte rovnicu y´´-2y´+y=exx-1! • Príklad 6.2 Riešte rovnicu y´´+y=-cotg2x + x2+1!

32. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 7. Riešenie rovnice (1) pre špeciálne pravé strany • Poznámka: • Ak je pravá strana špeciálna, nemusíme použiť metódu variácie konštánt a budeme vedieť nájsť riešenie y*. 1. q(x) je polynóm 2. q(x)=eaxP(x) 3. q(x)=P(x)cosbx + Q(x)sinbx

33. Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 7. Riešenie rovnice (1) pre špeciálne pravé strany • Príklad 7.1 Riešte rovnicu: y´´ - 7y´+ 6y = 2x + 3ex! • Príklad 7.2 Riešte rovnicu: y´´ + 2y´+ 5y´= 2cosx + e-x! • Príklad 7.3 Riešte rovnicu: y´´´´ – 6y´´´ + 9y´´ = xex + 2x + e3x!