Obecná rovnice roviny

1. Název projektu: Moderní škola Obecná rovnice roviny Mgr. Martin Krajíc 13.5.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Parametrické vyjádření roviny rozlišujeme dva základní typy rovnic roviny: • parametrické vyjádření • obecná rovnice

3. Obecná rovnice roviny  n P X • vektor n je kolmý ke všem vektorům ležícím v rovině  vektor n je normálový vektor roviny  • vektor n je kolmý k vektoru PX, jejich skalární součin je roven 0 n.PX = 0 n.(X – P) = 0 • označíme souřadnice bodů P, X a vektoru n: P[p1, p2,p3],X[x, y, z], n = (a, b, c)

4. Obecná rovnice roviny • rozepíšeme rovnici n.(X – P) = 0 do souřadnic: a.(x - p1) + b.(y – p2) + c.(z – p3) = 0 ax – ap1 + by – bp2 + cz – cp3 = 0 ax + by + cz – ap1 – bp2 – cp3 = 0 • označíme d = – ap1 – bp2 – cp3 Rovnice ax + by + cz + d = 0 je obecná rovnice roviny. Poznámka: • a,b,c,d R • alespoň jedno z čísel a,b,c je nenulové • vektor n = (a, b, c) získáme jako vektorový součin dvou směrových vektorů roviny

5. Obecná rovnice roviny Př: Napište obecnou rovnici roviny ABC, jestliže A[0, -1, 1], B[1, 3, -2], C[2, 2, -1]. • určíme směrové vektory roviny: u = AB = B – A = (1, 4, -3) v = AC = C – A = (2, 3, -2) • vypočteme normálový vektor n = u x v = (1, -4, -5) • dosadíme souřadnice normálového vektoru do obecné rovnice: ax + by + cz + d = 0 1x – 4y – 5z + d = 0 • číslo d určíme dosazením souřadnic libovolného bodu roviny za x, y, z do obecné rovnice: A[0, -1, 1] 1.0 – 4.(-1) – 5.1 + d = 0 d = 1 • obecná rovnice má tvar: x – 4y – 5z + 1 = 0

6. Obecná rovnice roviny Př: Napište obecnou rovnici roviny, která je dána parametrickým vyjádřením: x = 1 + 2t – s, y = 2 – t, z = 1 + t + s (t,s  R) • směrové vektory (koeficienty u parametrů t, s): u = (2, -1, 1), v = (-1, 0, 1) • bod roviny (první čísla za rovnítkem): A[1, 2, 1] • normálový vektor: n = u x v = (-1, -3, -1) • dosazení n do obecné rovnice: -1x – 3y – 1z + d = 0 • dopočítání čísla d dosazením souřadnic A: -1.1 – 3.2 – 1.1 + d = 0 d = 8 • obecná rovnice: -x – 3y – z + 8 = 0 x + 3y + z – 8 = 0

7. Obecná rovnice roviny Př: Zjistěte, zda bod M[1, 1, -2] leží v rovině : • :3x – 5y + 2z + 6 = 0 • za x, y, z do obecné rovnice dosadíme souřadnice bodu M a zjistíme, zda platí rovnost: 3.1 – 5.1 + 2.(-2) + 6 = 0 0 = 0M • : x + 3y + z – 7 = 0 • za x, y, z do obecné rovnice dosadíme souřadnice bodu M a zjistíme, zda platí rovnost: 1.1 + 3.1 + 1.(-2) – 7 = 0 -5 ≠ 0 M

8. Obecná rovnice roviny Př: Napište obecnou rovnici roviny, která je rovnoběžná s přímkou EF a prochází body C,D: E[1,3,-2], F[2,2,-1], C[0,1,-1], D[4,3,0]. • přímka a rovina jsou rovnoběžné směrový vektor přímky je zároveň směrovým vektorem roviny: u = EF = (1,-1,1) • druhý směrový vektor získáme z bodů roviny: v = CD = (4,2,1) • normálový vektor: n = u x v = (-1, -3, -1) • dosazení n do obecné rovnice: -1x – 3y – 1z + d = 0 • dopočítání čísla d dosazením souřadnic A: -1.1 – 3.2 – 1.1 + d = 0 d = 8 • obecná rovnice: -x – 3y – z + 8 = 0 x + 3y + z – 8 = 0

9. Obecná rovnice roviny – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Alan Patrick Herbert: „Nejúčinnější ……. bylo dětem školu přísněji zakázat.“ • Napište obecnou rovnici roviny ABC: A[0, -1, 1], B[1, 3, -2], C[2, 2, -1]. a) B: x + y – 5 = 0 b) J: x + y + 5 = 0 • Zjistěte, zda bod M[12,-7,3] leží v rovině ABC z předchozího cvičení a) Y = ano b) E = ne

10. Obecná rovnice roviny – správné řešení Alan Patrick Herbert: „Nejúčinnější ……. bylo dětem školu přísněji zakázat.“ BY

11. Obecná rovnice roviny – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-05-13].