Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury

1. Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury Systemy rozmyte są modelami przetwarzającymi informację za pomocą zbioru reguł rozmytych „jeżeli – to”

2. Czy istnieje jeden rodzaj modeli rozmytych? Nie Wymienimy najczęściej stosowane w sterowaniu i podejmowaniu decyzji:  lingwistyczny model rozmyty  Takagi-Sugeno model rozmyty (TS)  Tsukamoto model rozmyty

3. Mechanizm/system wnioskowania rozmytego + y* Baza reguł rozmytych x* Jak wygląda model rozmyty i jak działa? Przykład: lingwistyczny model rozmyty zmienna rozmyta wartość zmiennej rozmytej Aktualna wartość wejścia x*, ani Small, ani Medium na pewno nie Large – jaka powinna być odpowiadająca takiej aktualnej wartości wejścia, aktualna wartość wyjścia y * ?

4. Wnioskowanie Mamdani’ego – ilustracja

5. Wynik wnioskowania rozmytego B’ jest zbiorem rozmytym ! Jeżeli występuje wymaganie, aby wyjście systemu rozmytego był ostrą liczbą, wyjściowy zbiór rozmyty musi być poddany wyostrzaniu - defuzyfikacji

6. Definicja: - przestrzeń rozważań, uniwersalny zbiór będący przedmiotem naszego zainteresowania Wszystkie zbiory definiujemy w przestrzeni rozważań Inne nazwy: obszar rozważań, przestrzeń, zbiór, domena rozważań, domena, zakres podstawowy, zbiór odniesienia • Przykłady: • uczniowie klas pierwszych w liceach • liczby rzeczywiste • temperatura powietrza w Polsce • miasta w Polsce Przestrzeń rozważań może być zbiorem dowolnej natury (dziedzina zbioru może być dowolnej natury) – w szczególności może to być dziedzina numeryczna

7. Definicja: zbiór zwykły (1) Zwykły albo klasyczny zbiór jest definiowany jako zestaw elementów w X posiadający pewną specyficzną cechę • Przykłady: • chłopcy uczniowie klas pierwszych w liceach • dodatnie liczby rzeczywiste • temperatura powietrza latem w Polsce • miasta wojewódzkie w Polsce

8. Można inaczej definiować zbiory zwykłe korzystając z pojęcia funkcji przynależności (funkcji charakterystycznej, funkcji wskaźnikowej) Definicja: funkcja przynależności zbioru zwykłego Funkcja przynależności zbioru zwykłego A w przestrzeni rozważań X (oznaczana μA(x)) jest odwzorowaniem z X w zbiór dwuelementowy {0,1}: μA(x):X  {0,1} takim, że

9. Definicja: zbiór zwykły (2) Niech X , dziedzina rozważań,będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem zwykłym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: Ajest funkcją przynależności zbioru zwykłego A, która każdemu elementowi xX przypisuje dwuwartościowy stopień jego przynależności A(x) do zbioru zwykłego A, przy czym:

10. Definicj: Zbiór rozmyty (fuzzy set) Niech X , dziedzina rozważań,będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: Ajest funkcją przynależności (membership function)zbioru rozmytego A, która każdemu elementowi xX przypisuje stopień jego przynależności (grade of membership) A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym:

11. Przykład: Funkcja przynależności zbioru zwykłego Funkcja przynależności zbioru rozmytego

12. Funkcja przynależności (membership function) i stopień przynależności (grade of membership) Funkcja przynależności realizuje odwzorowanie dziedziny rozważań X danej zmiennej do przedziału [0,1]: Funkcja przynależności przyporządkowuje każdemu elementowi xX pewną wartość z przedziału [0,1]: Wartość ta, zwana stopniem przynależności informuje, w jakim stopniu element xX należy do zbioru rozmytego A

13. Funkcja przynależności i stopień przynależności - porównanie Zbiór zwykły Zbiór rozmyty

14. Funkcje przynależności i stopień przynależności elementu przestrzeni rozważań do różnych zbiorów

15. Wysoki w Chinach Wysoki w Europie Wysoki w NBA Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów autora) i zależna od kontekstu

16. Przykłady zbiorów rozmytych:  zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej nieuporządkowanej Niech X zbiór miast, spośród których ktoś może wybrać miejsce zamieszkania A – miasto pożądane do zamieszkania

17.  zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej uporządkowanej Niech X zbiór liczby dzieci, jaką rodzina może mieć A – rozsądna liczba dzieci w rodzinie

18.  zbiór rozmyty na dziedzinie ciągłej Niech X możliwy wiek ludzi A – ludzie w wieku około 50 lat gdzie:

19. Funkcja przynależności może być wyrażona w postaci:  diagramu ciągłego lub dyskretnego,  wzoru matematycznego,  tabeli,  wektora przynależności,  sumy lub całki Przykłady: Ciągła (a) i dyskretna (b) graficzna forma (diagram) funkcji przynależności liczby rozmytej „około zera”

20. x5=0 x7=0.5a xiX xiX x1=-a Firma1 x2=-0.75a Firma2 x3=-0.5a ..... Firma (n-1) Firman x4=-0.25a x6=0.25a x8=0.75a x9=a (x) 0 0.25 0.5 0.75 1 0.75 0.5 0.25 0 (x) 0.4 0.5 ..... 1.0 1.0 Funkcja przynależności w postaci wzoru dla liczby rozmytej „około zera” Dyskretna funkcja przynależności w postaci tabeli dla liczby rozmytej „około zera” Elementami xiw tabeli mogąbyć nie tylko liczby

21. Dyskretna funkcja przynależności w postaci wektora dla liczby rozmytej „około zera”

22. Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy dla liczby rozmytej „około zera” Ciągła funkcja przynależności w postaci całki dla liczby rozmytej „około zera”

23. Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego jest A jest formą przedstawiania zbioru rozmytego jako zbioru par (element x zbioru A, stopień przynależności elementu x do zbioru A) Przykłady pionowej reprezentacji zbioru rozmytego

24.  - przekrójAαzbioru rozmytego A jest nierozmytym podzbiorem przestrzeni rozważań X , którego elementy wszystkie posiadają stopień przynależności równy lub większy   - przekrójAαjest nazywany ścisłym jeżeli Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego A polega na przedstawianiu tego zbioru za pomocą tzw.  - przekrojów A tego zbioru. Wartość  nazywana jest  - poziomem Oznaczenia (inne):  - przekrój(A), przekrój(A,), Aα , A>α

25. Ilustracja graficzna Przykładowe  - przekroje zbioru rozmytego A

26. Charakterystyczne parametry zbioru rozmytego: Nośnik zbioru rozmytego A (support): Nośnik zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X, którego wszystkie elementy mają niezerowy stopień przynależności do zbioru A

27. Jądro zbioru rozmytego A (core, kernel): Jądro zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X złożony ze wszystkich elementów o stopniu przynależności równym 1

28. Wysokość zbioru rozmytego A (height): Wysokością zbioru rozmytego A nazywamy supremum funkcji przynależności elementów zbioru A w całej dziedzinie rozważań zbioru X

29. Wypukłość zbioru rozmytego A: Zbiór rozmyty zdefiniowany w przestrzeni rozważań Rnjest wypukły jeżeli każdy jego  - przekrój jest zbiorem wypukłym

30. Przykład: wiek kierowcy wysokiego ryzyka dla ubezpieczeń samochodów

31. Mocą zbioru rozmytego A, A lub liczbą kardynalną card(A) tego zbioru określonego na przestrzeni dyskretnej X nazywamy a w przypadku przestrzeni ciągłej Liczba kardynalna zbioru rozmytego A:

32. Charakterystyczne zbiory rozmyte Pusty zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość zero dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem pustym i oznaczany jest symbolem : Uniwersalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U:

33. Normalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym rozmytym

34. jest nazywany Operator normalizacji: Operator operatorem normalizacji, tzn. Normalny zbiór rozmyty A (trochę inaczej): Zbiór rozmyty A jest normalny, jeżeli xX taki, że μA(x)=1. Zbiór rozmyty, który nie jest normalny nazywany jest subnormalnym

35. Liczba rozmyta: Pojęcie liczby rozmytej jest używane (czasem) dla wskazania zbioru rozmytego normalnego i wypukłego określonego na R Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera

36. Rodzaje funkcji przynależności zbiorów rozmytych - jednowymiarowe - funkcje przynależności złożone z odcinków prostych Kształty najczęściej stosowanych odcinkowo – liniowych funkcji przynależności

37. Zalety wielokątnych funkcji przynależności:  mała liczba danych potrzebna do zdefiniowania funkcji przynależności  łatwość modyfikacji parametrów funkcji przynależności w oparciu o dane pomiarowe wejście – wyjście systemu Wady wielokątnych funkcji przynależności:  są nieróżniczkowalne

38. Trójkątna funkcja przynależności: Przykład: triangle(x;20,60,80)

39. Trapezowa funkcja przynależności: Przykład: trapezoid(x;10,20,60,95)

40. - intuicyjne funkcje przynależności Aksjomaty: A1. Intuicyjne funkcje przynależności (x) są ciągłe w całym zakresie dziedziny rozważań A2. Pierwsza pochodna (nachylenie) intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A3. Druga pochodna (krzywizna) intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A4. Zakrzywienia intuicyjnej funkcji przynależności (x) są minimalne

41. Matematyczne reprezentacje intuicyjnych funkcji przynależności: 1. Symetryczna funkcja Gaussa 2. Sigmoidalne funkcje przynależności 3. Harmoniczne funkcje przynależności 4. Wielomianowe funkcje przynależności

42. Gaussowska funkcja przynależności: Przykład: gaussian(x;50,20)

43. Dzwonowa funkcja przynależności: Przykład: bell(x;20,4,50)

44. Dzwonowa funkcja przynależności – znaczenie parametrów:

45. Dzwonowa funkcja przynależności – wpływ zmian wartości parametrów na kształt FP:

46. Sigmoidalna funkcja przynależności: Przykłady Prawa i lewa FP sigmoidalne Dwie prawe FP sigmoidalne

47. Poza jednowymiarowymi przestrzeniami rozważań możemy mieć do czynienia z wielowymiarowymi przestrzeniami rozważań, które są iloczynem kartezjańskim X przestrzeni składowych X1, X2, ...., Xn wielkości o różnym charakterze Przykład: X1 – zbiór obywateli X2 – zbiór banków Definiowanie zbiorów rozmytych dla wielowymiarowych przestrzeni rozważań Bezpośrednio

48. Dwuwymiarowe i n-wymiarowe funkcje przynależności mogą jedną z dwóch kategorii: 1. składaną funkcją przynależności 2. nieskładaną funkcją przynależności Ograniczymy się do przypadku dwuwymiarowego Definicja – składana i nieskładana dwuwymiarowa FP Dwuwymiarowa FP jest nazywana składaną FP, jeżeli może być ona analitycznie wyrażona za pomocą dwóch jednowymiarowych FP, w przeciwnym przypadku jest ona nieskładana

49. Przykład: Niech w przestrzeni X x Y  R2 określony jest zbiór rozmyty A funkcją przynależności

50. Funkcja przynależności może być przedstawiona jako