函数 Y=Asin( ω x+ φ) 的图像

函数Y=Asin(ωx+φ)的图像 授课教师：育才中学　胡海杰进入

在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如Y=Asin(ωx+φ)的函数（其中A，ω ,φ是常数）。如物体作简谐振动时位移S与时间T 的关系，交流电的电流y与时间t关系都可以用这一类的函数解析式来表示。今天我们就先来研究一下形如： Y=Ａsin(ωx+φ) 的函数与函数Y=sinx有什么关系?

复习提问： 1.画正、余弦函数图象的常用方法有那些？ 2.“五点法”画正弦函数图象是指哪五个点呢？余弦呢？

一、形如Y=Asinx (A>0）,x∈R,的三角函数 例1:作函数y=2sinx及y=1/2sinx的简图分析：我们知道y=2sinx与 y=1/2sinx的周期为2π，　　因此我们先来做[0， 2π]的简图。思考：这两个函数图象与y=sinx的图象有什么关系？

解：用“五点法” 列表： 0 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0 0 0 0

y 2 o x -2 y=2sinx 作图 y=sinx 1 y=0.5sinx -1

结论: 由以上观察可知,对于同一个x值y=2sinx的图象上点的纵坐标等于y=sinx的图象上点的纵坐标的2倍.因此,y=2sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的. y=2sinx,x∈R的值域是: [-2,2] -2 2 最小值是: 最大值是:

y 2 o x -2 y=2sinx 作图 y=sinx 1 y=0.5sinx -1

类似地,y=1/2sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1/2倍(横坐标不变)而得到的.类似地,y=1/2sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1/2倍(横坐标不变)而得到的. y=1/2sinx,x∈R的值域是: [-1/2,1/2] 最大值是: 最小值是: -1/2 1/2

归纳比较 函数与y=sinx的图象的关系各点纵坐标伸长为原来的2倍 y=2sinx (横坐标不变) 各点纵坐标缩短为原来的1/2倍 y=1/2sinx (横坐标不变) y=Asinx （A>0且A≠1) 1.A>1时,各点纵坐标伸长为原来的A倍 2.0<A<1时,各点纵坐标缩短为原来的A倍 (横坐标不变)

二、形如Y=sinωx，x∈R,的三角函数 例2:作函数y=sin2x及y=sin(x/2)的简图 T=2π/2=π 函数y=sin2x的周期: T=2π/0.5=4π 函数y=sin(x/2)的周期: 思考： y=sin2x的图像和y=sin(x/2)的图像与Y=sinx的图像之间有什么系？请观察

p p p p p p p p p p p p p p p p 解：用“五点法” 列表

y o x y=sinx 1 y=sin(0.5x) -1 y=sin2x

因此,y=sin2x的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变)而得到的.因此,y=sin2x的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变)而得到的.

y o x y=sinx 1 y=sin(0.5x) -1 y=sin2x

因此,y=sin2x的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变)而得到的.因此,y=sin2x的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变)而得到的. 类似地,y=sin(x/2)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.

归纳比较 函数与y=sinx的图象的关系各点横坐标缩短为原来的1/2倍 y=sin2x (纵坐标不变) 各点横坐标伸长为原来的2倍 y=sin(x/2) (纵坐标不变) 1.ω>1时,各点横坐标缩短为原来的1/ω倍 y=sinωx （ω>0且ω≠1) 2.0<ω<1时,各点横坐标伸长为原来的1/ω倍 (纵坐标不变)

三、形如y=sin(x+φ) ,x∈R的三角函数图象 例3：作函数y=sin(x+π/4)及y=sin(x-3π/4)的简图思考? 以上两个函数同y=sinx之间有什么关系呢?

解：用“五点法” 列表

y=sin(x-3π/4) Y 1 X -1 y=sin(x+π/4)

y=sin(x+π/4)的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位而得到的。 y=sin(x-3π/4)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向右平行移动3π/4个单位而得到的。一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动 |φ|个单位而得到的。

归纳总结 　　函数y=Asin(ωx+φ) (A>0, ω>0)的图象可以用下面的方法得到：沿x轴向左（右）平移 Y=sinx Y=sin(x+φ) |φ|个单位横坐标变为原来的1/ω倍 Y=sin(ωx+φ ) 纵坐标变为原来的Ａ倍 Y=Ａsin(ωx+φ )

课堂反馈 不画图,说明下列函数的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换得到: (1) y=4sinx (2) y=sin(4x) (3) y=sin(x+3) (4) y=2sin(3x+2)

课时小结 1.函数y=Asin( x+ )的图象可由变换得到，也可用五点法得到．２.作图时请注意X轴是实数轴，坐标刻度角一律用弧度制．

思考变换顺序改变以后，变换过程是否一样？如果不一样又该如何描述？

再见

函数 Y=Asin( ω x+ φ) 的图像