phm – Observatoire Lyon - 2010

1. Les orbites kepleriennes mouvement sur les orbes célestes phm – Observatoire Lyon - 2010 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

2. Les équations des orbes elliptiques des planètes du système solaire, déterminées par Kepler et Newton, permettent de prévoir leurs futures positions, ainsi que retrouver celles du passé. L’ellipse est devenue la reine des orbes célestes. Avec le programme de calcul et de tracé géométrique Geogebra, il est possible de construire les orbites elliptiques de planètes avec des paramètres ajustables. Avec le paramètre temps elles parcourront leurs orbites avec leurs positions et vitesses connues. Le tracé graphique vérifiera la 2ème loi de Kepler ou loi des aires et le tracé des vecteurs vitesses montrera les liens entre leurs variations et positions sur l’orbite. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

3. L’orbite d’une planète ou d’une exoplanète autour de son étoile suit les lois de Kepler. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

4. ou Les lois de Kepler ► Loi I - Les planètes décrivent autour du soleil des orbites elliptiques dont le soleil occupe un des foyers. ► Loi II - Une ligne joignant une planète au soleil balaye des aires égales en des temps égaux (loi des aires). ► Loi III - La période de rotation d'une planète et le demi‑grand axe de son orbite sont liés par la relation: Système solaire : si P est exprimé en années et a en unités astronomiques (l'unité astronomique étant définie comme le demi‑grand axe de l'orbite de la Terre) ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

5. Dans le document, les textes et en sont les variables et les expressions. en graspolice Arial Penser à sauvegarder régulièrement votre travail en lui donnant un nom personnalisé à la première sauvegarde. Avec Geogebra Remarques sur la façon de procéder Les noms des variables utilisés ne sont pas imposés. Seule la commodité pour le travail en groupe et la construction conseille de les garder tels quels. Ce document permet, pas à pas, de construire le TD. Ils sont à entrer dans Geogebra avec la syntaxe telle quelle. Ceci n’est pas absolu, car Geogebra permet souvent de construire les mêmes objets par des procédés différents. A vous de choisir ce qui vous convient. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

6. Avec Geogebra Pour les débutants avec Geogebra Pour les personnes qui débutent dans Geogebra vous pouvez consulter le fichier téléchargeable à la page elements_geogebra.pdf http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/gravitation/ Le TD sur la construction simple des ellipses sous Geogebra n’utilise que des commandes simples. Les plus courantes sont explicitées dans le document elements_geogebra.pdf http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/astrogebra/astrogebra.htm Remarque : il est possible de faire des copiés-collés à partir des pages html ou pdf. Faire attention, quelques caractères seront parfois mal repris comme les apostrophes et les lettres grecques et donneront des erreurs de syntaxe. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

7. Ouvrir Geogebra 2D Créer le curseur I - Orbites képlériennes (rappels) Le temps étant la variable de base e la simulation, créer un curseur qui concrétise cette variable. tps • plage de 0 à 2000 • incrément de 1 • largeur 400 Le placer en bas du graphique. Le deuxième objet à créer est l’ellipse ajustable, orbites des planètes. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

8. Rappels - Ellipse Lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante. Les points F et F' sont les foyers de l'ellipse. PF + PF' = Cte • On définit : • a = OA = OA ' : demi-grand axe • b = OB = OB ' : demi-petit axe • c = OF = OF ' : distance foyers - centre On pose, c/a = e : excentricité ou ellipticité. Relations utiles : ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

9. Comme on veut tracer une ellipse ajustable, il faut se donner deux paramètres variables, soit et ou et . acae Curseur minimum maximum incrément largeur 0.2 20 0.1 200 0 1 0.01 150 Calcul du petit axe : La troisième loi de Kepler nous permet de calculer la période que l’on exprimera en jours : Créer : Paramètres de l’ellipse Créer deux curseurs : - pour le demi-grand axe exprimé en ua (unité astronomique), - pour l’excentricité, rapport sans dimension. a e a e Calcul de la distance foyers-centre : (lettre e et non signe exponentiel “ℯ” sous Geogebra) c = a * e b = a * sqrt( 1 – e^2 ) La Cte vaut 1 dans le système solaire avec P en années, et a en ua. P = sqrt( a^3 ) * 365.25 ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

10. Mettre un point (Soleil) au centre du graphique : A On mettra le périhélie du côté des abscisses positives. Créer les points et l’ellipse : Tracé de l’ellipse S = ( 0 , 0 ) C’est le premier foyer de l’ellipse. Par convention l’axe des abscisses est le grand axe de l’orbite. le centre de l’ellipse le second foyer le point aphélie O F’ A’ En conséquence : sont sur l’axe des abscisses du côté des abscisses négatives. Centre de l’ellipse : O = ( – c , 0 ) Second foyer : F’ = ( – 2*c ,0 ) Créer l’ellipse : ell_C = Ellipse[ S , F' , a ] ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

11. L’ellipse variable Sauvegarder avec un nom personnalisé. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

12. L’ellipse variable ■ Observations : • Faire varier les deux paramètres a et e de l’ellipse • Tracer un cercle de centre O et de rayon a : • Que constate-t-on pour les faibles excentricité ? cc = cercle(O,a) • Visualiser les orbites des principales planètes avec les paramètres données en annexe du document pdf. Effacer le cercle . cc ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

13. Mouvement képlérien Pour les démonstrations des formules qui vont suivre, on peut consulter : – Danjon André, Astronomie. –Cours de Jean Dufay (manuscrit). Téléchargeable à : cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/gravitation ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

14. Il nous faut définir des variables dont les valeurs seront dépendantes du temps . tps – l’ ou angle de position d’un corps fictif sur une trajectoire circulaire de même demi-grand axe et même période. anomalie moyenne où est la vitesse angulaire moyenne. 360/P C’ Attention : Ce n’est pas le point de la figure qui ne tourne pas de façon uniforme. est défini par l’angle . C’ u M = 360°/ P * tps Mouvement képlérien Variables utilisées Anomalie moyenne 360° M = ––– tps P ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

15. est la projection de sur le cercle circonscrit à l’ellipse, sa position est définie par : C’ C – l’anomalie excentrique u u M où et sont exprimées en radians. Mouvement képlérien Variables utilisées u La valeur de est définie par l’équation de Kepler u - e sin u = M ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

16. L’angle de position de la planète est . C θ u θ La relation qui lie à est : Pour se souvenir de la formule, bien voir que est plus grand que , donc le coefficient sous la racine doit être >1. Le signe – est au dénominateur. θ u Mouvement képlérien Variables utilisées • Angle en coordonnées polaires entre : • le grand axe • le rayon vecteur Foyer (Soleil)-planète. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

17. Et le module du rayon vecteur est donné par l’équation de l’ellipse en coordonnées polaires ρ Mouvement képlérien Variables utilisées ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

18. – l’anomalie moyenne croit linéairement avec le temps M – l’ nous donne l’anomalie excentrique à partir de équation de Kepler uM – une simple équation permet d’avoir l’angle de position de la planète à partir de . θ u – l’équation de l’ellipse donne à partir de l’angle . ρθ L’ n’a pas de solution analytique. équation de Kepler Mouvement képlérien En conclusion, tout est simple : Mais... ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

19. Mouvement képlérien Que faire ? Plusieurs solutions existent : – développements limités – itérations en partant Cette solution converge rapidement seulement si l’excentricité est faible. – solution graphique. u0 = M C’est celle que nous permet les facilités de Geogebra. On décompose l’équation en deux parties qui peuvent se représenter par deux fonctions : • f1 = e sin u • f2 = u - M • (sinusoïde) • (droite) que l’on peut tracer. La solution est à l’intersection des deux courbes : abscisses du point d’intersection. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

20. Tracer les deux courbes : Intersection : Anomalie excentrique (en radians), valeur de l’abscisse de pour l’intersection : u I Résolution de l’équation de Kepler f_1 : y = x – mod( M , 2*pi ) f_2 : y = e * sin( x ) I = Intersection[ f_1 , f_2 ] u = x(I) ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

21. Coordonnées de la planète au temps tps On peut cacher dans la construction : f_1, f_2, F’ et I Tracer le rayon vecteur : svp = segment[ S , C ] Afficher l’angle : θθ’ = Angle[ (1,0) , S ,C ] Sauvegarder. Résolution de l’équation de Kepler - angle polaire θ = 2*atan(tan(u / 2) sqrt((1 + e )/(1 – e)))*180/pi - module rayon vecteur : ρ = a (1 – e² ) / ( 1 + e cos( θ° ) ) Placement du point : C = ( ρ ; θ° ) ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

22. - faire varier le temps et observer le mouvement de , et ceci pour diverses valeurs du demi-grand axe et de l’excentricité tps C a e Pour observer le mouvement on peut aussi animer le curseur tps Variations et animations ■ Observations : ■ Animations : Bouton bascule arrêt-marche Régler la vitesse et le sens Valider ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

23. A A’ Placer les points et extrémités du grand axe : L’aire balayée par le rayon vecteur est la partie de la surface de l’ellipse comprise entre et l’ellipse . SC SA, SC ell_C sct = Secteur[ ell_C, A, C ] La surface balayée par le rayon vecteur et que nous voulons calculer est l’aire AOC sous l’ellipse qui est l’aire du secteur moins la surface du triangle sct OCS socs = c * y(C) / 2 Loi des aires A = ( a – c, 0 ) A' = ( – a – c , 0 ) Aire balayée : Geogebra possède une commande pour calculer un secteur angulaire d’une conique : ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

24. Lorsque dépasse 180°, l’ordonnée dedevient négative, ainsi que la valeur car l’ordonnée de θ C socs C < 0. Mais ceci nous arrange bien, car pour compris entre 180° et 360°, on doit ajouter la surface du triangle . θ OCS Loi des aires Aire balayée : 0 < θ < π π < θ < 2π L’aire du triangle se retranche L’aire du triangle s’ajoute ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

25. Ecrire la valeur de l’aire balayée : π ab La surface de l’ellipse vaut On peut normaliser la surface balayée en divisant par aireπ ab Loi des aires Aire balayée : aire = sct - socs aire = (sct - socs ) / (π ab) ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

26. On trace, l’évolution de la valeur de la surface en fonction du temps . aire tps - création de qui varie de à quand, varie de à : tps2 0 1 tps 0 P tps2 = mod(tps / P,1) Faire apparaître la fenêtre graphique 2. Construire le point de coordonnées : P_{aire} Sauvegarder. Variation de la surface en fonction du temps Echelle de temps normalisée : P_{aire} = ( tps2 , aire ) Activer la trace de ce point. Ajuster les fenêtres graphique pour la visibilité. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

27. - faire varier le temps sur une période P Variation de la surface en fonction du temps ■ Observations : - changer l’excentricité - changer le demi-grand axe. Que constate-t-on ? ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

28. La valeur du module de la vitesse pour une position est donnée par : θ Rentrer les données : Calculer les coefficients et p C Vecteur vitesse avec : Cette valeur est fonction de la masse de l’étoile. On prendra une masse solaire 1.989 1030 kg. Constante de la Gravité G = 6.67384 10-11 m3/kg/s2 M_S = 1.89 * 10^30 G = 6.67384 * 10^–11 en mètres p = a * (1 – e^2) *150000000000 K = sqrt( G * M_S * p) ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

29. Calculer le module de la vitesse exprimé en km/s : Mise à l’échelle du graphique : Vecteur vitesse vit = K / p * sqrt( 1 + 2 * e * cos( θ° ) + e * e) / 1000 Pour vérifier que vous êtes au bon ordre de grandeur, avec a = 1, e = 0.01 vous devez retrouver la vitesse orbitale de la terre autour du soleil, soit environ 29 km/s. Pour que le vecteur vitesse ne soit pas trop grand à l’échelle du graphique en unités astronomique, diviser ce module par 100 : vit2 = vit / 100 ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

30. Le vecteur vitesse, au point , est sur la tangente à l’ellipse : C Construire la tangente : Construction de l’extrémité du vecteur vitesse : Bien voir pourquoi il faut ajouter ou retrancher à l’angle , en regardant comment Geogebra oriente l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente π α Sauvegarder. Vecteur vitesse d_{tge} = Tangente[ C , ell_C ] Cette tangente fait un angle avec l’axe des abscisses de : α = Angle[ axeX , d_{tge} ] C_V = Translation[C , ( vit2 ; α + pi ) ] Vvit = vecteur[ C , C_V ] ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

31. En faisant varier et , trouver les vitesses des planètes sur leurs orbites, vitesses maximum et minimum. ae Vecteur vitesse ■ Observations : En quels endroits ? ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

32. Vitesse radiale Au cours d’une orbite si l’excentricité n’est pas nulle, la planète s’approche ou s’éloigne du Soleil. Elle a donc une vitesse radiale alternativement positive et négative. Tracer la composante radiale du vecteur vitesse. En suivre les variations alternatives avec le temps. ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

33. - distance du point à la projection de sur le rayon vecteur . C C_R C_V SC Projection de sur la droite : C_V SC Droite de projection : Intersection de cette projection avec le rayon vecteur de la planète : SC Sauvegarder. Vitesses radiales Composante radiale du vecteur vitesse : amplitude, au facteur d’échelle près des vitesses : d_{prc} = Perpendiculaire[C_V,Droite[S,C]] C_R = Intersection[d_{prc},Droite[S,C]] et construction du vecteur vitesse : V_R = Vecteur[ C , C_R ] ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

34. Vitesses radiales ■ Observations : Faire varier le temps, - regarder le comportement du vecteur vitesse radiale, - son amplitude pour différents cas de planètes. - quand ce vecteur s’annule t-il ? - quand son module est-il maximum ? Application à la Terre : - quel est le maximum de l’amplitude de sa vitesse radiale ? - sachant que la Terre passe au périhélie le 4 janvier, à quelles dates se produisent ces maximums ? Autres questions : – quel est le décalage en longueur d’onde de la raie solaire du sodium à 589.5924 nm produit par cette vitesse radiale ? – sauriez-vous retrouver la vitesse radiale d’une planète par un autre procédé ? ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

35. Affichage Pour rendre plus lisible le travail, afficher de façon structurée les résultats principaux : a e P tps Vvit V_R etc Et aussi accessoirement : θ ρ ► Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

36. FIN Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

37. Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm

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40. || | Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm