1 / 17

Bilangan komplek

Bilangan komplek. Rizky Maulana A 6305130066/D3TT-37-03. Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin  ).

tara-nelson
Download Presentation

Bilangan komplek

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Bilangan komplek Rizky Maulana A 6305130066/D3TT-37-03

  2. Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ). Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) + i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]

  3. Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2 Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan z z z z … z = zn ?

  4. Jikadiketahui: z1 = r1(cos1 + i sin 1) z2 = r2(cos2 + i sin 2) zn = rn(cosn + i sin n), untuk n asli, makasecarainduksimatematika, diperolehrumusperkalian z1 z2 … zn= r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] . Akibatnyajika, z = r(cos + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1 Khususuntuk r = 1, disebutDalil De-Moivre (cos + i sin )n = cos n + i sin n,n asli.

  5. Pembagian: Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut: Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)] Dari rumus di atas diperoleh: arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

  6. Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ), maka: Untuk: . Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat : . . . . . . . 2

  7. Dari 1 dan 2 diperoleh: , Dalil De-Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat.

  8. Contoh: Hitunglah : Jawab : Misalkan maka karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi

  9. Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis . Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +2k , k bulat. Akibatnya dan Jadi . . .

  10. Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: z = [cos( ) + i sin ( )], k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1); 0 < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

  11. Contoh : Hitunglah (-81)1/4 Jawab : Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z4 = -81. Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800), sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800), diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan . Jadi z= 3[cos( )+i sin( )] Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

  12. Latihan Soal Bab I 1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan z = (x,y) = x + iy. 2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i. Tentukan z1 +z2, z1 -z2 ,z1z2, dan z1 / z2 3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0. 4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi sifat: a. z-1 = z dan b. 5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. ) 6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

  13. BENTUK EKSPONENSIAL • Bentukeksponensialdiperolehdaribentuk polar. • Harga r dalamkeduabentukitusamadansudutdalamkeduabentukitujugasama, tetapiuntukbentukeksponensialharusdinyatakandalam radian.

  14. KUADRAN • Selain itu, perlu diketahui pula letak posisi sudut berada kuadran berapa dari garis bilangan. Dimana : • Kuadran I berada pada sudut ke 0 - 90 • Kuadran II berada pada sudut ke 90 - 180 • Kuadran III berada pada sudut ke 180 – 270 atau (-90) – (-180) • Kuadran IV berada pada sudut ke 270 – 360 atau 0 – (-90)

  15. CONTOH SOAL Perhatianpersamaanbilangankompleksberikutz = 3 – j8bentukumumbilangankompleksdiatasdapatdirubahkedalambentukbentukpenulisan yang lain. Sudut yang dibentukadalah di kuadran IV Bentuk Polar nya : z = r(cos + j sin) = 8.54(cos(-69.44) + j sin(-69.44)) Bentuk Exponensialnya :

  16. LATIHAN SOAL Dapatkan bentuk polar dan bentuk exponensial dari bilangan kompleks z = -3 + 3i dan terletak di kuadran berapa sudut  nya ?

  17. JAWABAN Persamaanbilangankompleksz = -3 + j3 Dimana : Sin  = Cos  = di kuadran II Bentuk Polar nya : z = r(cos + j sin) = 3 (cos(135) + j sin(135)) Bentuk Exponensialnya :

More Related