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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

CIRCUNFERENCIA. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. Se traza la cuerda SQ. Q. P. 50°. 70º+x. R. X. S. Problema Nº 01.

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

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  1. CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS DE APLICACIÓN

  2. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. Se traza la cuerda SQ Q P 50° 70º+x R X S Problema Nº 01 RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x Reemplazando: 2X En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° Resolviendo la ecuación: 140° X = 30°

  3. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR. Q mQR = 140° H S 70° X P 20° R Problema Nº 02 RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS PSQ = x m  S = 70º Por ángulo inscrito 140° Es propiedad, que: 140° + X = 180° Resolviendo: X = 40°

  4. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. Medida del ángulo interior A mBC = 50° B Medida del ángulo exterior x P C D Problema Nº 03 RESOLUCIÓN APD = x 130° 50° Resolviendo: X = 40°

  5. En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN. N M x x A P o B Problema Nº 04 RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles 54° Ángulo central igual al arco x Medida del ángulo exterior Resolviendo: X = 18°

  6. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ. B 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° 70° Q P x C A R Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: PRQ = x 110° Medida del ángulo inscrito: Resolviendo: X = 55°

  7. A 70° X P B Resolución Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”.

  8. C A mAB=140º 70° X P B RESOLUCIÓN 140º Medida del ángulo inscrito: Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 40º Resolviendo: 140º + x = 180º

  9. A P X 130º B Resolución Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x”

  10. C A P X 130º mAB = 260º mACB = 100º 260º + mACB = 360º B mACB + x = 100º RESOLUCIÓN 260º Medida del ángulo inscrito: En la circunferencia: Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 80º

  11. B 2 A C 5 5 Resolución Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC.

  12. B a b 2 A C 5 5 (1) (2) RESOLUCIÓN Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 (2p) = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2)

  13. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR . Q a P X R S Resolución a Problema Nº 09 PLANTEAMIENTO 80º

  14. 80º Q a P X R S a RESOLUCIÓN En la circunferencia: 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º

  15. En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q 3 R P 2 Resolución S Problema Nº 10 PLANTEAMIENTO

  16. a b Q c 3 d + R P 2 22 = 2PR + 10 S RESOLUCIÓN Dato: a + b + c + d = 22cm Teorema de Poncelet: PQRa + b = PR+2(3) PSRc + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm

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