Introducción a la GEOMETRIA ANALITICA Shirley Bromberg Raquel Valdés

1. Introducción a la GEOMETRIA ANALITICA Shirley BrombergRaquel Valdés Versión Preliminar

2. Geometría Euclidiana Geometría Cartesiana Geometría Sintética Geometría Analítica

3. EUCLIDES • Nació alrededor de 325 AC • Murió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto. Autor de trece volúmenes de ELEMENTOS. Los seis primeros contienen una sistematización del conocimiento de Geometría Plana básica de su época. Se convierten en el paradigma de exposición científica.

4. RENE DESCARTES • Nació el 31 de marzo de 1596 en Francia • Murió el 11 de febrero de 1650 en • Suecia. Creador, junto con Fermat, del METODO DE LAS COORDENADAS que transformaproblemas geométricos enproblemas algebraicos

5. Plano Euclidiano Plano Cartesiano Lugares geométricos Ecuaciones

6. PLANO CARTESIANO eje de ordenadas y P (x,y) y x O (0,0) x eje de abscisas origen de coordenadas

7. Geometría Sintética Geometría Analítica Dos puntos determinan una recta. Ecuación de la recta

8. RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN: Q (x,y) P (x1,y1) P O P´ Q´ Al trazar las proyecciones, obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes: OPP´ y OQQ´. El punto Q es un punto arbitrario sobre la recta, con coordenadas (x,y) Consideremos la recta que une el origen con el punto P. Las coordenadas de P son (x1,y1) El teorema de Thales implica

9. De ser así, llamamos, como se acostumbra, • pendiente. Despejamos y tenemos que Notemos que la expresión tiene sentido siempre cuando es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto

10. Decir que es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto significa que los puntos de esa recta son precisamente aquellos que tienen la forma

11. PREGUNTA¿ Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto cuando ? ¿Cuál es esta recta?

12. RECTAS ARBITRARIAS: Consideremos la recta l que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2). Q(x2,y2) De nuevo, P(x1,y1) R(x,y) En coordenadas, P´ Q´

13. Como en el caso de las rectas que pasan por el origen, la expresión tiene sentido siempre cuando

14. Si , llamamos como antespendiente de la recta a Despejamos para obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos y

15. INTERPRETACION DE LA PENDIENTE: Q(x2,y2) Por las definiciones, P(x1,y1) y también, La pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje de las abscisas con la recta (en esta dirección). Observemos que es también el ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas. Por lo tanto,

16. Geometría Analítica: Rectas secantes. Geometría Sintética Geometría Analítica Si Si P(x0,y0) está sobre la recta l 1de ecuación Entonces l1 Condiciones sobre la pendiente. Rectas secantes. P(x0,y0) y sobre la recta l2de ecuación es solución del sistema l2

17. Geometría Analítica: Rectas secantes. Resolvamos el sistema Cuando remplazamos el valor de y de la segunda ecuación en la primera obtenemos Operamos y agrupamos

18. Geometría Analítica: Rectas secantes. La ecuación tiene solución siempre que CONSECUENCIA Dos rectas con pendientes distintas siempre se intersectan. POR CONSIGUIENTE…

19. Geometría Sintética Geometría Analítica Tienen la misma pendiente. Rectas Paralelas son aquellas que no se intersectan.

20. Geometría Sintética Geometría Analítica Distancia entre dos puntos Teorema de Pitágoras

21. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: (x2,y2) Q |y2-y1| P (x1,y1) |x2-x1| Por el Teorema de Pitágoras

22. Geometría Analítica: Rectas Perpendiculares. Geometría Sintética Geometría Analítica El triángulo POQ es rectángulo. Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras afirma Como P(x1,y1) está sobre la recta l 1de ecuación Las rectas l 1y l 2 son perpendiculares l1 Condiciones sobre la pendiente. Rectas Perpendiculares. entonces O |OP|2+|OQ|2=|PQ|2 Q(x2,y2) P(x1,y1) y como Q(x2,y2)está sobre la recta l2de ecuación entonces l2

23. Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. Como y obtenemos

24. Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. De obtenemos y cuando simplificamos

25. Geometría Analítica: Rectas perpendiculares. Hemos mostrado que dos rectas de pendientes son perpendiculares, cuando y sólo cuando

26. Geometría Analítica: Algunos ejercicios. Hallar los puntos sobre el eje de las abscisas que distan 5 del punto P(2,-3) Dados P(2,2) y Q(5,-2), hallar los puntos R sobre el eje de las abscisas tales que el ángulo es recto.

27. Geometría Sintética Geometría Analítica Ecuación de la circunferencia Circunferencia: Lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto dado

28. ECUACION DE UNA CIRCUNFERENCIA: Q (x,y) r C (x1,y1)