Lygčių sistemos modeliai

1. Lygčių sistemos modeliai • Literatūra: • Asteriou D. Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. • Palgrave Macmilan, 2008 (12. Simultaneous Equation Models) psl. 230-237 • Gujaraty D, 18, 19, 20 skyreliai (Simultaneous Equation Models) • G.S Madala, Kajal Lahiri. Introduction to Econometrics Fourth edition, • Wiley, 2009,chapter 9 “Simultaneous Equation Models”. 555-400psl. 2012-11-28 VU EF V.Karpuškienė

2. Lygčių sistemos modeliai • Bendra modelio išraiška, modelių pavyzdžiai, sąvokos • Parametrų vertinimo problemos • Lygčių sistemos modelių parametrų vertinimo būdai VU EF V.Karpuškienė

3. 1.Bendra modelio išraiška, modelių pavyzdžiai, sąvokos • Bendra modelio forma • Modelių pavyzdžiai • Sąvokos VU EF V.Karpuškienė

4. Bendra lygčių sistemos modelio forma VU EF V.Karpuškienė

5. Modelio kintamieji • Y1, Y2, ...Ym –endogeniniai kintamieji • X1, X2, ...Xk–egzogeniniai kintamieji • β1, β2, ... βm -endogeninių kintamųjų koeficientai • γ1γ2...γk – egzogeninių kintamųjų koeficientai • u1 u2...um –modelio lygčių paklaidos • i – stebėjimų skaičius (i=1n) VU EF V.Karpuškienė

6. Sąvokos • Egzogeniniai kintamieji • Endogeniniai kintamieji • Redukuota lygtis • Redukuoti koeficientai VU EF V.Karpuškienė

7. Modelių pavyzdžiai • Modelių pavyzdžiai: • Pasiūlos paklausos modelis • Keinso modelis • Darbo užmokesčio - kainų modelis • IS- modelis VU EF V.Karpuškienė

8. Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos • Netenkinama klasikinio regresinio modelio paklaidų ir nepriklausomų kintamųjų koreliuotumo prielaida t.y., Cov(Xj, u)≠0 • MKM metodu įvertinti parametrai bus paslinkti ir nesuderinti VU EF V.Karpuškienė

9. PVZ: Keinso modelis • Vartojimo funkcija: • Pajamų tapatybė: Kur C = vartojimo išlaidos Y = pajamos I = visuminės investicijos S = santaupos t = laikas u = atsitiktinių veiksnių įtaka ir = parametrai VU EF V.Karpuškienė

10. PVZ: Keinso modelis • Parametras - tai ribinis polinkis vartoti (MPC) (reikšmė yra tarp 0 ir 1). • Parametra - tai nepriklausomas nuo pajamų (autonominis) vartojimas VU EF V.Karpuškienė

11. PVZ: Keinso modelisRedukuota lygtis C, Y– endogeninis kintamasis I – egzogeniniai kintamieji VU EF V.Karpuškienė

12. PVZ. Keinso modelis VU EF V.Karpuškienė

13. PVZ: Keinso modelis • Tačiau • , kur • Taigi ir • . • Tačiau • , kur • Taigi ir • Netenkinama klasikinės regresijos prielaida, teigianti, kad nepriklausomi kintamieji nėraatsitiktiniai dydžiai. VU EF V.Karpuškienė

14. 2. Lygčių sistemos modelių parametrų įvertinimo problemos • Modelio lygtys netenkina klasikinių regresijos prielaidų • Modelio koeficientai gali būti neįvertinami VU EF V.Karpuškienė

15. Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos • Netenkinama klasikinio regresinio modelio paklaidų ir nepriklausomų kintamųjų koreliuotumo prielaida t.y., Cov(Xj, u)≠0 • MKM metodu įvertinti parametrai bus paslinkti ir nesuderinti VU EF V.Karpuškienė

16. Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos • Koeficientų vertinimo procedūra: • MKM apskaičiuojami redukuotos regresijos lygties parametrai • Taikant formules iš redukuotų koeficientų gaunami pradinės lygčių sistemos koeficientai VU EF V.Karpuškienė

17. Lygčių sistemos modelių parametrų įvertinimo problemos • Galimi perskaičiavimo iš redukuotų koeficientų į pirminius atvejai: • Neįvertinamumas (underidentification) • Neįmanoma perskaičiuoti pirminių koeficientų (nėra sprendinių) • Tikslus įvertinamumas (identification) • Gaunami vieninteliai pirminių koeficientai (vienintelis sprendinys) • Pervertinamumas – (overidentification) • Gauname daug pirminių koeficientų variantų (begalybė sprendinių) VU EF V.Karpuškienė

18. Lygčių sistemos modelio koeficientų tikslaus įvertinamumo sąlygos • Eilės sąlygos – būtinos bet nepakankamos • Rango sąlygos – būtinos ir pakankamos VU EF V.Karpuškienė

19. Eilės sąlygos • Žymėjimai: • G – endogeninių kintamųjų skaičius lygčių sistemoje • M – neįtrauktų į nagrinėjamą lygtį kintamųjų (egzogeninių ir endogeninių) skaičius • Eilės sąlygos • Jeigu M<G-1 → lygties koeficientai neįvertinami • Jeigu M=G-1 → lygties koeficientai tiksliai įvertinami • Jeigu M>G-1 → lygties koeficientai pervertinami • Eilės sąlygos modelio įvertinimui būtinos, bet nepakankamos VU EF V.Karpuškienė

20. Rango sąlygos • Procedūra: • Sudaryti lentelę (Koef, 0, 1), kurioje stulpeliai yra kintamieji, eilutės - sistemos lygtys • Nagrinėjame sistemos kiekvienos lygties įvertinamumą VU EF V.Karpuškienė

21. Rango sąlygos VU EF V.Karpuškienė

22. Rango sąlygos VU EF V.Karpuškienė

23. Rango sąlygos • Procedūra: • Nagrinėjame sistemos kiekvienos lygties įvertinamumą • pagal eilės sąlygas nustatome neįvertinamas lygtis. Jų rango sąlygų vėliau nenagrinėjame • sudarome naują lentelę rango sąlygoms nustatyti • Išbraukiame iš lentelės nagrinėjamą lygtį • Išbraukiame tuos pradinės lentelės stulpelius, kurių nagrinėjamos lygties kintamieji lygūs 0 • Išvados: jeigu antroje lentelėje iš išbrauktų stulpelių elementų (pažymėti mėlynai) galime sudaryti bent vieną (G-1) matavimo eilės kvadratinę matricą, kurios determinantas būtų nelygus 0, tuomet lygtis yra įvertinama VU EF V.Karpuškienė

24. Rango sąlygos (1lygtis) Pirma lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas VU EF V.Karpuškienė

25. Rango sąlygos (2 lygtis) Antra lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas VU EF V.Karpuškienė

26. Rango sąlygos (3 lygtis) Trečia lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas VU EF V.Karpuškienė

27. Rango sąlygos (4 lygtis) Ketvirta lygtis įvertinama pagal rango sąlygas VU EF V.Karpuškienė

28. 3. Lygčių sistemos parametrų vertinimo metodai • Neįvertinamas modelis –lygčių sistemos parametrų apskaičiuoti neįmanoma • Tiksliai įvertinami modelio parametrai – NMKM (Netiesioginis mažiausių kvadratų metodas ) (ILS- indirect least square) • Pervertinamas modelis – 2ŽMKM (Dviejų žingsnių mažiausių kvadratų metodas) (TSLS –two stages least square) VU EF V.Karpuškienė

29. NMKM=ILS metodas NMKM žingsniai: • Surandame lygčių sistemos redukuotą lygtį • Apskaičiuojame redukuotos lygties parametrus taikydami MKM • Apskaičiuojame pradinius koeficientus naudodamiesi redukuotų koeficientų formulėmis VU EF V.Karpuškienė

30. 2ŽMKM=TSLS metodas Idėja: Endogeninius kintamuosius Yj, kurie koreliuoja su lygčių sistemos paklaidomis ui, pakeičiame jų pakaitalais , kurie nekoreliuoja su ui pakaitalai gaunami apskaičiavus Yj priklausomybę nuo modelio egzogeninių kintamųjų, vadinamų instrumentais VU EF V.Karpuškienė

31. 2ŽMKM=TSLS metodas Žingsniai: • Apskaičiuojame paprastu MKM modelio endogeninių kintamųjų, kurie kartu yra įtakojantys veiksniai, t.y., sutinkami dešinėje modelio lygčių pusėje, priklausomybę nuo egzogeninių ir vėluojančių egzogeninių kintamųjų, jeigu pastarieji yra įtraukti į modelį. Tokios apskaičiuotos endogeninių kintamųjų reikšmės, priklausančios tik nuo egzogeninių kintamųjų, yra vadinamos instrumentais • Suskaičiuojame pradinius sistemos lygčių koeficientus paprastu MKM pakeitę endogeninių kintamųjų faktines reikšmes apskaičiuotomis 1 žingsnyje instrumentų reikšmėmis VU EF V.Karpuškienė

32. PVZ: Keinso modelis2ŽMK metodas C, Y– endogeninis kintamasis I – egzogeniniai kintamieji Pirmas žingsnis: Antras žingsnis: VU EF V.Karpuškienė

33. 2ŽMKM=TSLS metodas • Praktinės įžvalgos: • MKM ir 2ŽMK metodu apskaičiuotos lygties paklaidos skiriasi, todėl ir R2 yra skirtingi • Kuo stipresnė instrumentinių kintamųjų priklausomybė nuo egzogeninių kintamųjų, tuo MKM ir 2ŽKM regresijų paklaidos ir R2 yra panašesni • R2 paprastai yra didesnis tuomet, kai turime daugiau egzogeninių kintamųjų VU EF V.Karpuškienė

34. Du svarbūs klausimai • Kurie kintamieji yra egzogeniniai, o kurie endogeniniai? • Kada lygčių sistemos modelio parametrus skaičiuoti MKM, o kada 2ŽMKM (2TLS)? VU EF V.Karpuškienė

35. 1 klausimo atsakymas • Nusprendžia analitikas • Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas VU EF V.Karpuškienė

36. Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test) Tarkim: • turime trijų lygčių sistemą, kurios endogeniniai kintamieji yra Y1 ,Y2;,Y3; o X1, X2, X3 egzogeniniai kintamieji • Pirmoji sistemos lygtis yra: VU EF V.Karpuškienė

37. Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test) • Suskaičiuojame tris papildomas lygtis: • Dvi lygtis instrumentiniams kintamiesiems įvertinti (tik nuo egzogeninių) • Papildoma Hausman testo lygtis su instrumentais VU EF V.Karpuškienė

38. Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test) • H0 (Y2;,Y3 egzogeniniai kintamieji) • H1 bent vienas (Y2;,Y3 kintamieji/bent vienas endogeniniai ) • Testas su ∝ reikšmingumo lymeniu • Jeigu Fapskaičiuota>F (m;n-k,∝) atmetam H0 • Išvada:Y2;,Y3 yra endogeniniai • Fapskaičiuota<F (m;n-k,∝) atmesti H0 negalime • Išvada:Y2;,Y3 egzogeniniai VU EF V.Karpuškienė

39. Priminimas • F testo statistika • m –tikrinamų (ribojančių) kintamųjų skaičius • n – stebėjimų skaičius • k –vertinamų koeficientų prie visų kintaųjų skaičius nagrinėjamoje lygtyje VU EF V.Karpuškienė

40. Antras svarbus klausimas 2. Kada lygčių sistemos modelio parametrus skaičiuoti MKM, o kada 2ŽMKM (2TLS) Atsakymas: Lygties dešinėje pusėje tarp įtakojančių kintamųjų turime endogeninius kintamuosius VU EF V.Karpuškienė