Osová rovnica hyperboly

1. Osová rovnica hyperboly Analytická geometria kvadratických útvarov

2. Definícia hyperboly Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine, ktorých absolútna hodnota rozdielu vzdialeností od daných dvoch rôznych pevných bodov je konštantná a je menšia ako vzdialenosť daných bodov.

3. Prvky hyperboly • S[m,n] – stred • F1 F2 - ohniská A, B – vrcholy • X[x,y] – ľubovoľný bod • a = AS = BS - hlavná polos • b- vedľajšia polos • e = F1 S =  F2 S excentricita(výstrednosť) • v každej hyperbole platí vzťah medzi veľkosťami polosí a excentricitou

4. Dôležité vzťahy • zvolíme súradnicovú sústavu tak, aby jej začiatok bol v strede hyperboly, x-ová os bola hlavná os hyperboly a y-ová os bola vedľajšia os. • súradnice význačných bodov budú: S[0,0] F1[-e,0], F2[e,0], A[-a,0], B[a,0],

5. Osová rovnica hyperboly Odvodenie • rozdiel vzdialeností ľubovoľného bodu X od ohnísk v absolútnej hodnote je 2a • postupným odvodzovaním dostaneme rovnicu • Tento vzťah nazývame osová rovnica hyperboly

6. Osová rovnica hyperboly Odvodenie • ak stred bude v ľubovoľnom bode súradnicovej sústavy • Tento vzťah nazývame osová rovnica hyperboly

7. Osová rovnica hyperboly – riešené príklady Napíšte osovú rovnicu hyperboly, ktorá má stred v bode S a polosi a, b.

8. Osová rovnica hyperboly – riešené príklady Z osovej rovnice hyperboly určte súradnice stredu a veľkosti polosí hyperboly.

9. Príklady na precvičenie • Napíšte osovú rovnicu hyperboly, ak: • S[2,-4], a = 8, e = 10 • S[-1,2], e = 5, b = 3 • Zistite veľkosť polosí hyperboly a ohniskovú vzdialenosť, ak je hyperbola daná rovnicou: • 9x2 – 16y2 = 144 • x2 – 4y2 = 16 • 9x2 – 36y2 = 324 • 4x2 – y2 = 16 • 3(x + 2)2 – (y + 1)2 = 3 • 25(x – 3)2 – 16(y – 7)2 = 400 riešenie riešenie riešenie riešenie riešenie riešenie riešenie

10. koniec

11. Príklad 1 Napíšte osovú rovnicu hyperboly, ak: • S[2,-4], a = 8, e = 10 • S[-1,2], e = 5, b = 3 späť

12. Príklad 2a) Zistite veľkosť polosí hyperboly a ohniskovú vzdialenosť, ak je hyperbola daná rovnicou: 9x2 – 16y2 = 144 späť

13. Príklad 2b) Zistite veľkosť polosí hyperboly a ohniskovú vzdialenosť, ak je hyperbola daná rovnicou: x2 – 4y2 = 16 späť

14. Príklad 2c) Zistite veľkosť polosí hyperboly a ohniskovú vzdialenosť, ak je hyperbola daná rovnicou: 9x2 – 36y2 = 324 späť

15. Príklad 2d) Zistite veľkosť polosí hyperboly a ohniskovú vzdialenosť, ak je hyperbola daná rovnicou: 4x2 – y2 = 16 späť

16. Príklad 2e) Zistite veľkosť polosí hyperboly a ohniskovú vzdialenosť, ak je hyperbola daná rovnicou: 3(x + 2)2 – (y + 1)2 = 3 späť

17. Príklad 2f) Zistite veľkosť polosí hyperboly a ohniskovú vzdialenosť, ak je hyperbola daná rovnicou: 25(x – 3)2 – 16(y – 7)2 = 400 späť