1 / 57

TURUNAN DI R n

TURUNAN DI R n. FMIPA Universitas Indonesia. Materi Turunan di R n. Tujuan Instruksional Khusus. Mahasiswa mampu Memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut .

abdul-bolton
Download Presentation

TURUNAN DI R n

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TURUNAN DI Rn FMIPA Universitas Indonesia

  2. MateriTurunandiRn Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  3. TujuanInstruksionalKhusus Mahasiswamampu • Memodelkansuatusituasinyatasertamenjelaskanmaknasetiapsukudalamekspresifungsitersebut. • Merepresentasikansebuahfungsiduapeubahsebagaigrafikpermukaan, danmembuatsketsakurvaketinggiandenganbantuan TIK. • Memvisualisasikangrafikpermukaandankurvaketinggiansecaratepat. • Menghitungturunanparsialdangradien • Menggunakangradienuntukmencaribidangsinggung, turunanberarah, danmenginterpretasikansecarageometri Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  4. TujuanInstruksionalKhusus Mahasiswamampu: • Menggunakanaturanrantaiuntukmengevaluasiturunanfungsi n peubah. • Mencaridanmengklasifikasikantitikkritisdarifungsimultivariabeldenganmenggunakanujiturunankedua. • Menggunakanmetode Lagrange untukmemaksimumkanataumeminimumkanfungsimultivariabeldengankendala. • Menggunakanmetodekuadratterkeciluntukmelakukanprediksi. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  5. FMIPA Universitas Indonesia Fungsi n Variabel Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  6. Fungsi-2 Variabel • Fungsiduavariabel:adalahaturanf yang mengaitkansetiappasanganterurutdidaerahasalD yang berupabidangdengantepatsebuahbilangan real, ditandaioleh • Himpunannilai-nilaifdisebutjangkauan. • disebutvariabelbebasfungsidanzadalahvariabelterikat. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  7. CONTOH 1 : Mencaridaerahasalfungsi Tentukanlahdaerahasaldarifungsi • Penyelesaian • Daerah asaldarifadalahsemua (x,y) sedemikiansehinggay ^2 -x ≥0dantitik (2,0) tidaktermasuk. • Dari ketaksamaany^ 2- x diperolehdaerahadadaaa. . Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  8. GrafikFungsiDuaVariabel • Grafikfungsiduavariabeladalahgambardaripersamaanberupapermukaandiruangdengankoordinattitiknyaadalah yang memenuhipersamaan . • Setiaptitikdidaerahasalberkorespondensidengantepatsatutitikz. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  9. Contoh 2 : Sketsagrafikfungsi Sketsalahgrafikdari • Penyelesaian: • Carititik-titikpotongbidangterhadapsumbu-sumbukoordinatCartesiussepertiberikut : • Titikpotong bidang dengan sumbux, y dan zadalah : (0,0,6),(0,12,0),(18,0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  10. Contoh 3 : Sketsagrafikfungsi Sketsalah grafik dari . • Penyelesaian • Mula-mulagambargrafikketikax=0 (atauy=0) yaitugrafikpersamaan. • Berikutnyagambarkurvauntuknilaiztetap yang berbeda-beda, misalnyaz=1, z=2, z=3, dst., dengandaerah alas berbentuklingkaran x^2/+/y^2/=/9-z/ Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  11. Contoh 3(Lanjutan) • Bilakitaperhatikankeduagrafikini, grafikpersamaanmenjadigrafikparaboloida. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  12. Contoh 4 : Sketsagrafikfungsi . • Sketsalahgrafikdari • Penyelesaian • Grafikiniekivalendengangrafikpersamaan2x^2+y^2+2z^2=4diatasbidang z=0 • Gambardulugrafikketikax=0 (atauy=0) yaitugrafikpersamaany^2+2z^2=4 • Gambar kurva untuk nilai ztetap yang berbeda-beda dengan daerah alas berbentuk elips . Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  13. Contoh 4 (lanjutan) • Grafikpersamaanfmenjadigrafikelipsioda. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  14. KurvaKetinggian • Untukmenggambarpermukaandarifungsiseringkaliamatsukar. • Cara lain yang lebihmudahadalahdenganmenggambarkanpetakontur. • Setiapbidangz=c memotongpermukaandisuatukurva. • Proyeksikurvainidibidang-xydisebutkurvaketinggian. • Himpunankurva-kurvaketinggianinilah yang disebutsebagaipetakontur. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  15. Contoh 5 : Sketsapetakontur • Sketsalah peta kontur untuk seperti pada Contoh 3. • Penyelesaian: • Gambarlah kurva-kurva dari padaketinggianz=-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; dan 4 • Kurva-kurvainiberbentuk lingkaran. Petakontur Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  16. Contoh 6Petakonturuntuk PetaKontur Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  17. FMIPA Universitas Indonesia Limit danKekontinuan Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  18. Limit FungsiDuaVariabel • Secaraintuitif, ide limit untukfungsiduavariabelserupadenganide limit padafungsisatuvariabel. • Suatunilaifungsif(x,y) dikatakanmendekatiLapabila (x,y) jugamendekatititik (a,b). • Masalah : pada limit fungsiduavariabel, (x,y) menghampiri (a,b) darisegalaarah. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  19. Definisi: Limit FungsiDuaPeubah • Fungsif(x,y) dikatakanmemiliki limit Lapabila (x,y) mendekati (a,b) jika: untuksetiapε> 0 terdapatδ > 0 sedemikiansehinggauntuksetiap (x,y) didaerahasalf yang memenuhi maka Penulisannyaadalah Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  20. Aljabar Limit • Misalkandan Maka: • Jikam, nadalahbilanganbulatdann≠0 , maka Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  21. Aplikasi Aljabar Limit • Bilasifat limit kitaaplikasikanpadafungsipolinomataufungsirasional, makamenghitung limit fungsiapabila dapatdilakukandenganmenghitungnilaifungsidi . • Contoh: Carilah Penyelesaian: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  22. Latihan 1. Carilah 2. Tunjukkan Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  23. Contoh 7 • Tunjukkanbahwaf yang didefinisikansebagai tidakmemiliki limit dititikasal (0,0). • Penyelesaian: • Fungsifmemilikinilaidiseluruhbidangkecualidititikasal (0,0). • Nilaif disumbu-x, kecualidititikasal, adalah • Akibatnya, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  24. Contoh 7 (lanjutan) • Nilaif disumbu-y, kecualidititikasal, adalah • Sehingga, nilai limit fungsijikamenujutitikasaldarisumbu-yadalah • Jadi, fungsi f tidakmemiliki limit di (0,0) karenaterdapatsembarangtitikdekat (0,0) yang bernilai 1, sedangkantitik lain yang jugadekatdengan (0,0) memilikinilai -1. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  25. UjiDuaLintasanuntukKetakberadaan Limit • Jikafungsimemilikinilai limit yang berbedadaridualintasanmendekati , • makatidakada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  26. Latihan • Tunjukkanbahwafungsi tidakmemiliki limit dititikasal (0,0). • Petunjuk: • Carilahnilaifungsifdigarisy=mx, denganmkonstanta yang berubah-ubahdanx≠0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  27. Penyelesaian Untuksetiapnilaim , fungsif bernilaikonstansepanjanggarisy=mx, x≠0 karena Nilai limit fungsifpadasaaty=mxberubah-ubahsesuaidengannilaim, sebab Akibatnya, f tidakpunya limit di (0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  28. Kekontinuan • Fungsifdikatakankontinudititik (a,b) jika • f terdefinisidi (a,b) • ada • Fungsifdikatakankontinuapabilaf kontinudisetiaptitikdidaerahasal. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  29. Kekontinuan • Secaraintuitif, fungsiduavariabel yang kontinutidakmemilikilompatan, perubahan yang fluktuatifatauperilakutakterbatasdisekitar (a,b). • Fungsipolinomselalukontinudisetiapdibidang. • Fungsirasionaljugakontinudiseluruhbidangkecualidititik-titik yang memberikannilaipembaginyasamadengan nol. • Denganmenggunakansifat limit, kitadapatmengatakanbahwapenjumlahan, pengurangan, perkaliandanpembagianfungsi-fungsikontinujugakontinu (denganmengasumsikanbahwapembaginoldiabaikan). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  30. FMIPA Universitas Indonesia TURUNAN PARSIAL Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  31. TurunanParsial • Bidangy=y0 (PQR) memotongpermukaanz=f(x,y) dikurvaz=f(x,y0) (busurQR). • Kurvainiadalahgrafikdarifungsiz=f(x,y0) yang merupakanfungsisatuvariabelx. • Turunanparsialfterhadapxdititik (x0,y0) adalahturunanbiasadarif(x,y0) terhadapx dix0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  32. Artigeometriturunanparsial • Nilaiturunanparsialdarifterhadapxpadatitik (x0,y0) memilikiartigeometri: • Kemiringankurvaz=f(x,y0) (busurQR) dititik padabidangy=y0 (PQR). ATAU • Lajuperubahandarifdi (x0,y0) terhadapxdenganmenganggapytetapyaituy=y0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  33. TurunanParsialterhadapx TurunanParsialterhadapy • Turunanparsialf(x,y) terhadapxpadatitik (x0,y0) adalah • denganasumsilimitnyaada. • Turunanparsialf(x,y) terhadapypadatitik (x0,y0) adalah • denganasumsilimitnyaada. Definisi: TurunanParsial Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  34. Contoh 8 : Mencariturunanparsial Carilah nilai dari ∂f/∂x dan ∂f/∂y di (2,3) dari Penyelesaian : • Untukmencari∂f/∂x, pandangysebagaisuatukonstantakemudianturunkanfterhadapx : • Untuk mencari ∂f/∂y, pandang x sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap y: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  35. Latihan: Mencariturunanparsial • Cariturunanparsialdandidari • Tentukandandari Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  36. TurunanParsialdanKekontinuan • Padafungsisatuvariabel,jikafungsiterturunkandisuatutitikmakafungsitersebutkontinudititiktersebut. • Berbedadenganfaktatersebut, padafungsiduaataulebihvariabel, turunanparsialterhadapxdanterhadapy disuatutitiktidakmenjaminkekontinuanfungsidititiktersebut. • Jikaturunanparsialdariz=f(x,y) adadanturunanparsialtersebutkontinudiseluruhcakram yang berpusatdi (x0,y0), barulahkitakatakanfungsikontinudi (x0,y0). • Perhatikanlahcontohberikut. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  37. Contoh 9: Menunjukkanturunanparsial f adatetapi f diskontinu • Misalkan • danadadititikasal (0,0), yaitu: • Nilaif sepanjanggarisadalah 0, kecualidititik (0,0). • Maka, • Karenadanmakaf takkontinudi (0,0). • Namundemikian, turunanparsialdanadadititikasal (0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  38. Ada 4 macamturunanordeduadarifungsiduavariabel TurunanParsialOrdeDua Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  39. Contoh 10 : Menghitungturunanparsial • Carilahturunanparsialkeduadarifungsi Penyelesaian : Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  40. Keterturunan • Padafungsiduavariabel, keterturunanjugaberkaitandenganeksistensibidangsinggung. • Namun, keterturunanfungsiduavariabelmemerlukanlebihdarisekedarturunanparsial yang hanyamenyatakanperilakufdariduaarahsaja. • Dengandemikian, eksistensiturunanparsialtidakmenjaminketerturunansuatufungsiduavariabel. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  41. FMIPA Universitas Indonesia ATURAN RANTAI Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  42. AturanRantai Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  43. Contoh 11 : Penggunaanaturanrantai Misalkandengan , , carilah Penyelesaian Fungsiz ,x,danyadalahfungsipolinom yang terturunkanmaka Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  44. Contoh 12 : Penggunaanaturanrantai Jikadengan, , carilah∂z/∂sdan∂z/∂t. Penyelesaian Karenafungsixdanyadalahfungsipolinom yang terturunkandanzadalahfungsilogaritma yang jugaterturunkan, maka∂z/∂sdan∂z/∂tada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  45. Contoh 12 (lanjutan) Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  46. TurunanFungsiImplisit • Misalkanmendefinisikansecaraimplisitysebagaifungsidarix. • Makaturunannya: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  47. Contoh 13 : Mencariturunanfungsiimplisit Carilah dy/dx dari persamaan berikut : Penyelesaian Kita turunkan kedua ruas secara implisit seperti berikut. Kemudiandenganmenyelesaikanpersamaantersebutkitaperolehnilaidy/dx, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  48. FMIPA Universitas Indonesia TURUNAN BERARAH &VEKTOR GRADIEN Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  49. Turunan Berarah & Vektor Gradien TurunanBerarah Mencariturunanberarahdenganvektorgradien Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia

  50. Turunan Berarah • Turunanparsialfungsiduavariabelterhadap-xmemilikiartigeometrisebagailajuperubahanfdalamarahi(arahsumbu-x) • Bagianiniadalahmempelajarilajuperubahan fdalamsebarangarahvektoru • Limit ini, jikaada, adalahturunanberarahdarifdipdalamarahu. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

More Related