370 likes | 1.04k Views
TURUNAN. Konsep Turunan. Turunan di satu titik. a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :. Q. f(x+h). f(x+h)-f(x). P. f(x). Jika x +h x , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan. h. x. X+h. c. f(c). c+h. f(c+h). s.
E N D
KonsepTurunan Turunan di satu titik a. GarisSinggung Kemiringan tali busur PQ adalah : Q f(x+h) f(x+h)-f(x) P f(x) Jika x+h x , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan h x X+h
c f(c) c+h f(c+h) s b. KecepatanSesaat Misalsebuahbendabergeraksepanjanggariskoordinatsehinggaposisinyasetiapsaatdiberikanolehs = f(t). Padasaatt = cbendaberadadif(c)dansaatt = c + h bendaberadadif(c+h). Perubahanwaktu Perubahanposisi Sehinggakecepatan rata-rata padaselangwaktu [c,c+h] adalah
Jika h 0, diperolehkecepatansesaatdix = c : Untukkecepatansesaatdisembarangtempatdapat Dituliskansebagaiberikut Dari duabentukdiatas : kemiringangarissinggungdankecepatansesaatterlihatbahwaduamasalahtersebutberadadalamsatutema, yaituturunan : Definisi :Turunanpertamafungsif(x) dinotasikandenganlambang f’(x)dandidefinisikansebagaiberikut :
Notasidariturunanfungsi f(x) : Contoh : Diketahui f(x) tentukan f’(x) jika : -. f(x) = C Jawab : f’(x) = -. f(x) = x Jawab : f’(x) = -. f(x) = x2 Jawab : f’(x) =
-. f(x) = x3 Jawab : f’(x) = -. f(x) = xn Jawab : f’(x) =
Secaraumumdapatdirumuskanjika : Untuk :
ContohSoal : Tentukanturunandari f(x) jika : a. f(x) = 2x2 + 3x - 5 b. f(x) = Jawab : a. f(x) = 2x2 + 3x - 5 f’(x) = 4x + 3 b. f(x) = f(x) = 3 – 4x-3 +5x-2
Soal • TentukanTurunandarifungsi f(x) dibawahini : • f(x) = 5x4 +2x2 -3x +6 • f(x) = 2x7 + 5x • f(x) = 3x-2 + 4x-3 + 4 • f(x) = • f(x) = ( 2x + 3 )2 • f(x) = • f(x) =
Aturanuntukmencariturunan Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut : 1. 2. 3.dengan g(x) ≠0.
Buktiaturan ke-2 Misal u(x) = f(x).g(x)
Contoh 1. Tentukanturunanpertamadari Jawab : 2. Tentukanturunanpertamadari Jawab : 3.Tentukan turunan pertamadari Jawab :
LATIHAN SOAL Tentukanfungsiturunanpertamadari 1. 2. 3. 4. 5.
B D A O C OC= cos ; CB= sin TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Perhatikangambardisamping. Misalkan=AOB adalahsudutpusatlingkarandenganjarijari =1. Luas▲ = ½ a.tdanluasjuring = ½ r2.t Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB Sehingga½ cos2 ≤ ½ sin cos ≤ ½ .1 Bagidengan ½ cos > 0 diperoleh; Jika→0 makacos→1 sehingga : Sehingga :
Bukti: a. Misal f(x) = sin x maka
Untukturunanfungsitrigonometri yang laindapatdiperolehDenganmenerapkanrumusperhitunganturunan, khususnyaturunanbentuk u/v
LATIHAN SOAL SoalLatihan Tentukanturunandarifungsi f(x) berikutini : • f(x) = sin 3x + cos 2x • f(x) = x2 sin 2x • f(x) = sin2 x • f(x) = 3 cos2 x • f(x) = tan x • f(x) = tan2x • f(x) = ½ tan x sin 2x
ATURAN RANTAI ada , dan Andaikan y=f(u) dan u = g(x). Jika dari Contoh 1: Tentukan Jawab : Misal : sehinggabentukdiatasmenjadi Karena dan maka
Jika f(x)= un maka f’(x)=nu’un-1 Contoh 2 : Tentukanturunandari : y = (3x2+4)4 Jawab : Misal u=(3x2+4) maka Dan y= u4 maka sehingga : = 6x.4u3 = 6x.4(3x2+4)3 = 24x.(3x2+4)3 Turunandari y = (3x2+4)4 adalah y’= 24x.(3x2+4)3
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan Ada, maka Contoh 3: Tentukan dari Jawab : Misal u = Sin v sehingga
LATIHAN SOAL A. Tentukanfungsiturunanpertamadari 1. 4. 5. 2. y = sin x tan [ x2 + 1 ] 3. 6.
PENGGUNAAN TURUNAN Untukmenentukanpersamaangarissinggungpadakurva. Telahdisinggungdidepanbahwagradiengarissinggungpadasuatu Kurva f(x) adalahturunanpertamadarifungsiterebut : m = f’(x) = Contoh Soal: • Tentukannilaigradiengarissinggungpadakurva : • y = x2 -3x +4 dititik A. ( 2,2 ) • y = sin x untuk x = Jawab : • y = x2 -3x +4 gradien m = y’ = 2x – 3 dititik ( 2,2 ) • m = y’ = 2.2 – 3 = 1 • y = sin x gradien m = y’ = cos x untuk x = • m = cos = ½
Pemakaian Gradien untuk menentukan persamaan garis singgung Terhadap suatu kurva di titik tertentu . Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada kurfa f(x), maka persamaan Garis singgung yang melalui titik P pada kurva f(x) dituliskan sbb: Y – y1 = f’(x) ( x – x1) Contohsoal : Tentukanpersamaangarissinggungpadakurva f(x) = x3 – 2x + 3 Dititik P(2,7). Jawab : Gradiengarissinggung = m = f’(x) = 3x2 – 2 dititik ( 2,7) maka m = f’(x) = 10 Persamaangarissinggungnya , Y – y1 = f’(x)(x-x1) yaituy – 7 = 10 ( x – 2 ) y – 7 = 10 x – 20 y = 20 x - 13
Jika l1 garis yang memilikigradien m1; dan l2 garis yang memiliki Gradien m2, makahubunganantara m1 dan m2 terhadapkedudukan Garis l1 dan l2 adalahsebagaiberikut : Jika l1 sejajar l2 makanilai m1 = m2 dan Jika l1 tegaklurus l2 makanilai m1.m2 = -1 Contohsoal : Tentukanpersamaangarissinggungpadakurva f(x) = x2 – 3x + 2 Yang sejajarterhadapgaris y= 3x + 4 Jawab : Gradiengarissinggung = m = f’(x) = 2x – 3 sejajargaris y = 3x + 4 m1 = m2 = 3 maka2x – 3 = 3 ; x = 3 untuk x = 3 nilaiy = 32 – 3.3 + 2 = 2 makatitiksinggungnyadi ( 3,2) Persamaangarissinggung yang ditanyakanadalah : Y – 2 = 3 ( x – 3 ) Y = 3x – 11
Selaindigunakanuntukmenentukangradiengarissinggung, turunanJugadigunakanuntukmenentukankelajuan. Jikasuatuvariabel x adalahfungsidariwaktulajuperubahan x terhadapwaktudinyatakanDalamdx/dt. Contohsoal : Mobil meluncurdenganmembentukfungsi S = 50 – 3t – 2t2, tentukanKecepatanmobilsaat t=3. Jawab. Kecepatan = v = dS/dt = -3 – 4t saat t = 3 Maka v = -3 -4.3 = - 15
Contoh soal : Air mengalirkeluardaricorongkerucutdengankelajuan 5 cm3s-1 Jari-jaridasarcorongadalah 10 cm dantingginya 20 cm. Hitungkelajuan air saatketinggian air turunberjarak 5 cm daripuncak. Makar/10 = h/20 sehingga r = ½ h 10 Karena r = ½ h maka r Diketahuidv/dt = 5 cm3s-1 20 Air berjarak 5 cm daripuncak Maka air telahturunsejauh h = 20 – 5 = 15 cm h Makakelajuan air yang ditanyakanadalah : cm3s-1
LATIHAN SOAL • Tentukanpersamaangarissinggungpadakurva f(x)= x4 + 12x – 5 • Di titik ( 1, 11) • Tentukanpersamaangarissinggungpadakurva f(x) = 2x3 - 23x – 2 • Yang sejajardengangaris y = x - 7 • Tentukanpesamaangarissinggungpadakurva f(x) = x2 – 6x + 4 • Yang tegaklurusdengangaris y= ½ x - 5 • Tentukanpersamaangarissinggungpadalingkaranberpusatdi (0,0) • yang berjarijari 5 danmelaluititik P(3,4). • Seorangmahasiswamemakaisebuahsedotanuntukminumdarigelaskertasberbentukkerucut yang sumbunyategak, denganlaju 3 cm3/detik. Jikatinggigelas 10 cm dan diameter mulutgelas 6 cm, seberapacepatmenurunnyapermukaancairanpadasaatkedalamancairan 5 cm?
PENDIFERENSIALAN IMPLISIT Jika f (x, y)=0 merupakanfungsiimplisit, dy/dxdapatdiperolehdenganmendiferensiasikansukudemisuku, denganmenganggap y sebagaifungsidari x. Contoh: Caridy/dxjika 4x2y – 3y = x3 – 1 Penyelesaian: Cara 1: y(4x2 – 3) = x3 – 1 y =
Cara 2 Turunkankeduaruas. Diperoleh: