SISTEM KOORDINAT

1. SISTEM KOORDINAT

2. KOORDINAT CARTESIUS • Terdapatduagarisriil, yaitugarismendatardanlainnyategak, dimanakeduanyasalingberpotonganpadatitik-titiknoldarikeduagaristersebut. • Duagarisitudinamakansumbu-sumbukoordinat. • Garis yang mendatardinamakansumbu x dangaris yang tegakdinamakansumbu y. • Setengahbagianpositifdarisumbu x adalahkekanandansetengahbagianpositifdarisumbu y adalahkeatas.

3. Padagambartitik P dapatdinyatakandengansepasangbilangan, yang dinamakankoordinat-koordinatCartesiusnya. Apabilagarismendatardantegak yang melalui P masing- masingmemotongsumbu x dansumbu y di a dan b maka P mempunyaikoordinat (a,b). Kita sebut (a,b) suatupasanganterurutbilangan-bilangankarenaakanberbedajikaurutannyadibalik. Dimanabilangan a adalahkoordinat x (absis) sedangkanbilangan b adalahkoordinat y (ordinat).

4. RUMUS JARAK • Denganmenggunakankoordinat, kitadapatmemperkenalkansebuahrumussederhanauntukjarakantaraduatitikpadabidang. Inididasarkanpadateoremaphytagoras, yang menyatakanjika a dan b merupakanukurandua kali suatusegitigasiku-sikudan c merupakanukuransisimiringnyamaka a2 + b2 = c2

7. PenjelasanGambar • Sebaliknya, hubunganantaratigasisisegitigainihanyaberlakuuntuksegitigasiku-siku. • Duatitik P dan Q, masing-masingdengankoordinat-koordinat (x1, y1) dan (x2, y2), bersamadengan R titikdengankoordinat (x2, y1) P dan Q adalahtitik-titiksudutsebuahsegitigasiku-siku. • Panjang PR dan RQ masing-masing | x2 – x1 | dan |y2 – y1|, BilamanateoremaPhytagorasditerapkandandiambilakarkuadratutamadarikeduaruasmakadiperoleh d (P,Q) jarak (takberarah) antara P dan Q. d (P, Q) = • Inidisebutrumusjarak

8. CONTOH 1. Carilahjarakantara a. P (-2, 3) dan Q (4, -1) b. P (√2, √3) dan Q (π, π) Penyelesaian • d (P, Q) = • d(P, Q) =

9. Rumustetapberlakuwalaupunduatitiktersebutterletakpadagarismendatarataugaristegak yang sama. Jadi, jarakantara P (-2, 2) dan Q (6, 2) adalah = = 8

10. RUMUS LINGKARAN • Lingkaranadalahhimpunantitik-titik yang terletakpadasuatujaraktetap (jari-jari) darisuatutitiktetap (pusat). • Misalnya, lingkarandenganjari-jari 3 berpusatdi (-1, 2). • Andaikan (x, y) menyatakantitiksebarangpadalingkaranini, Menurutrumusjarak = 3

12. Bilamanakeduaruasdikuadratkan, kitaperoleh (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9 yang disebutpersamaandarilingkaranini. • Secaralebihumum, lingkaranberjari-jari r danpusat (h, k) mempunyaipersamaan (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Inidisebutpersamaanbakusebuahlingkaran

13. Contoh 2 Carilahpersamaanlingkaranberjari-jari 5 danpusat (1, -5). Car jugakoordinat-koordinat y dariduatitikpadalingkaraninidengankoordinat x adalah 2. Penyelesaian. Persamaan yang diinginkanadalah (x ­- 1)2 + (y + 5)2 = 25 Kita masukkan x = 2 dalampersamaandanselesaikanuntuk y. (2 - 1)2 + (y + 5)2 = 25 (y +5)2 = 24 y + 5 = ± √24 y = - 5 ± √24 = - 5 ± 2 √6

14. RUMUS TITIK TENGAH • Adaduatitik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) dimana x1 ≤ x2,

15. Maka:

16. Iniberartibahwatitik (x1 + x2) / 2 beradaditengah-tengahantara x1dan x2padasumbu x, dengandemikiantitiktengah M daripotongangaris PQ memilikiabsis (x1 + x2) / 2 danbegitu pula sebaliknya (y1 + y2) / 2 adalahmerupakankoordinatdari M juga, makadiperolehpersamaan :

17. Contoh 3 Tentukanpersamaanlingkaran yang mempunyaipotongangarisdari (1, 3) ke (7, 11) sebagaigaristengahnya. Penyelesaian.Pusatlingkaranterletakditengah – tengahgaristengahnyasehinggatitikpusatmempunyaikoordinat (1 + 7) / 2 = 4 dan (3+11) / 2 = 7. Makadiperolehrumuspanjanggaristengah : [(7 – 1)2 + (11 – 3)2]1/2 = [36 + 64] ½ = 10 Berartijari-jarilingkarannyaadalah 5, jadipersamaanlingkaran : (x – 4)2 + (y – 7)2 = 25

18. Garislurus – kemiringangaris • Umumnyagambarberikutuntuksebuahgaris yang melalui A (x1, y1) dan B (x2, y2) dengan x1 ≠ x2 , kemiringanmdarigarisitudidefinisikanoleh: Yang pentingadalahbahwakoordinat-koordinat yang dikurangkandalamurutansamadipembilangdanpenyebutnya.

19. BENTUK KEMIRINGAN TITIK • Ambillahsembarangtitikpadagarismisalnyatitikdengankoordinat (x, y). Jikakitagunakantitikinidantitik (3, 2) untukmengukurkemiringannya, pastidiperoleh 2/5 yaitu :

20. Garis yang melaluititik (tetap) (x1, y1) dengankemiringanmmempunyaipersamaan : y – y1 = m (x – x1) • Inidinamakankemiringantitikdansebuahgaris.

21. Contoh 4 Caripersamaangaris yang melalui (- 4, 2) dan (6,-1) Penyelesaian. Kemiringanmadalah (- 1 - 2) / (6 + 4) = - 3/10. Sehingga, denganmenggunakan (-4,2) sebagaititiktetap, makadidapatkanpersamaan :

22. BENTUK KEMIRINGAN PERPOTONGAN (intersep) • Persamaansuatugarisdapatdinyatakanbermacam-macambentuk. Semisaldiberikan slope m untuksuatugarisdan b perpotongansumbu y di (0, b). Denganmemilih (0, b) sebagai (x1, y1) danmenerapkanbentukkemiringantitikmakadiperoleh : y – b = m (x – 0) atauy = mx + b • Yang disebutbentukkemiringanperpotongan/intersep.

23. Misal, lihatpersamaan ; 3x – 2y + 4 = 0 2y = 3x + 4 y = (3/2)x + 2 iniadalahpersamaangarisdengankemiringan 3/2 danintersep y = 2.

24. PERSAMAAN GARIS VERTIKAL • Persamaangaristegakbisadituliskan : x = k dimana k adalahsuatukonstanta. Patutdicatatbahwapersamaansuatugarisdapatjugadituliskan y = k.

25. BENTUK Ax + By +C = 0 Misal : 1. y – 2 = - 4 (x + 2) denganmemindahkansemuanyakeruaskiri 4x + y + 6 = 0 2. y = 5x – 3 -5x + y + 3 = 0 3. x = 5 x + 0y + - 5 = 0 • Semuanyaberbentuk : Ax + By + C = 0, AdanBkeduanyatidak 0

26. contoh CarilahpersamaantiapgarisdalambentukAx + By + C = 0 • Melalui (2, 3) dengankemiringan 4. Jawab : 2x + 3y + 4 = 0 • Melalui (3, - 4) dengankemiringan – 2. Jawab : 3x – 4y – 2 = 0 • Denganintersep = 4 dankemiringan – 2. Jawab : -4 x + y – 2 = 0

27. GARIS – GARIS SEJAJAR • Jikaduagarismempunyaikemiringansama, makakeduanyasejajar. Jadi, y = 2x + 2 dan y = 2x + 5 merupakangarissejajar ; keduanyamemilikikemiringan 2. Garis yang keduaadalah 3 satuandiatas yang pertamauntuksetiapnilai x.

29. Jadidapatditarikkesimpulanbahwaduagaristakvertikaladalahsejajarjikadanhanyajikakeduanyamempunyaikemiringan yang sama.

30. contoh Carilahpersamaangaris yang melalui (6,8), yang sejajardengangaris yang mempunyaipersamaan 3x – 5y = 11 Penyelesaian. 3x – 5y = 11 untuk y kitaperoleh: didapatkemiringangarisadalah 3/5, jadipersamaangaris yang diinginkanyaitu : atau, samadengan 3x – 5 y + 22 = 0

31. GARIS – GARIS TEGAK LURUS • Syaratkemiringansederhana yang mencirikantegaklurusialahduagaristakvertikalsalingtegaklurusjikadanhanyajikakemiringankeduanyasalingberkebalikannegatif.AndaikanP1 (x1, y1) suatutitikpada l1danP2 (x2, y2) titikpadal2 . MenurutTeorema Pythagoras dankebalikannyaP1 OP2merupakansudutsiku-sikujika [d (P1 , O)]2 + [d (P2, O)]2 = [d (P1, P2)]2 • Setelahpenguraiandanpenyederhanaan, persamaannyamenjadi 2x1 x2 + 2y1 y2 = 0 atau • Jadiy1 / x1adalahkemiringandaril1, sedangkany2 / x2adalahkemiringandaril2.

32. contoh Carilahpersamaangaris yang melaluititikpotonggaris-garisdenganpersamaan 3x + 4y = 8 dan 6x – 10y = 7, yang tegaklurusdengangaris yang pertama Penyelesaian.Untukmencarititikpotongduagarisini, persamaan yang pertamadikalikan – 2 danhasilnyaditambahkanpadapersamaan yang kedua. -6x - 8y = -16 6x – 10y = 7 - 18 y = -9 y = 1/2

33. Denganmensubstitusikan y = ½ akandihasilkan x = 2. Titikpotongnyaadalah (2, ½). Bilamanapersamaanpertamadiselesaikanuntuk y, diperoleh y = -3/4x + 2. Garistegaklurusnyamempunyaikemiringan 4/3 jadididapatpersamaan y – ½ = 4/3 (x – 2)

34. GrafikPersamaan • Grafikpersamaandalam x + y terdiriatastitik-titkdibidang yang koordinat-koordinatnya (x, y) nyamemenuhipersamaanartinyamembuatnyasuatupersamaan yang benar

35. contoh Gambargrafikpersamaan y = x2 – 3

36. Jikakoordinatdilipatsepanjangsumbu y, keduacabangakanberimpit. Misalnya (3, 6) dengan (-3 , 6), (2, 1) dengan (-2, 1) dansecaralebihumum, (x, y) berimpitdengan (-x, y). (lihatGambar 3) dimanakeduagrafikitusimetristerhadapsumbu y.

37. Grafikdarisuatupersamaanadalah : 1. Simetristerhadapsumbu y bilapenggantian x dengan –x memberuikanpersamaan yang setara (sebagaicontoh y = x2). 2. Simetristerhadapsumbu x bilapenggantian y dengan –y memberikanpersamaan yang setara (sebagaicontoh y = 1 + y2). 3. Simetristerhadaptitikasalbilapenggantian x dengan –x dan y dengan –y memberikanpersamaan yang setara (y = x3merupakancontoh yang baguskarena y = (-x)3setaradengan y = x3).

38. contoh Sketsakangrafikdari y = x3 Penyelesaian.Simetriterhadaptitikasalsehinggahanyaperlumemperoleh total nilaiuntuk x yang taknegatif.

40. intersep • Titik-titikpadagrafiksuatupersamaanmemotongkeduasumbukoordinat y = 0 bila x = - 2, 1, 3 bilangan = - 2, 1 dan 3 disebutintersep x. x = 0 bila y = 6 sehingga 6 disebutintersep y.

41. contoh Sketsakangrafikdari y2 – x + y – 6 = 0, denganmemperlihatkansemuaintersepdenganjelas. Penyelesaian. y = 0 dalampersamaanmakadiperoleh x = - 6, sehinggaintersep x = - 6. Denganmeletakkan x = 0 makadiperoleh y2 + y – 6 = 0, atau (y + 3) (y – 2) = 0 ; jadiintersep y adalah – 3 dan 2.

42. Jikasuatupersamaanberbentuk : y = ax2 + bx + c atau x = ay2 + by + c dengan a ≠ 0, grafiknyaakanselaluberupa parabola. Grafikterbukakeatasataukebawahjika a > 0 atau a < 0 Grafikterbukakekananataukekirijika a > o atau a < 0

43. contoh Carititik-titikperpotongangaris y = -2x + 2 dan parabola y = 2x2 – 4x – 2 dansketsakankeduagrafiktersebutpadabidangkoordinat yang sama. Penyelesaian. – 2 x + 2 = 2x2 – 4x – 2 0 = 2x2 – 2x – 4 0 = 2 (x – 2) (x + 1) x = -1 ; x = 2 Melaluisubstitusi, ditemukannilai y adalah 4 dan – 2, karenaitutitik-titikperpotongannyaadalah (-1, 4) dan (2, -2).