SISTEM KOORDINAT KUTUB Koordinat kutub

1. SISTEM KOORDINAT KUTUB • Koordinat kutub Sebelumnya kita kenal koordinat cartesius dimana titik P (x,y) Terlihat pada gambar berikut: Selain itu kita kenal koordinat kutub dengan titik P (r , θ ) sesuai dengan gambar berikut:

2. Dimana r = jari-jari lingkaran θ = sudut yang dibentuk oleh sinar dan sumbu kutub θ bernilai 0 - 2π r dapat bernilai negatif Contoh titik-titik pada koordinat kutub:

3. Bentuk kurva dari persamaan :

4. Contoh persamaan kutub :

5. Hubungan Koordinat Cartesius dengan Koordinat Kutub Bentuk grafiknya : Persamaan : - Kutub ke cartesius - Cartesius ke kutub Contoh: • Tentukan koordinat Cartesius yang bersesuaian dengan (4,π/6) dan koordinat kutub yang bersesuaian dengan (-3,√3) Peny :

6. Tunjukkan bahwa grafik dari adalah sebuah lingkaran dan bahwa grafik dari adalah sebuah parabola dengan mengubahnya menjadi koordinat cartesius. Peny : Ini adalah persamaan lingkaran berjari-jari 4 dan titik pusat di ( 0,4 ) Untuk pers

7. Maka : Persamaan parabola terbuka ke kanan dengan verteks (-1,0) dan fokus di titik asal. • Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Irisan Kerucut • Garis Dimana P (r ,θ ) sebarang titik di garis maka :

8. Lingkaran Dimana Berdasarkan hukukm cosinus maka : • Irisan Kerucut ( parabola, elips dan hiperbola) dimana fokusnya di titik kutub dan direktrinya sejauh d

9. Persamaan | PF | = e | PL | akan menjadi: Irisan kerucut horizontal pers: Irisan kerucut vertikal pers:

10. Contoh soal: • Tentukan persamaan elips horizontal dengan eksentrisitas ½, fokus diitik kutub dan direktris vertikal 10 satuan di sebelah kanan titik kutub. Peny: Persamaan elips • Tentukan eksentrisitas dan direktris dari persamaandi bawah ini : Peny:

11. Dari persamaan di atas didapat: e =1 dan d = 2 maka kurva yang terbentuk adalah parabola horizontal terbuka ke kiri. • Namakan irisan kerucut dan dapatkan eksentrisitas dan direktrisnya: Peny: dimana e =1/4 dan d =6 maka kurvanya adalah elips horizontal

12. Diskusi: • Tentukan persamaan cartesius: ; dan • Namailah kurva berikut dan tentukan eksentrisitasnya dan sketsa grafiknya: ; dan • Buktikan bahwa merepresentasikan sebuah lingkaran dan tentukan pusat dan jari-jarinya.

13. Grafik Persamaan Kutub Grafik yang kita kenal meliputi : kardioid, limakon, lemniskat, rose, spiral. Unsur simetris: • Simetris sumbu x • Simetris sumbu y

14. Simetris terhadap titik asal Kurva Kutub Khas • Lingkaran dan

15. Kardioid dan Limakon dan a = b kardioid Grafik ini simetris terhadap sumbu x example: Tunjukkan persamaan dalam bentuk grafik

16. Tabel yang diberikan: Karena cosinus adalah sebuah fungsi genap maka grafik bersifat simetrik terhadap sumbu x. • Lemniskat (angka delapan) dan contoh :

17. Mawar (Rose) dan Mawar mempunyai mahkota bunga n = ganjil maka n mahkota bunga n = genap maka 2n mahkota bunga contoh: dan

18. Spiral Terbagi atas: • Spiral Archimedes • Spiral Logaritmik Contoh : Memotong sumbu kutub (0,0);(2π,2π);(4π,4π) Memotong perpanjangan di kiri (π,π);(3π,3π);(5π,5π)

19. Luas Daerah Kurva (Koordinat Kutub) Berdasarkan sektor dari sebuah lingkaran Luas lingkaran = Luas suatu sektor dengan sudut pusat θ Maka luas dari kurva tersebut :

20. Contoh soal: • Tentukan luas daerah di dalam kardioid Peny : Dari grafik θ bervariasi 0 – 2π Berdasarkan faktor simetris kita dapat menggandakan integral dari 0 – π, maka :

21. Sketsa dan dapatkan luas dari satu mahkota Peny : Simetri terhadap sumbu y maka: Luas dari mawar satu mahkota adalah :

22. Tentukan luas daerah di luar kardioid dan di dalam lingkaran Peny: Mencari titik potong dikuadratkan dan Luas dari kurva yang diarsir: