STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE

1. STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE Jerzy Janowicz

2. zorganizowany spójny wewnętrznie celowy STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE Indywidualne prowadzenie uczniów mających predyspozycje ku matematyce jest podstawowym obowiązkiem każdego nauczyciela tego przedmiotu. SYSTEM

3. STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE • UKŁAD TEMATYCZNY • np. • Liczby • Wielomiany • Równania • Funkcje • Zbiory • Figury płaskie • Bryły • UKŁAD KOMPETENCYJNY • np. • sprawne wykonywanie algorytmów • wnioskowanie • heurystyka • tworzenie

4. 1. RZEMIEŚLNIK STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE • obliczanie, • konstruowanie, • przekształcanie (arytmetyczne, algeb-raiczne, geometryczne), • tworzeniemodeli (algebraicznych, geometrycznych i innych), • zapisywanie procesów w języku matematyki. Biegłość w posługiwaniu się narzędziami matematycz-nymi na takim poziomie, aby nie stanowiły one dodatkowej trudności przy wykonywaniu czynności wyższego rzędu.

5. STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 1. RZEMIEŚLNIK Do zbioru D należą wszystkie liczby dziewięciocyfrowe o każdej cyfrze innej i różnej od zera. Oblicz sumę wszystkich liczb ze zbioru D.  Rozwiązanie Liczby ze zbioru D można połączyć w pary tak, aby cyfry stojące w nich na odpowiadających sobie miejscach dawały w sumie 10. Suma takich dwóch liczb jest równa 1 111 111 110. Wszystkich liczb w zbiorze D jest 9!. Szukana suma jest więc równa: 0,5 · 9! · 1 111 111 110 = 201 599 999 798 400

6. STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 1. RZEMIEŚLNIK Przez dziurę w ogrodzeniu Parku Dziurajskiego uciekło kilkanaście dinozaurów trzech gatunków: gadulce, lilipki paszczozaury. Lilipków i gadulców było 13, a gadulców i paszczozaurów było 15. Ile co najmniej gadulców uciekło z tego parku? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

7. 2. EKSPERT STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE • tworzenie logicznego ciągu wniosków, • matematyzacja (oprócz tworzenia modelu również manipulowanie nim, przekształcanie, itp.), • interpretacja rozumo-wania lub jego rezultatów, • wykorzystywanie i przetwarzanie informacji danych w różnych formach, • wyjaśnianie zauważonych prawidłowości. Całościowe spojrzenie na prowadzony proces i dobieranie pod tym kątem określonych procedur.

8. STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 2. EKSPERT Z dwóch różnych cyfr Wojtek utworzył wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe (cyfry mogły się powtarzać). Następnie obliczył iloczyn wszystkich otrzymanych liczb i uzyskał wynik 3 366 825. Jakich cyfr użył Wojtek?  Rozwiązanie Otrzymany iloczyn dzieli się przez 5, więc jedną z cyfr jest 5. Utwo-rzone przez Wojtka liczby są postaci: 55, 5, 5, . Otrzymany iloczyn dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 9. Tylko jedna z utworzonych liczb dzieli się przez 3. Nie jest nią 55. Nie jest nią rów-nież 5, gdyż wtedy podzielną przez 3 byłaby również 5, czyli iloczyn dzieliłby się przez 9. Tak więc  jest wielokrotnością trójki, czyli jest to jedna z liczb: 99, 66, 33. Pierwsza odpada z powodu podzielności przez 9, druga z powodu parzystości (iloczyn jest nieparzysty). Pozostaje trzecia. Rzeczywiście: 35  53  33  55 = 3 366 825. Wojtek użył cyfr 3 i 5.

9. W półkole wpisane jest drugie półkole w ten sposób, że ich średnice są równoległe, końce średnicy mniejszego półkola należą do półokręgu ograniczającego duże półkole, a półokrąg wyznaczający mniejsze półkole jest styczny do średnicy większego. W analogiczny sposób w drugie półkole wpisano trzecie (patrz rysunek obok). Ile razy pole pierwszego półkola jest większe od pola trzeciego półkola? A. B. 2 C. 2 D. 4 STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 2. EKSPERT

10. 3. ODKRYWCA POMYSŁ STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE • Zdolność do generowania rozwiązań • prostych, • pomysłowych, • błyskotliwych, • oryginalnych

11. POMYSŁ STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 3. ODKRYWCA Wykaż, że dla każdego n N, n > 3 można znaleźć n-kąt, w którym symetralne dowolnych dwóch przekątnych przecinają się w punkcie nienależącym do tego wielokąta.  Rozwiązanie Dobrym pomysłem jest wykorzystanie regularności budowy wielokątów foremnych. Weźmy wielokąt wyznaczony przez n kolejnych wierzchołków (2n+1)-kąta foremnego. Jeśli opiszemy na nim okrąg, to każda przekątna tego wielokąta jest cięciwą, więc wszystkie symetralne przekątnych przecinają się w środku okręgu. Spostrzeżenie, że środek okręgu nie należy do tego wielokąta, kończy rozwiązanie zadania.

12. POMYSŁ STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 3. ODKRYWCA Prostokątny arkusz papieru składamy na pół, następnie znów na pół itd., za każdym razem tak, aby linia następnego zgięcia była prostopadła do linii poprzedniego zgięcia. Po szóstym złożeniu obcinamy narożniki tak otrzymanego prostokąta Ile ścinków otrzymamy? A. 36 B. 49 C. 64 D. 81

13. 4. DETEKTYW ?!?!? HIPOTEZY STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE • Zdolność do • stawiania i weryfikacji hipotez, • odkrywania złożonej struktury logicznej, • doboru adekwatnych narzędzi, • tworzenia i realizacji schematu rozwiązania, • pogłębionej interpretacji uzyskanych wyników.

14. ?!?!? HIPOTEZY STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 4. DETEKTYW Asia, Wojtek i Jacek obliczali wartość wyrażeń: A = (a + b) : c, W = (a + c) : b, J = (b + c) : a dla tych samych wartości a, b, c będących dodatnimi liczbami rzeczy-wistymi. Wyniki zaokrąglili do jedności i otrzymali: A 2, W 3, J 5. Maciek spojrzał na te rezultaty, policzył coś na boku i stwier-dził, że przynajmniej jedna z osób popełniła błąd. Czy miał rację?  Rozwiązanie Z warunku (a + b) : c 2, mamy (a + b) : c 1,5, więc a + b 1,5c. Podobnie z (a + c) : b 3 wynika a + c 2,5b. Dodając stronami obie nierówności, mamy: a + b + a + c 1,5c + 2,5b, czyli 2a + b + c 2,5b + 1,5c Przekształcając kolejno, otrzymujemy: 4a + 2b + 2c 5b + 3c 4a 3b + c 4  (3b + c) : a > (b + c) : a czyli (b + c) : a < 4. Otrzymany rezultat jest sprzeczny z J 5. Maciek miał rację.

15. ?!?!? HIPOTEZY STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 4. DETEKTYW W prostopadłościanie o wymiarach 7 cm, 8 cm, 9 cm umieszczono w dwóch przeciwległych narożach po jednym sześcianie o krawędzi długości 6 cm. Ile jest równa objętość wspólnej części tych sześcianów jest równa? A. 60 cm2 B. 72 cm2 C. 126 cm2 D. 168 cm2

16. 5. TWÓRCA STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE • Zdolność do: • ogólniejszego rozważania opisanej sytuacji, • poszukania analogicznych problemów • nowatorskiego zastosowania metody użytej w rozwiązaniu innego problemu, • dostrzegania nowych obszarów eksploracji, • umiejętność kontynuowania problemu, • stawiania oryginalnych pytań.

17. STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 5. TWÓRCA Na płaszczyźnie narysowano 4 proste czerwone, 4 zielone i 4 niebieskie tak, że żadne dwie spośród tych dwunastu nie są równoległe i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie. Ile trójkątów o każdym boku innego koloru wyznaczają te proste?  Rozwiązanie Parę prostych czerwona−zielona można wybrać na 4 · 4 sposobów. Do każdej z tych par można dołączyć niebieską na 4 sposoby. Stąd mamy 43 = 64 trójkąty. A gdyby tak według tych samych zasad poprowadzić k prostych czerwonych, m prostych zielonych i n niebieskich? Trójkolorowych trójkątów będzie wówczas... A gdyby tak poprowadzić k prostych czerwonych równoległych do siebie, m prostych zielonych równoległych do siebie i przecinających czerwone oraz n niebieskich równoległych do siebie i przecinających wszystkie poprzednie? Wówczas trójkolorowych trójkątów będzie...

18. STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE 5. TWÓRCA Ile istnieje liczb n-cyfrowych (n > 2) podzielnych przez 5, których suma cyfr jest także podzielna przez 5 ? A. Wśród liczb n-cyfrowych (n > 2) jest 225 · 10n−3 liczb podzielnych przez 2, których suma cyfr jest również podzielna przez 2. P / F B. Wśród liczb n-cyfrowych (n > 2) jest 675 · 10n−3 liczb niepodzielnych przez 2, których suma cyfr jest również niepodzielna przez 2. P / F C. Wśród liczb n-cyfrowych (n > 2) jest 9 · 10n−3 liczb podzielnych przez 10, których suma cyfr jest również podzielna przez 10. P / F D. Wśród liczb n-cyfrowych (n > 2) jest 891 · 10n−3 liczb niepodzielnych przez 10, których suma cyfr jest również niepodzielna przez 10. P / F

19. DZIĘKUJĘ Jerzy Janowicz STANDARDY KSZTAŁCENIA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH MATEMATYCZNIE