Cálculo Diferencial e Integral Limite

1. Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Centro de Ciências e Exatas da Terra – CCET Departamento de Estatística – DEST Programa de Educação Tutorial - PET Cálculo Diferencial e IntegralLimite Limites de funções (introdução intuitiva) Limites laterais Funções contínuas (introdução intuitiva) Limites infinito e limites no infinito Propriedades de limites e técnicas para calcular limites Limites de funções trigonométricas

2. Limites de funções (introdução intuitiva) • O estudo de limite visa estabelecer o comportamento de uma função quando o seu argumento se aproxima de um determinado valor. Exemplo 1: • Observando o gráfico notamos que para valores de x próximos de 2, maiores ou menores que 2, o valor da função se aproxima de 4, no entanto

3. Também podemos observar essa aproximação atribuindo valores para x próximos de 2. • Atribuindo a x valores próximos de 2, porém menores que 2, temos: • Se atribuirmos a x valores próximos de 2, porém maiores que 2, temos: • Observa-se em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) aproxima-se cada vez mais de 4, isto é, quanto mais próximo de 2 estiver x, tanto mais próximo de 4 estará f(x).

4. Exemplo 2: Seja a função: Calcule . • Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a , interessa o comportamento da função quando x se aproxima de e não o que ocorre com a função quando x=, temos que .

5. Limites laterais • Quando nos tratamos de limites laterais, estamos interessados em saber o comportamento da função quando o seu argumento se aproxima de um determinado valor numa dada direção. • Se x se aproxima de através de valores maiores que ou pela sua direita, escrevemos: • Se x se aproxima de através de valores menores que ou pela sua esquerda, escrevemos:

6. Exemplo 3: Seja a função: A partir desta função obtemos o gráfico a direita:

7. Observando o gráfico podemos perceber que quando x se aproxima de 0 para valores maiores que 0, a função assume o valor 1, mas quando x se aproxima de 0 para valores menores que 0 a função assume o valor -1, então dizemos que e . Teorema • Seja um intervalo aberto contendo e seja uma função definida para. Temos se, e somente se, existirem e e forem ambos iguais a . • No exemplo 3 vimos que , então não existe e nos exemplos 1 e 2 vimos que existe, logo .

8. Funções contínuas (introdução intuitiva) • Dizemos que uma função é contínua se o gráfico puder ser desenhado em todos os pontos pertencentes ao domínio sem levantar o lápis. Exemplo 4: Percebe-se que ao desenhar o gráfico ao lado teríamos que levantar o lápis quando x=0 para prosseguir o desenho, com isso a função ao lado não é contínua no seu domínio.

9. Veja que na função ao lado, em nenhum momento levantaríamos o lápis para desenha-la em todo o seu domínio, com isso não é difícil notar que a função é contínua. Exemplo 5: • OBS: Em contextos avançados, este critério que estamos utilizando para identificar se uma função é ou não contínua é errado, mas para o momento tal análise é suficiente.

10. Definição de função contínua utilizando limites: • Uma função é contínua num ponto se são satisfeitas as três condições seguintes: • é definida num intervalo aberto contendo . • existe • Se não é contínua em , dizemos que é descontínua em, ou que tem uma descontinuidade em .

11. Nos exercícios 1 a 3, é dada uma função . Calcule os limites indicados se existirem; se os limites não existirem, especifique a razão. • b) c) 2. • b) c) • b) c)

12. Limites infinito e limites no infinito • Considere a função , vamos observar o que acontece com o valor da função quando e quando . • A tabela acima sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , quando isto ocorre escrevemos . A tabela sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , quando isto ocorre escrevemos .

13. O gráfico abaixo sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , isto é, e sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , isto é, .

14. Considere a mesma função , vamos observar o que acontece com o valor da função quando e quando . • A tabela acima sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , quando isto ocorre escrevemos . A tabela sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , quando isto ocorre escrevemos .

15. O gráfico abaixo sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , isto é, e sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , isto é, .

16. Limites do tipo e no infinito • Seja , então: • Seja , então:

17. Propriedades de limites e técnicas para calcular limites • Sejam e duas funções de x, e que existam e tais que = e = (quando ) Valem as propriedades:

18. Técnicas para calcular limites • Se é uma função definida por uma única equação que está definida no ponto , então . Exemplos: • Se é uma função racional, indefinida no ponto tal que implicaria em uma indeterminação do tipo , sendo uma constante, então os limites laterais tendem para ou .

19. Exemplos: • Se é uma função racional, indefinida no ponto tal que implicaria em uma indeterminação do tipo , para calcular devemos mexer algebricamente na função de modo que elimine a indeterminação para depois substituir por . Exemplos:

20. Seja a função polinomial . Então: • De forma análoga para , temos: Exemplos:

21. Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites. Produtos notáveis: Fatorações: • ) Conjugado de radicais:

22. Exercícios Calcule os limites abaixo: • b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

23. p) q) r) s) t) u) w) x) y) z)

24. Limites de funções trigonométricas Limite fundamental trigonométrico • O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo envolvendo a função trigonométrica . Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas. Exemplos

25. Exercícios • b) c) d) e) f)