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Equazioni di Reazione e Diffusione

Equazioni di Reazione e Diffusione. Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a. 2007-2008 Laurea in Ingegneria Gestionale Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica Prof.ssa: Chiara Mocenni

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Equazioni di Reazione e Diffusione

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Presentation Transcript

  1. Equazioni di Reazione e Diffusione Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a. 2007-2008 Laurea in Ingegneria Gestionale Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica Prof.ssa: Chiara Mocenni http://www.dii.unisi.it/~mocenni/mgsa-teach-07-08.html

  2. L’equazione dove e’ la derivata temporale e’ l’operatore laplaciano (diffusione)‏ u(x,y,t) rappresenta una densità o concentrazione, D e’ il coefficiente di diffusione, f(u,x,y,t) e’ il termine di reazione

  3. dove r=a e K=a/b. E’ un caso particolare del modello generale di reazione-diffusione; può essere considerato un'estensione dell'equazione logistica che tiene conto della diffusione spaziale. vedi anche: http://it.wikipedia.org/wiki/Reazione-diffusione

  4. Il termine di reazione è descritto dal contributo nonlineare: f(u) = au − bu2 composto dai termini: • generazione malthusiana, cioè proporzionale all densita': au; • limitazione nonlineare all'accrescimento della densita' u, proporzionale al quadrato della densita': − bu2 • Si capisce bene che questo termine definisce un valore critico locale della densità u: u * = a / b per il quale il termine di reazione si annulla e il processo diviene localmente di pura diffusione. Tale densità critica definisce il limite locale superiore, oltre il quale la densità non puo' crescere in situazione di regime.

  5. Interpretazione ecologica dell'equazione di Fisher • Se la densità u(x,y,t) rappresenta la densità di popolamento in un certo punto e in un certo istante, l'equazione di Fisher descrive la combinazione dei seguenti effetti : • migrazioni verso regioni ancora disabitate o poco abitate (diffusione); • aumento locale della popolazione (generazione malthusiana); • freno all'aumento della popolazione (effetto del secondo ordine di saturazione) dato dalla disponibilità limitata di risorse, a causa del quale localmente la popolazione non può superare una certa soglia o densità di saturazione(a/b); al di sopra di questa soglia locale il termine non omogeneo di reazione diviene distruttivo.

  6. Modello preda-predatore con diffusione

  7. Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4

  8. Dinamica temporale u in 4 punti del dominio

  9. Evoluzione temporale v in 4 punti del dominio

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