Approche

1. Approche semi-classique de l’information quantique Benoit ROUBERT

2. INTRODUCTION

3. L’information quantique Mécanique quantique 1900-1930 Planck, Bohr, Schrödinger, Pauli, … Théorie de l’information 1940 Shannon, Turing Théorie de l’information quantique 1980 Feynman, Benett, Benioff, Deutsch Unité de base : Qubit - Electron : spin U/D - Atome avec deux niveaux d’ énergie: fondamental/excité - Photon : polarisé horizontalement/verticalement Système quantique présentant deux niveaux distincts Bit Qubit Bit VS Qubit

4. Propriété de l’information quantique Accélérations potentiellement exponentielles • Pour de nombreux problèmes : meilleurs efficacité algorithmes quantiques • Factorisation d’un nombre (Shor) • Problème du sous-groupe caché (Simon) • Résolution de systèmes d’équations linéaires (Loyd) Quelle est la nature des ressources physiques qui permettent cette accélération ? Intrication Interférence

5. Problématique de la thèse Etudier deux problèmes d’intérêt pour l’information quantique - Clonage d’un qubit et le rôle joué par l’interférence - Amplification de spin Situations semi-classiques - Cloneurs sans interférence : se situent entre les cloneurs parfaitement quantiques/cloneurs classiques - Amplification de spin dans des chaînes de grand nombre de spin Lien entre les deux problèmes Dans les deux cas on s’intéresse à reproduire l’information d’un qubit initial (sur un seul, ou sur une très grande quantité de qubits).

6. Clonage quantique à 2 qubits sans interférence

7. Particularités du clonage quantique Nature probabiliste d’un état quantique Avant d’effectuer une mesure, le système n’existe dans aucun état classique en particulier (interprétation de Copenhague) Classique : copie de l’état classique (~ photocopie) Quantique : copie de l’état quantique (matrice densité) Définition du clonage Théorème de non-clonage 1982 : Wootters – Zurek Impossible de cloner parfaitement :

8. Fidélités de clonage : Matrice densité totale d’un système à 2 qubits Matrices densités réduites : Sphère de Bloch Fidélité simple : Vecteur initial Fidélité moyenne

9. Types de cloneurs Cloneurs universels / symétriques / optimaux Cloneur universel : Cloneur symétrique : Cloneur optimal : fidélités maximales autorisées Cloneurs classiques / quantiques Classiques : Ne propagent que les termes diagonaux des matrices densités Quantiques : Propagent les termes diagonaux et les cohérences des matrices densités Fidélités moyennes maximales pour des cloneurs symétriques universels Pour les cloneurs classiques : [1] Pour les cloneurs quantiques : [2] [1] : M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki. : Phys. Rev. A, 60, 1888 (1999) [2] : V. Buzek and M. Hillery. : Phys. Rev. A, 54, 1844 (1996)

10. Cloneur de Buzek-Hillery Définition Cloneur symétrique et universel • A et B peuvent être échangés • Même forme Matrices densités réduites Valeur maximale pour un clonage quantique symétrique et universel Fidélités

11. Clonage et interférence Propagateur d’une matrice densité Propriétés attendues d’une mesure d’interférence • Qu’elle mesure le degré de cohérence de la propagation • Qu’elle mesure l’équipartition de la propagation • Qu’elle dépende de la base dans laquelle l’on se place Traduit le passage Mesure d’interférence [I] [I] : D.Braun, B.Georgeot – Quantitative measure of interference Phys. Rev. A 73, 022314, (2006)

12. Matrice dynamique Opération de Reshuffling Lien matrice dynamique – Propagateur : • Hermitienne : • Bloc – positive : • Conserve la normalisation de : Propriétés de

13. Reformulation en terme de matrice dynamique Fidélités moyennes : Fonctions linéaires des éléments Interférence Forme générale d’une matrice dynamique d’interférence nulle

14. Cas d’un clonage classique Définition • Pas accès aux cohérences • Seuls les termes diagonaux des matrices densités (probabilités) sont reliés entre eux Fidélités moyennes d’un clonage classique Conditions de normalisation Bloc-positivité de

15. Problème d’optimisation Données : Matrice hermitienne, bloc-positive : grand nombre d’éléments indépendants , : Fonctions linéaires des éléments matriciels Condition supplémentaire : positive pour un donné Problème Trouver qui optimise pour un donné Problème d’optimisation convexe Problème de programmation semi-définie Qui assure qu’un extremum local est également global

16. Domaine convexe desCloneurs sans interférence Domaine convexe grisé : Ensemble convexe de cloneurs sans interférence possédant une matrice dynamique positive Frontière noire : Fidélités moyennes minimales et maximales pour un cloneur sans interférence Domaine gris foncé : Cloneurs meilleurs que les cloneurs classiques Point rouge : Cloneur symétrique optimal B.Roubert, D.Braun –Phys. Rev. A, 78, 042311 (2008) Role of interference in quantum cloning Matrice dynamique pour le cloneur symétrique optimal

17. Cloneurs symétriques optimaux sans interférence Trouve extrema globaux Problème de programmation semi-définie N’assure pas leur unicité Propriétés de • 10 valeurs propres non nulles • Ses V.P. forment une matrice réelle orthogonale dans la base computationnelle Sous-espace des v.p. non nulles Sous-espace des v.p. nulles Forme de dans la base des vecteurs propres de

18. Cloneurs symétriques optimaux sans interférence • , restent identiques : Matrice dynamique optimale perturbée Problème : Trouver • Conditions normalisation conservées • reste positive

19. Résumé des résultats importants • Possible de construire à tout un continuum de cloneurs quantiques - asymétriques universels clonant mieux que classiquement - optimaux symétriques universels • L’interférence n’est pas une ressource indispensable pour cloner mieux • que classiquement • Cloneurs sans interférence étudiés : cas semi-classiques

20. Amplification de spins

21. Problèmes importants pour les systèmes à 1 spin • Détection • Mesure de son état • Transfert spatial

22. Détection/Mesure de spin unique DETECTION MESURE • Limite de résolution : 1 µm IRM • Un point quantique • Un électron dans deux états possibles • Un réservoir de potentiel électrochimique • Plus petits éléments de volume : • 1012 (spins nucléaires) • 107 (spins électroniques) • Capable de détecter un spin unique MFRM • Force très faible : 10-18 newton • Si électron dans état ES peut par effet tunnel • sortir du point quantique • Mesure de l’état de charge du point quantique : • Absence/présence de l’électron [I] [I] : Rugar et al. - Single spin detection by magneticresonance force microscopy - Nature, (2004)

23. Transfert de spin [I] Principe de l’expérience Problème Alice souhaite transférer son spin à Bob Protocole • Chaîne de Heisenberg (J cts) initialisée dans l’état down • Laisse évoluer le système librement suffisamment longtemps • A un moment t Bob mesure l'état de son spin (intriqué avec la chaîne) Conditions de transfert parfait [II] N [I] : S.Bose - Quantum Communication through an Unmodulated Spin Chain - Phys. Rev. Lett. 91,20 (2003) [II] : M.Christandl et al. - Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks - Phys. Rev. Lett.92, 18 (2004)

24. Amplification de spin • Philosophie • Effets de bords • Caractère semi-classique

25. Philosophie de l’amplification de spin Problème : Détection et mesure de l’ état d’un spin unique = véritable chalenge Exemple pour une chaîne linéaire de N spins Solution : + Mesurer l’état macroscopique correspondant Amplifier l’état du spin Méthode : Systèmes à effet de domino quantique Etat GHZ Objet de mesure Amplificateur [I] Modèle de Lee-Khitrin Chaîne de spins : temps adimensionné : amplitude du champs irradiant Résonance Résonance Résonance [1] : Lee, Khitrin : Stimulated wave of polarization in a 1D dimensional Ising chain : Phys. Rev. A., 71, 062338 (2005)

26. Effets de bords Approche semi-classique Concernant le transfert de spin : Beaucoup d’études sur les effets géométrie/topologie • Chaînes ouvertes/fermées • Chaînes traversées ou non par des flux magnétiques • Structures étoiles 1D/3D Concernant l’amplification de spin : Pas d’études sur l’importance des effets de bords • La plupart du temps : s'évanouissent dans la limite thermodynamique • Chaînes de spins : présence/absence d’un simple couplage Comportements macroscopiques très différents Effets de bords importants Approche semi-classique : Justifiée en raison du grand nombre de spins • On ne conserve que les chemins classiques qui contribuent de façon • privilégiée aux dynamiques observées

27. Modèle physique de Lee-KhitrinLien transfert/amplification

28. Modèle physique de Lee-Khitrin Modèle physique : Chaîne d’ Ising 1D + Interactions entre plus proches voisins uniquement Irradiée à résonnance par un champs faible transverse monochromatique : Différence d’énergie entre le niveau fondamental et excité d’un spin isolé : Amplitude du champs irradiant : Constante de couplage entre plus proches voisins Hamiltonien séculaire Dynamique

29. Equivalence transfert /amplification Hamiltonien Pour avoir des tailles de bases identiques : spins : spins Dynamique Dynamique induite par dans la base des Dynamique induite par dans la base des

30. Systèmes étudiésBases importantes

31. Nature des systèmes

32. Nature des systèmes

33. Nature des systèmes

34. Introduction des états et Etats : spins down consécutifs dont le dernier en position Etats Etats , : Etats miroirs

35. Comparaison des systèmes /

36. Polarisations totales /individuelles Polarisations individuelles Polarisations totales moyennes

37. Relation de dispersion des spectres Pour une même taille de base Dispersion d’un modèle de liaisons fortes 1D Pour une même taille de chaîne Seule différence notable : dégénérescence des v.p. pour

38. Etude détaillée / Hamiltonien Hamiltonien Dynamique Dynamique

39. Etude détaillée / Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) On reconnaît l’hamiltonien d’un modèle de liaisons fortes pour une chaîne 1D ouverte On reconnait un modèle de liaisons fortes pour une chaîne 1D fermée Valeurs propres – Vecteurs propres Valeurs propres – Vecteurs propres

40. Etude détaillée / Propagateur en terme de fonctions de Bessel A partir v.p. /V.P. analytiques : expression analytique des propagateurs : Approximation du propagateur : temps faibles

41. Etude détaillée / Approximation semi-classique de la fonction de Bessel : phase accumulée le long des chemins classiques Au voisinage du point tournant • Approximation WKB s’effondre • Fonction de Airy Comportement linéaire de la polarisation totale

42. Comparaison des systèmes /

43. Etude comparative / Hamiltonien Hamiltonien Dynamique Dynamique

44. Etude comparative / Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) Valeurs propres –vecteurs propres : Obtenus par diagonalisation numérique

45. Comparaison polarisations Polarisations individuelles Polarisations totales moyennes

46. Comparaison des systèmes / /

47. Polarisations et fidélités totales Polarisations totales moyennes Fidélités totales de polarisation

48. Relations de dispersion Dispersion suivant un modèle de liaisons fortes 1D • Pentes finies en bornes de spectre • Fortes dégénérescence au centre du spectre

49. Raisons des différences de comportements macroscopiques Différences macroscopiques de comportement entre les différents systèmes • Polarisations totales moyennes • Fidélités totales de polarisation Différences entre / et / • Dimension des bases • Relation de dispersion des spectres Différences entre et : et • Présence ou non de couplages supplémentaires donne accès aux bases des états miroirs

50. Résumé amplification dans des chaînes de spins Chaînes de spins = systèmes • Qui proposent une solution au problème détection/mesure spin unique • Qui présentent des effets de bords très importants • Pour lesquels on peut réaliser une approximation semi-classique