1 / 54

Ruang Vektor berdimensi - n

Ruang Vektor berdimensi - n. Untuk n = 1, 2 atau 3 : suatu vektor dapat digambarkan, namun vektor tidak mungkin dapat digambarkan bila berada di ruang- n > 3 karena keterbatasan dari ruang.

baker-york
Download Presentation

Ruang Vektor berdimensi - n

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Ruang Vektor berdimensi - n • Untuk n= 1, 2 atau 3 : suatu vektor dapat digambarkan, namun vektor tidak mungkin dapat digambarkan bila berada di ruang-n > 3 karena keterbatasan dari ruang. • Dengan adanya definisi vektor yang diperluas, maka suatu matrik dan fungsi dapat diklasifikasikan sebagai vektor

  2. Ruang Vektor real • SuatuobjekdidalamruangvektorVdisebut : vektor • Vdikatakansebagairuangvektorbilamemenuhi 10 aksiomaberikut : • JikaudanvdidalamV,makau + vjugaharusdidalamV • u + v = v + u • u + (v + w) = (u + v) + w • Di dalamruangvektorVadaobjek 0, yang disebutsebagaivektor 0 sedemikiansehingga 0 + u = u + 0 = u, untuksemuaudidalamvektorV • UntuksetiapudidalamV, adaobjek yang disebutsebagai –udidalamV, yang disebutsebagainegatipu, sehinggau + (-u) = (-u) + u = 0

  3. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah objek di dalam ruang vektor V, maka ku juga ada di dalam ruang vektor V • k(u+v) = ku + kv • (k + m)u = ku + mu • k(mu) = (km)u • 1.u = u

  4. Contohsoal : 1. Tunjukkanbahwakumpulanmatrik 2 x 2 dengankomponen real adalahsebuahruangvektorjikaberlakupenjumlahandanperkalianskalar. Jawab : Dalamkasusinimungkinakanlebihmudahbiladibuktikandenganaksioma yang urutannyasebagaiberikut : 1, 6, 2, 3, 7, 8, 9, 4, 5 dan 10 Misalkan : dan

  5. Untuk membuktikan bahwa matrik memenuhi aksioma 1, maka u + v di dalam ruang V atau merupakan matrik 2 x 2 • Demikian juga dengan aksioma 6, untuk semua bilangan riel k : ku juga merupakan matrik 2 x 2, maka ku di dalam V

  6. Aksioma 2, 3 merupakan konsekuesi dari aksioma 1, sedangkan aksioma 7, 8 dan 9 terpenuhi karena aksioma 6. • Untuk membuktikan aksioma 4, harus dapat ditemukan objek 0 di dalam ruang V, yakni : sehingga : u+0=0+u = • Sedangkan untuk aksioma 5, harus dapat ditemukan –u untuk setiap u yang ada di dalam ruang vektor V sehingga –u + u = 0

  7. 2. MisalV = R2danoperasipenjumlahansertaperkaliandariu = (u1,u2) danv = (v1,v2) adalahsebagaiberikut: u + v = (u1+v1, u2+v2) danbilakadalahelemenbilangan riel, makaku =(ku1,0) TentukanapakahV adalahruangvektor ? Jawab : • Operasipenjumlahandalamruanginiadalahstandarpenjumlahansehinggapastimemenuhiaksioma yang mengandungpenjumlahanyaituaksioma 1 s/d 5. • Sedangkanuntukperkalian, operasiinitidakstandarsehinggatidakmemenuhiaksioma yang mengandungperkalianterutamaaksioma 10 : 1.u= 1.(u1,u2) = (u1,0)≠u • Jikaadasatusajadari 10 aksiomaada yang tidakdipenuhi, makaVadalahbukanruangvektor

  8. Sub-Ruangvektor • Sub ruangvektoradalahsebenarnyaruangvekctorjuga, namundengansyarat-syaratkhusus • JikaWadalahsekumpulandarisatuvektorataulebihdariruangvektorV, makaW disebutsebagai sub ruangV, jikadanhanyajikakeduakondisidibawahiniberlaku : • JikaudanvadalahvektordiWmakau+vjugaadadiW • JikakadalahsembarangskalardanuadalahsembarangvektordiW, makakujugaadadiW

  9. Contohsoal: TentukanapakahW yang merupakankumpulantitiktitik (x,y) diruangR2denganx ≥ 0 dany ≥ 0 adalah sub ruangvektorR2 Jawab : • Kondisi 1 memangterpenuhi • Namunkondisi 2 terpenuhiterpenuhi Jikau=(1,2) beradadidalamruangvektorVdan k = -1, makaku=(-1,-2) tidakberadadidalamruangvektorV • OlehsebabituWbukanmerupakan sub ruangdariV

  10. Contoh sub ruangdari R2adalah : 1 {0} 2. Garis yang melaluititik (0,0) 3. R2itusendiri • Contoh sub ruangdari R3adalah : 1 {0} 2. Garis yang melaluititik (0,0,0) 3. Bidang yang melaluititik (0,0,0) 4. R3itusendiri

  11. Kombinasi Linier dan Span • Sebuahvektorwdikatakanmerupakansuatukombinasi linier darivektor-vektorv1, v2 ……vnjikavektor w dapatdituliskansebagai : w = a1v1 + a2v2 + ……..+ anvn dengana1, a2 ……anadalahsembarangskalar yang memenuhipersamaan. • Jikadalamsistempersamaan linier homogen (Ax=0) denganppersamaandannvariabel, makakumpulandarisolusinyaadalah sub ruangvektorRn

  12. Contohsoal: Jikaterdapatsistempersamaan linier berikut : Tunjukkanbahwasolusidari system persamaanadalah sub ruangvektor R3 Jawab : Dapatdibuktikanbahwasolusidaripersamaanadalah : x-2y+3z =0. Hasilinimenunjukkansuatubidang yang melaluititik (0,0,0) yang merupakan sub ruang R3

  13. Jikaterdapatvektoru=(-1,1,2) danv=(2,-3,0) diruangR3, tentukanapakahvektor-vektorberikutiniadalahkombinasi linier dariudanv : a) (-4,5,4) dan (1,-2,0) Jawab : Untukmengetahuisuatuvektoradalahkombinasi linier darivektor yang lainnya, dibuatpenulisanpersamaanvektorsebagaiberikut : w = a1u + a2v -4 = -a1 + 2a2; 5 = a1- 3a2; 4 = 2a1 Jadi : a1 = 2 dan a2= -1

  14. JikaS={v1,v2,……,vr) adalahhimpunanvektordidalamruangvektorV, maka sub ruangWdariV yang memuatsemuakombinasi linier darivektor-vektor yang adadiSdisebutsebagaispaced spanneddariv1,v2,……,vrdandapatdikatakanbahwav1,v2,……,vradalahspan W. Biasanyadiatulisdengannotasi : W=span (S) atauW = span { v1,v2,……,vr} Contohsoal : Tentukanapakahv1=(-2,1,2), v2=(0,1,3), v3=(-1,0,1) spandariruangvektorR3

  15. Jawab : UntukmenentukanspandiruangvektorR3, makadicarikemungkinansetiapvektordiruangR3adalahkombina-si linier dariv1, v2danv3. Misalkanvektora=(a1,a2,a3) diruangvektorR3, makaadapatditulissebagaikombinasi linier dariv1,v2,dan v3 Agar supayaadanilaik1,k2dank3, makamatrik 3 x 3 tersebutharusmempunyaiinversataudeterminantidakbolehsamadengan nol. Karenadeterminanmatriktersebutadalah -3, makak1,k2dank3didapatkan. Jadidisimpulkanbahwav1,v2danv3merupakanspandariruangvektorR3

  16. Bebas linier dan bergantung linier • Jika terdapat sekumpulan vektor H={v1, v2, ….. vn}, maka persamaan linier homogen yang mengandung vektor-vektor tersebut yakni a1v1+a2v2+ …..+anvn=0 mempunyai jawaban minimal satu yaitu ketika setiap koefisiennya (a1,a2,….. an)sama dengan nol (0) sehingga H disebut sebagai kumpulan bebas linier (linearly independent). • Jika ditemukan jawaban yang lain, maka H disebut sebagai kumpulan bergantung linier (linearly dependent).

  17. Contohsoal: 1. Apakahvektor-vektorberikutv1=(1,0,1), v2=(2,-1,3) danv3=(-3,1,-4) salingbebasataubergantung linier? Jawab : Untukmengecekkebergantungan linier, langkah yang dilakukanadalahdenganmenuliskanpersamaanhomogen yang mengandungvektor-vektortersebutyakni : a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 a1(1,0,1) + a2(2,-1,3) +a3(-3,1,-4) = 0 Diperolehpersamaan : a1+ 2a2 – 3a3=0; -a2 + a3 = 0 dana1+ 3 a2 – 4 a3 = 0, didapatkan : a1= a2 = a3= 1 Jadivektorv1, v2danv3adalahbergantung linier.

  18. 2. Apakahpolinomial-polinomialberikutinibebas linier ? p1 = 1 – 2x + 3 x2 p2 = 5 + 6x – x2 p3 = 3 + 2x + x2 Jawab : Untukmenguji polynomial bebasataubergantung linier, langkah yang dilakukanadalahdenganmenuliskanpersamaanhomogensebagaiberikut : a1p1 + a2p2 + a3p3 = 0

  19. Agar supayaa1, a2dana3memilikinilai, makadeterminandarimatrik 3 x 3 harusnol (0). Hasilperhitungandeterminanmatrik 3 x 3 adalah 0, jadinilaia1, a2dana3ada. Dengandemikianpolinomial-polinomialtersebutadalahbergantung linier.

  20. Beberapacatatan : • Sebuahkumpulanvektor yang adadidalamS, maka • Salingbergantung linier jikadanhanyajika paling sedikitada 1 vektordidalamS yang dapatdinyatakansebagaikombinasi linier darivektor yang lain yang jugadidalamS • Salingbebas linier jikadanhanyajikatidakadavektordidalamS yang dapatdinyatakansebagaikombinasi linier darivektorlainnyadidalamS. • Sekumpulanvektorberjumlahberhingga yang memuatvektornol (0) adalahsalingbergantung linier. • JikaS ={v1, v2, v3, …. vn} adalahsekumpulanvektordiruangRm. Apabila n>m, makahimpunanSadalahsalingbergantung linier.

  21. Basis dan dimensi • Basis : suatuukurantertentu yang menyatakankomponendarisebuah vector. • Dimensibiasanyadihubungkandenganruang, misalnyagarisadalahruangdengandimensi 1, bidangadalahuangdengandimensi 2 danseterusnya. • Definisi basis secaraumumadalahsebagaiberikut : JikaV adalahruangvektordanS = {v1, v2, v3, ….., vn} adalahkumpulanvektordidalamV, makaSdisebutsebagaibasisdariruangvektorVjika 2 syaratberikutinidipenuhi : 1. Ssalingbebas linier • SspandariV

  22. Perludiingat: representasi basis ituunik. Jikamempunyaivektor basis v1, v2, v3, ….., vn, makasembarangvektor yang memiliki basis tersebut : V = a1v1 + a2v2 + ……+ anvn , mempunyainilaia1, a2, a3, ….., an yang unik (hanyamemilikisatukemungkinan)

  23. Contoh : VektorV(3,4) didalamkoordinatkartesianditulissebagaiV = 3 i + 4 j, tidakmungkinVdipresentasikansebagai yang lainnya. Kesimpulan :standar basis dalamruang 2 dan 3 adalahsebagaiberikut : • Ruang 2 : i(1,0) j(0,1) • Ruang 3 : i(1,0,0) j(0,1,0) k(0,0,1)

  24. Contohsoal: 1. JikaV1=(1,2,1), V2=(2,9,0) danV3=(3,3,,4). ApakahS={V1, V2, V3} adalah basis diR3? Jawab : • Syaratsebagai basis adalahspandanbebas linier, makalangkah yang harusdilakukanadalahmengujikeduasyarattersebut. • Jika span, makaharusadavektor lain yang merupakankombinasi linier V1, V2dan V3 Supayaadasolusi, makamatrik 3 x 3 memilikiinvers.

  25. Dari hasil perhitung diperoleh nilai determinan = 1, yang menandakan bahwa matrik memiliki invers. Dengan demikian setiap nilai b1, b2 dan b3 akan menghasilkan nilai a1, a2 dan a3. • Dapat dikatakan bahwa S adalah span dari R3. • Jika nilai b1= b2 = b3 = 0, maka a1= a2 = a3= 0 sehingga ketiga vector saling bebas linier. • Kesimpulannya : S={V1, V2, V3} adalah himpunan dari vektor basis di R3

  26. 2. JikaterdapatvektorA=(5, -1, 9) ingindirepresentasikandalam basis S padasoal 1, bagaimanapenulisannya ? Jawab : Penulisandalam basis SadalahA = (a1, a2, a3)s yang mempunyaiarti : Diperolehhasila1=1, a2 = -1 dana3 = 2 JadiAbiladitulisdalam basis Sadalah (A)s = (1, -1, 2)

  27. Ruang vektor V yang bukan nol (0) disebut dimensi terbatas (finite dimensional), yaitu mengandung kumpulan vektor yang membentuk baris {v1, v2, v3, ……, vn} • Jika tidak ada kumpulan vektor yang membentuk basis, maka V disebut sebagai dimensi tak terbatas (infinite dimensional) • Catatan : ruang vektor nol disebut finite dimensional • Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terbatas didefinisikan sebagai jumlah vektor yang membentuk basis di dalam ruang vektor V. • Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

  28. Contohsoal: Tentukan basis dandimensisertasolusidari system persamaan linier homogenberikutini : x1 + 2x2 + 2x3 – x4 + 3x5 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 0 3x1 + 6x2 + 8x3 + x4 + 5x5 = 0 Jawab : Harusdicarisolusi SPL denganmenggunakaneliminasi Gauss-Jordan :

  29. x3 = –2x4 + 2x5 x1 = – 2x2 + 5x4 – 7x5 x3 + 2x4 – 2x5 = 0 x1 + 2x2 – 5x4 + 7x5 = 0 Solusinya : Maka yang menjadi basisnya adalah : Sedangkan dimensinya adalah 3 (karena basisnya ada 3)

  30. Row space, Column space dan Null space Jika A adalah suatu matrik dengan ordo mxn : Maka vektor baris adalah r1=[a11a12 …….. a1n], r2=[a21a22 …….. a2n] dan seterusnya. Vektor kolom adalah dan seterusnya

  31. Vektor-vektorbarisr1, r2, ….., rmdisebut : row spacedari A • Vektor-vektorkolomc1, c2, ….., cndisebut : column spacedari A • Ruangsolusi SPL homogen Ax = 0 yang merupakan sub ruangRndisebut : null space • Sistem linier Ax = bdisebutkonsistenjikadanhanyajikabadalahcolumn spacedari A • Jikax0adalahsalahsatusolusidarisistempersamaan linier Ax = bdankumpulansolusidari Ax=0 yaitu v1, v2, ……., vnmerupakan basis untuknull spacedari A, makasetiapsolusidari Ax = bdapatditulissebagaiberikut : x = x0 + a1v1 + a2v2 + …. + anvn

  32. Solusi dari Ax = b adalah x0 yang disebut sebagai solusi khusus (particular solution) dan x0 + a1v1 + a2v2 + …. + anvn disebut solusi umum (general solution). • Solusi umum dari Ax = 0 adalah a1v1 + a2v2 + …. + anvn, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa solusi lengkap dari Ax = b adalah solusi khusus ditambah solusi umum dari Ax=0

  33. Contohsoal : 1. Carilahsolusidari system persamaan linier berikutini : x1 + 2x2 – x3 + 3x4 – 4x5 = – 1 2x1 + 4x2 – 2x3 – x4 + 5x5 = 2 2x1 + 4x2 – 2x3 + 4x4 – 2x5 = 0 Jawab : Denganmenggunakaneliminasi Gauss-Jordan diperoleh : x4 = 1/8 x5 = 3/8 x1 = -2x2 + x3 + 1/8

  34. Solusikhususnyaadalah : Maka : Solusiumumnyaadalah : dan Bagaimanacaramencari basis darinull space ? Ruangsolusidari SPL homogen Ax=0 adalahnull space. Jadiuntukmencari basis darinull spaceadalahdenganmengang-gap ada SPL homogen

  35. 2. Tentukan basis darinull space A = Jawab : Null space dari A adalahsolusidari SPL homogendari : 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 – x1 – x2 + 2x3 – 3x4+ x5 = 0 x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0 x3 + x4+ x5 = 0

  36. dan Jadi basis darinull space adalah : Jikasuatumatrikdidalambentukrow-reduced echelon, makavektorbaris (row vector) dengan 1 (satu) sebagaileading entry menjadi basis darirow-space darimatriktersebutdanvektorkolom (column vector) dengan 1 (satu) sebagaileading entry menjadi basis daricolumn space darimatriktersebut

  37. 3. Tentukan basis darirow space dancolumn space darimatrikberikutini : Jawab : Basis darirow space adalah : r1 = [1 0 -1 2 1] r2 = [0 1 0 1 2] r3 = [0 0 0 1 3]

  38. Basis daricolumn space adalah : Jikaduamatrik A dan B saling row-equivalent, maka : • Kumpulan vector kolom A salingbebas linier jikadanhanyajikakolomvektro B yang berkorespondensiletaknyajugasalingbebas linier. • Kumpulan vector kolom A membentuk basis dari column space (ruangkolom) A jikadanhanyajika vector B yang letaknyasamadengan A jugamembentuk basis untukruangkolom B

  39. 3. Tentukan basis darirow space dancolumn space darimatrikberikut : Jawab : Karena OBE tidakmengubahrow-spacedarisuatumatrik, makamatrik A dapatdiubahkedalambentukrow-reducedechelonmenjadi :

  40. Sehingga basis danrow space darimatrik A adalah : r1 = [1 0 -5 -6 -1] r2 = [0 1 1 2 -1] Untukmencaricolumn space agaksedikitberbedakarena A dan B mungkintidakmemilikicolumn space yang sama, sehinggatidakdapatmengambil basis dari B untukmenjadi basis dari A. Dari pernyataan 2 dikatakanbahwauntukmencari basis daricolumn space A dapatdicaridari B. Basis column space dari B adalah : Sehingga basis daricolumn space dari A adalah : dan dan

  41. Rank dan Nullity Padasuatumatrik A dan AT, terdapat 6 ruangvektoryaitu Row space A Row space AT Column space A Column space AT Null space A Null space AT Namun row space AT = column space A, begitujugadengan column space AT = row space A. Olehsebabitutinggal 4 ruangvektor yang perludiperhatikanyaitu row space A, column space A, null space A dan null space AT. Inisemuadisebutsebagai fundamental matrix space dari A. Bagaimanahubunganantaradimensidarikeempatruang vector tersebut ?

  42. Dapatdisimpulkanbahwadimensidarirow space dancolumn spacesuatumatrikadalahsama. Dimensidari row space dan column space suatumatrikdisbutdenganistilah “rank”, sedangkandimensidari null space disebutdenganistilah “nullity” Contohsoal : Tentukan rank dan nullity dari : Jawab : Ubahmatrik A kedalambentuk reduce-row echelon form menjadi :

  43. Terdapat 3 yang mengandung leading entry ‘satu’ sehingga dimensi dari row space dan column space adalah 3. Jadi rank (A) = 3. Untuk mencari nullity, harus dicari solusi Ax=0 lebih dulu sehingga dari bentuk reduce row-echelon A diperoleh : Karena barisnya ada 3, maka nullity (A) = 3. Bukan suatu kebetulan bahwa rank (A)+ nullity (A) = n, dengan n adalah jumlah kolom dari A. Jadi, rank (A) + nullity (A) selalu sama dengan jumlah kolom dari matrik.

More Related