ribPWI Toegepaste wiskunde - Goniometrie Lesweek 6

1. IBB ribPWI Toegepaste wiskunde - Goniometrie Lesweek 6 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal

2. Goniometrie • We kennen twee tekendriehoeken, de halve gelijkzijdige driehoek en het halve vierkant. • De verhoudingen van de zijden is te berekenen met de stelling van pythagoras en blijkt te zijn: • Voor de halve gelijkzijdige driehoek 1 : √3 : 2 • Voor het halve vierkant 1 : 1 : √2 • In rechthoekige driehoeken waarin de hoeken van 30°, 60° en 45° voorkomen, zullen deze verhoudingen bestaan.

3. Rechthoekige driehoeken

4. Verhoudingen van zijden • In elke driehoekige rechthoek is het mogelijk om met de verhoudingen van de zijden, de hoeken te berekenen. • Men noemt dit goniometrie of hoekmeting. • Noemt men de zijden van een rechthoekige driehoek a, b en c dan zijn er 6 verschillende verhoudingen mogelijk. • Sinus α = b / a Cosecans α = a / b • Cosinus α = c / a Secans α = a / c • Tangens α = b / c Cotangens α = c / b

5. Sinus C Overstaande rechtshoekzijde Sinus β = Schuine zijde a b b Sin β = a β A c B

6. Cosinus C Aanliggende rechtshoekzijde Cosinus β = Schuine zijde a b c Cos β = a β A c B

7. Cosinus C Overstaande rechtshoekzijde Tangens β = Aanliggende rechtshoekzijde a b b Tan β = c β A c B

8. Verband tussen cos, sin en tan C α = 90° γ ► sinβ = b / a = 4/5  β = 53,13° 5 ► cosγ = b / a = 4/5  γ = 36,87° 4 sin 53,13° = cos 36,87° α β ► sinβ = cos(90° - 53,13°) = 4/5 A 3 B sinβ = cos(90° - β)

9. Verband tussen cos, sin en tan C α = 90° γ ► cosβ = c / a = 3/5  β = 53,13° 5 ► sinγ = c / a = 3/5  γ = 36,87° 4 cos 53,13° = sin 36,87° α β ► cosβ = sin(90° - 53,13°) = 3/5 A 3 B cosβ = sin(90° - β)

10. Verband tussen cos, sin en tan

11. Eenheidscircel

12. Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel • Elke hoek wordt ingesloten door twee benen, het vaste – en het draaibeen • Elke hoek kan met zijn hoekpunt in de oorsprong van het assenstelsel geplaatst worden en met het vaste been langs de x-as • De hoek waarover gedraaid wordt heet α, deze wordt uitgedrukt in graden. • De positieve richting van de draaihoek is tegen de wijzers van de klok in • De grootte van de hoek wordt volledig bepaald door de verhouding van de coordinaten van een punt op de draaibeen (x, p).

13. Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel • In de eenheidscircel geldt voor de hoeken van 0° tot 360°; • sin α = y • cos α = x • tan α = y / x Of Pythagoras cos2 α + sin2 α = 1

14. Goniometrische verhoudingen in de eenheidscircel • Voor een hoek α in het tweede kwadrant geldt: • sin α = sin ( 180° - α ) • cos α = - cos ( 180° - α ) • tan α = - tan (180° - α )

15. Radialen

16. Radialen • De omtrek van de eenheidscircel; • = 2 π r = 2 π 1 = 2 π = 6,28 • Zo zal op elk punt van de circelomtrek een reel getal tussen 0 en 6,28 zijn afgebeeld. • Na een periode van 2π zal het zelfde punt weer worden bereikt, we noemen dit een periodieke functie met een periode van 2π. • Een radiaal is de grootte van een circelboog waarvan de lengte gelijk is aan de straal van de circel.

17. Radialen • In eenheidscircel bevat 2π radialen = 6,28 radialen. • .Éen radiaal is gelijk aan 360° / 2π = 57,3° = 57° 18’ • Ook de middelpuntshoek α die op de boog staat van één radiaal, noemen we een radiaal. • De radiaal kunnen we dus beschouwen als een maateenheid voor het meten van circelbogen en hoeken.

18. Radialen Graden  Radialen 90°/360° * 2π = 1,57 → 1,57 / π = 0,5 → 1,57 = 0,5π rad = α / 360 * 2π Radialen  Graden 1 1/2π = 4,71 → 4,71 / 2π * 360° = 270° α = rad / 2π * 360°

19. Radialen - sinus Sin 1/6π = sin 0,52 = 0,5 (π/6 / 2π * 360° = 30° → sin 30° = 0,5) Zo ook: Sin 1/2π = sin 1,57 = 1 Sin π = sin 3,14 = 0 Sin 1 1/6π = sin 3,66 = - 0,5 Sin 1 1/2π = sin 4,71 = -1 Sin 2π = sin 6,28 = 0 Sinα = y

20. Radialen - cosinus Cos 1/3π = cos π/3 = cos 1,05 = cos 60° = 0,5 Zo ook: Cos 1/2π = cos 1,57 = cos 90° = 0 Cos π = cos 3,14 = cos 180° = -1 Cos 1 1/3π = cos 4,18 = cos 240° = - 0,5 Cos 1 1/2π = cos 4,71 = cos 270° = 0 Cos 2π = cos 6,28 = cos 360° = 1 cosα = x

21. Tabel van de functie f(x) = sinx

22. Tabel van de functie f(x) = cosx

23. Onderscheidt tussen de cos- en sinfunctie • De cosinusfunctie ijlt dus een ½ π (of een kwart periode ) na. • (Men kan de cosinus beschouwen als een sinusfunctie waarvan de grafiek een ½ π (naar links) verschoven is.)

24. Sinusregel Sin α = h / b → h = b sin α Sin β = h / a → h = a sin β a sin β = b sin α a : sin α = b : sin β De verhoudingen tussen de lengte van een zijde en de sinus van de tegenoverliggende hoek zijn aan elkaar gelijk.

25. Oppervlakte van een driehoek sin α = h / b h = b sin α Voor de oppervlakte van ∆ ABC vinden we nu door substitutie van h in: ½ * basis * hoogte = ½ * c*h ABC = ½ b c sin α

26. Oppervlakte van een driehoek • Uit de gevonden formule kan men door cyclische verwisseling de twee anderen afleiden. • ABC = ½ a c sin β • ABC = ½ a b sin γ

27. Oppervlakte van een driehoek De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek.

28. Cosinusregel b2 = h2 + (c – p)2 a2 = h2 + p2 b2 – a2 = (c – p)2 – p2 → b2 = a2 + c2 – 2 c p regel 1 p = a cos β regel 2 regel 2 in regel 1 b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β

29. Cosinusregel Het kwadraat van een zijde is gelijk aan de som van het kwadraat van de andere zijden verminderd met het dubbele product van de andere zijden en de cosinus van hun ingesloten hoek. Zo ook: a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α c2 = a2 + b2 – 2 a b cos γ

30. EINDE Docent: M.J.Roos WWW.HRO.MROOS.COM