ribwis1 Toegepaste wiskunde – Differentieren Lesweek 7

IBB ribwis1 Toegepaste wiskunde – Differentieren Lesweek 7 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propedeuse, kernprogramma 2e kwartaal

Differentiequotient

De limiet

De afgeleide

Afgeleide en richtingscoefficient y P is met Δx en Δy toegenomen tot Q y=x2 De vergelijking van de hoek van lijn PQ is gelijk aan het differentiecoefficient: Δy/Δx = 2x + Δy dit is dan ook de tan van hoek OPR. Q y+Δy P 1 R x 1 x+Δx

Afgeleide en richtingscoefficient y y=x2 Vervolgens laten we punt Q tot P naderen, Δx nadert dan nul. Als punt Q in P zijn limiet heeft gevonden (Δx = 0) dan is de hoek van de raaklijn in punt P met coördinaten (1,1) gelijk aan de afgeleide van y = x2 of wel f ‘ (x) = 2x  2 * 1 = 2 = tan QPR = richtingscoefficient. Q y+Δy P 1 R x 1 x+Δx

Afgeleide en richtingscoefficient De vergelijking van de raaklijn in punt P is dan: y = ax + b, invullen van de coördinaten van P en de RC geeft dan: 1 = 2 * 1 + b  b = -1 De vergelijking van de raaklijn in P is dan: y = 2x – 1 De afgeleide f’(x) = 2x is dan horizontaal naar rechts getransleerd en daarmee dus een raaklijn in punt P geworden.

Afgeleide en richtingscoefficient

Afgeleide en richtingscoefficient • De functie van de afgeleide: y = 2x • Voor punt (3,9) • RC = 2 * 3 = 6 • Vergelijking raaklijn: y = ax + b • 9 = 6 * 3 – 9  y = 6x - 9

Afgeleide en richtingscoefficient

Functieonderzoek met afgeleiden

Locale extremen en buigpunten Maximum f’(x)>0 f’(x)<0 Maximum Minimum Minimum De functie bezit een extreme waarde op het moment dat de raaklijnen aan de grafiek van de functie horizontaal verlopen. Een extreem zal steeds een maximum of een minimum zijn op een bepaald interval van de functie Een functie f(x) zal voor x = a een locaal extreem hebben, als f’(a) = 0 en f’(x) links en rechts van x = a een verschillend teken hebben

Locale extremen en buigpunten • f’(x) > 0  f is stijgend • f’(x) < 0  f is dalend • f’(x) = 0  f heeft een horizontale raaklijn in het punt waarvoor geldt x=a De functie zal voor x = a een buigpunt hebben als er geen tekenverwisseling plaats vind. Buigpunt

Functies en afgeleiden

Functies en afgeleiden Functie Afgeleide

Voorbeeld 1 Stel dat onderstaande tabel de afgelegde weg weergeeft van een auto tijdens de eerste 10 seconden na de start. De functie die aan deze tabel ter grondslag ligt zal zijn: f = {(x,y) | y = x^2 en x >=0} Uit de tabel lezen we de gemiddelde snelheden in m/sec af gedurende de eerste 10 seconden. Gedurende de 6e seconde bijvoorbeeld, dus op het interval [5,6] was de gemiddelde snelheid: toename y / toename x = (36 -25) / (6 – 5) = 11 m/s Op interval [5,8] vinden we: toename y / toename x = (64 – 25) / (8 – 5) = 13 m/s

Voorbeeld 1 Is het aantal seconden onderhevig aan een kleine toename dan zal ook de afgelegde weg y een weinig veranderen. In y = x2 krijgen we dan: y + ∆y = (x + ∆x)2 ↔ y + ∆y = x2 + 2x∆x + ∆x2 ↔ ∆y = x2 + 2x∆x + ∆x2 – y ↔ ∆y = x2 + 2x∆x + ∆x2 – x2 ↔ ∆y = 2x∆x + ∆x2 ↔ ∆y / ∆x = 2x + ∆x Het quotiënt ∆y / ∆x = toename y / toename x, stelt de toename van de gemiddelde snelheid voor. We noemen dit het differentiequotiënt of de gemiddelde toename op het interval [x,x + ∆x].

Voorbeeld 1

Regels voor het differentieren

Opdracht 1 • Bepaal de afgeleide • y = 4  • y’ = 0 • De grafiek verloopt horizontaal. • De gemiddelde verandering is dus 0

Opdracht 2 • Bepaal de afgeleide • y = 3x  • y’= 3 • De grafiek is een rechte lijn. • De gemiddelde verandering is steeds 3

Opdracht 3 • Bepaal de afgeleide; • y = -4 ¾ x  • y’ = -4 ¾ • De grafiek is een rechte lijn.

Opdracht 4 • Bepaal de afgeleide; • y = x3 • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’ = 3x2

Opdracht 5 • Bepaal de afgeleide: • y = x2 + 4x • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’ = 2x + 4

Opdracht 6 • Bepaal de afgeleide: • y = 1/x4  • y = x-4 • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’ = -4x-5 (regel 2b) of • (x4 * 0 – 1*4x3)/(x4)2 = -4x3/x8  y’= -4x3 * x-8 = -4x-5 (regel 5)

Opdracht 7 • Bepaal de afgeleide: • y = √x2  • y = x2/3 • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’ = 2/3 x-1/3  2x-1/3 / 3  2 / 3x1/3  2 / 3√x 3 3

Opdracht 8 • Bepaal de afgeleide: • y = 5x4 • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’ = 5 * 4 * x3  20x3

Opdracht 9 • Bepaal de afgeleide: • y = - 2 ¼ cos(t) • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’ = - 2 ¼ * - sin(t)  2 ¼ sin(t)

Opdracht 10 • Bepaal de afgeleide: • y = t2 + sin(t) • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’ = 2t + cos(t)

Opdracht 11 • Bepaal de afgeleide: • y = 6.25 * √x3 – x5 • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’ = 6.25 * 3/5 x-2/5 – 5x4  • y’= (3.75 * x-2/5 / 3) – 5x4  • y’= (3.75 / 3x2/5) – 5x4  • y’= (3.75 / 3√x2) - 5x4 5 5

Opdracht 12 • Bepaal de afgeleide: • y = x2cos(x) • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’= 2xcos(x) + x2*-sin(x)  2xcos(x) – x2sinx

Opdracht 13 • Bepaal de afgeleide: • y = (x2 + 3)(x-5) • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’= 2x(x-5) + 1(x2+3)  • y’= 2x2 – 10x + x2 + 3  3x2 – 10x + 3

Opdracht 15 • Bepaal de afgeleide: • y = (t2 + 3) / (t – 5) • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’= (2t(t - 5) – (t2 + 3) * 1) / (t – 5)2 • y’= 2t2 – 10t – t2 - 3 / (t – 5)2 • y’= t2 – 10t - 3 / (t – 5)2

Opdracht 17 • Bepaal de afgeleide: • y = sin(t) / cos(t)  y = tan(t) • De gemiddelde verandering is gelijk aan: • y’= cos(t)cos(t) – sin(t)(-sin(t)) / cos2(t) • y’= cos2(t) + sin2(t) / cos2(t)  1 / cos2(t)

Opdracht 18 • Bepaal de afgeleide: • y = sin(3t + 2) • Dit is een samengestelde functie !! • Omschrijf deze als: • y = sin(u)

Opdracht 18 - vervolg • y = sin(u) • y’ = cos(u) • u = 3t + 2 • u’ = 3 • Het produkt van beide afgeleiden: • y’ = cos(u) * 3  3cos(3t + 2)

Opdracht 19 • Bepaal de afgeleide: • y = (-2s3 + 5)10 • Dit is een samengestelde functie !! • Omschrijf deze als: • y = (u)10

Opdracht 19 - vervolg • u = -2s3 + 5 • u’ = -6s2 • y = (u)10 • y’ = 10u9 • Het produkt van beide afgeleiden: • y’ = 10u9 * -6s2  • y’ = -60s2 * (-2s3+5)9

Opdracht 20 - vervolg • Bepaal het volledig origineel van 0, de extreme waarden en buigpunten van de functie f: f(x) = -x3 + 3x2

Opdracht 20 - uitwerking Volledig orgineel van nul -x3 + 3x2 = 0 -x2(x – 3) = 0 x = 0 V x = 3 f(0) = 0 f(3) = 0 {0,3}

Opdracht 20 - uitwerking Locale extremen f ’(x) = -3x2 + 6x -3x2 + 6 = 0 -3x(x – 2) = 0 x = 0 V x = 2 f(0) = 0 f(2) = 4

Opdracht 20 - uitwerking • Signatuurdiagram f stijgend f dalend f dalend f ‘(x)

Opdracht 20 - uitwerking • Tekenoverzicht: -3x(x – 2) = 0 -2 -1 0 1 2 3 -3 x +++++++++++++++ x - 2 +++++++ f ‘(x) < 0 > 0 < 0 f daalt stijgt daalt

ribwis1 Toegepaste wiskunde – Differentieren Lesweek 7