1 / 22

ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3

IBB. ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3. Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal. Briggse Logaritmen. g x = a De uitkomst a wordt berekend door het grondtal g te verheffen tot de macht x

jennifer-bolton
Download Presentation

ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. IBB ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal

  2. Briggse Logaritmen gx = a De uitkomst a wordt berekend door het grondtal g te verheffen tot de macht x Met g =10 en x = 2 kunnen we a berekenen: 102 = 100 2x = 8, tot welke macht moeten we 2 verheffen om 8 te krijgen ? Het vinden van deze uitkomst, in dit geval 3, noemen heet ‘logaritme nemen’. De notatie hiervan is: x = glog a

  3. Logaritme nemen • 4log64 = • 4x = 64 ↔ 4x = 43 ↔ x = 3 • 10log10 = • 10x = 10 ↔10x = 101 ↔ x =1 • 9log1/3 = • 9x = 1/3 ↔ (32)x = 3-1 ↔ x = -½

  4. Logaritme nemen Om de exponent x van een grondtal g te bepalen terwijl de uitkomst a bekend is, gebruiken we dus de logaritme gx = a ↔ glog a 3 2log√4 = x ↔ 2x = 41/3 ↔ 2x = (22)1/3 ↔ x = 2/3 1/4 log a = -2 ↔ ¼ -2 = a ↔ (4-1)-2 = a ↔ a = 42 ↔ a = 16 glog 1/16 = -2 ↔ g -2 = 1/16 ↔ g -2 = 16-1 ↔ g -2 = (42)-1 ↔ g -2 = 4-2 ↔ g = 4

  5. Logaritme nemen • Het grondtal g van de logaritme moet positief en ongelijk aan nul zijn. • Het argument a van de logaritme moet altijd positief zijn.

  6. Logaritme nemen • -2log 8 = x ? • -2x≠ 23 • bestaat niet, want er is geen macht waartoe je -2 kunt verheffen om 8 te krijgen. • 4log -16 = x ? • 4x≠ -42 • bestaat niet, want geen enkele machtsverheffing met 4 als grondtal heeft -16 als uitkomst. • 1log 2 = x ? • 1x≠ 2 • bestaat niet, want tot welke macht we 1 ook verheffen er komt altijd 1 uit. • 0log 2 = x ? • 0x≠ 2 • bestaat niet, want tot welke macht we 0 ook verheffen, er komt altijd 0 uit.

  7. Eigenschap 1 g glog a = a( a> 0, g > 0, g ≠ 0) 10log 100 = 2 ↔ 102 =100 De exponent 2 van het grondtal 10 kunnen we vervangen door 10log 10 zodat 1010log100 = 100 Dus als we van een zeker getal a (bijv. 9) de waarde glog a bepalen (bijv. 3log9) En we gebruiken de uitkomst hiervan (3log 9) weer als exponent in een machtsverheffing met hetzelfde grondtal (3), dan krijgen we het oorspronkelijke getal a (9) terug.

  8. Voorbeeld eigenschap 1 3 3log 9 = 9 ↔ 32 = 9 (3log9 = 2) 2 2log 8 = 8 ↔ 23 = 8 (2log8 = 3)

  9. Eigenschap 2 glog a = x1 en glog b = x2 dan geldt ook: gx1 = a en gx2 = b, Zodat: a * b = ab = gx1 * gx2 = g x1 + x2 Dus: g x1 + x2 = ab , Zodat ook: glogab = x1 + x1 = glog a + glog b Het bovenstaand bewijst eigenschap 2, welk luidt: glog a + glog b = glogab (a > 0 en b > 0, gelijke grondtallen) Bijv.4log 3 + 4log 5 = 4log15

  10. Eigenschap 3 glog a = x1 en glog b = x2 dan geldt ook: gx1 = a en gx2 = b Zodat: a/b = gx1 / gx2 = gx1 – x2 Zodat: glog a/b = x1 – x2 ↔ glog a – glog b Het bovenstaand bewijst eigenschap 2, welk luidt: glog a – glog b = glog a/b(a > 0 en b > 0, gelijke grondtallen) bijv.2log 4 – 2log 8 = 2log 4/8 = 2log ½ ↔ 2x = ½ ↔ 2x = 2 -1 ↔ x = -1

  11. Eigenschap 4 We weten dat: a = g glog a (eigenschap 1) Indien we linker- en rechterlid tot de macht p verheffen, dan: ap = g p glog a M.b.v de definitie van het logaritme, gx = a ↔ glog a : g p glog a = ap ↔ glog ap = p gloga Het bovenstaand bewijst eigenschap 4, welk luidt: p glog a = glog ap

  12. Voorbeeld eigenschap 4 • 2log 4 + 2log 4 = 2log 16 ↔ • 2 * 2log 4 = 2log 16 ↔ • 2 * 2log 4 = 2log 42

  13. Eigenschap 5 7log3 = x ↔ 7x = 3 Er geldt nu: 5log7x = 5log 3 ↔ (grondtal 5 willekeurig gekozen) x * 5log 7 = 5log 3 (eigenschap 4) x = 5log3 / 5log 7 ↔ x = log 3 / log 7 ↔ x = 0,5646 m.b.v. 1 geldt : 7log 3 = log 3 / log 7 70,5646 = 3 Het bovenstaand bewijst eigenschap 5, welk luidt: bloga = glog a / glog b (g = een willekeurig gekozen grondtal)

  14. voorbeelden gloga2bc3 = gloga2 + glogb + glogc3  2 * gloga + glogb + 3*glogc 10log 1/√10 = 10log10-1/2  -1/2 * 10log10  -1/2 * 1 = -1/2

  15. voorbeelden gloga2 / c√b = gloga2 – (glogc + glog√b)  gloga2 – glogc - glog√b)  2 * gloga – glogc – glogb1/2  2 * gloga – glogc – ½ * glogb

  16. Eigenschap 6 Oplossen van logaritmische vergelijkingen 3logx = 3log5 + 3log2 3logx = 3log10 ↔ x =10 (eigenschap 2) Logaritmische vergelijking worden opgelost met de eigenschap: glog a = glog b ↔ a = b

  17. Voorbeeld #1 eigenschap 6 10logx4 = 1 + 10log5 + 10logx  4*10logx = 10log10 + 10log5 + 10logx  3*10logx = 10log10 + 10log5  3*10logx = 10Log50  10logx3 = 10log50  x3 = 50  en x > 0

  18. Voorbeeld #2 eigenschap 6 4logx = 3 + 4log2  4logx = 4log64 + 4log2  4logx = 4log128  x > 0 (bestaansvoorwaarde logaritme) x = 128 y = 4log128 = log128/log4 = 3,5 Snijpunt: (128,3.5)

  19. Grafiek voorbeeld #2 x > 0 x = 128 y = 3,5

  20. Voorbeeld #3 2logx = 4log2x  2logx = 2log2x / 2log4 (eigenschap 5)  2logx = 2log2x / 2  2 * 2logx = 2log2x 2logx2 = 2log2x (eigenschap 4)  x2 = 2x (eigenschap 6)  x2 – 2x = 0  x(x – 2) = 0  x = 0 of x = 2 bestaansvoorwaarde x > 0  x = 2, y = 2log2 = 1 Snijpunt: (2,1)

  21. Grafiek voorbeeld #3

  22. EINDE Docent: M.J.Roos WWW.HRO.MROOS.COM

More Related