REZY TELIES Matematika Mgr. Bibiána Molitorisová

1. REZY TELIES MatematikaMgr. Bibiána Molitorisová

2. Obsah • Základné pojmy • Rezy kocky • Rezy mnohostenov

3. Základné pojmy • Rez telesa je prienik telesa a roviny: je to rovinný útvar, ktorého hranica je prienik hranice telesa s rovinou rezu. Hranica rezu telesa sa skladá z prienikov roviny rezu so stenami telesa. • Rovina je jednoznačne určená : • Tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. • Priamkou a bodom, ktorý na nej leží. • Dvoma rôznobežnými priamkami.

4. Rezy kocky • Poučky • Veta 1 • Veta 2 • Príklady • Príklad 1 • Príklad 2

5. Veta 1 Ak je rovina rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, tak ich pretína v rovnobežných priamkach ( viď. obr.). Rovina EFGH je rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami ADEH a BCFG a pretína ich v dvoch priamkach EH a FG, ktoré sú navzájom rovnobežné.

6. Veta 2 • Ak je priamka rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami, tak je rovnobežná aj s ich priesečnicou (viď.obr.). Priamka FB je rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami ADEH a CGDH. Priesečnica týchto dvoch rovín je rovnobežná s priamkou FB.

7. Príklad č.1 • Zostrojme rez kocky rovinou HPQ pričom bod P leží na priamke CG a bod Q je v prednej stene kocky. • návod na riešenie

8. Postup • Najprv spojíme priamkou body H a P. Dostaneme tak rez zadnej steny. Teraz využijeme vetu 1. Keďže rovina HPQ je rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, s rovinou prednej steny a rovinou zadnej steny, pretína ich v rovnobežných priamkach. Takže bodom Q ťaháme rovnobežku s priamkou HP. • zadanie

9. Dostali sme tak dva body X,Y, ktoré patria rovine HPQ, takže môžeme spojiť body X,H priamkou čím dostaneme rez bočnej steny kocky. Bodom P ťaháme rovnobežku s priamkou XH. Dostaneme tak rez pravej bočnej steny a bod Z, ktorý leží podobne ako bod Y v rovine podstavy. Tieto body spojíme priamkou. Dostaneme tak rez kocky rovinou HPQ. • zadanie

10. Príklad č.2 • Zostrojme rez kocky rovinou KLM pričom bod K leží na priamke AE, bod L na priamke EH a bod M je v zadnej stene kocky. • Postup

11. Postup • Najprv spojíme body K,L priamkou. Predlžíme si priamku HD smerom hore a podobne aj priamku KL. Priesečník týchto dvoch priamok si označíme písmenom P. Bodom P vedieme priamku cez bod M, pričom dostávame dva body X,Y. Úsečka XY je vlastne rezom zadnej steny kocky. • zadanie

12. Bodom K vedieme rovnobežku s priamkou XY. Dostaneme tak bod T. Bodom Y vedieme rovnobežku s priamkou KL a dostaneme pritom bod Z. Body LX a body TZ spojíme priamkou. • zadanie

13. Rezy mnohostenov • Poučky • Veta 1 • Príklady • Príklad 1 • Príklad 2

14. Veta 1 Nech každé dve z troch rovín sú rôznobežné. • Ak dve z ich priesečníc sú rôznobežné, tak aj tretia priesečnica prechádza priesečníkom prvých dvoch. • Ak dve z priesečníc sú rovnobežné, tak je s nimi rovnobežná aj tretia priesečnica.

15. Príklad č.1 • Zostrojme rez štvorbokého nepravidelného hranola rovinou XYZ pričom bod Y leží na priamke DH, bod Z leží na priamke GH a bod X na priamke AB. • Postup

16. Postup • Spojíme si body Y,Z čím dostaneme rez zadnej steny. Predlžíme si priamku DC a priamku YZ. Priesečníky týchto priamok si označíme bodom P. Bodom P vedieme priamku cez bod X, ktorý je v rovine podstavy hranola. Dostaneme tak rez podstavy.

17. Bodom Z vedieme rovnobežku s priamkou RX. Dostávame tak bod Q. Podobne aj bodom X vedieme rovnobežku s priamkou YZ, pričom dostaneme bod S. Body S a Q spojíme a spojíme aj body R a Y.A máme rez hranola rovinou XYZ.

18. Príklad č.2 • Zostrojme rez štvorstena rovinou KLM, pričom bod K leží v rovine ACD, bod L leží v rovine ABD a bod M v rovine podstavy ABC. • Postup

19. Postup • Zapamätajme si, že pri ihlane, štvorstene prekladáme rovinu, ktorá obsahuje jeho hlavný vrchol v našom prípade je to vrchol D. Pri preložení roviny vrcholom D a bodmi K,L dostaneme obrazy bodov, ktoré ležia v rovine podstavy. Obrazy týchto bodov spojíme priamkou. Takisto spojíme priamkou aj pôvodné body K,L. Priesečnicu týchto priamok si označíme bodom P.

20. Bodom P vedieme priamku cez bod M. Dostaneme tak rez podstavy štvorstena XY. Bodom X vedieme priamku cez bod K. Podobne vedieme priamku bodom Y cez bod L. Dostaneme tak dva body Z a U, ktoré tiež spojíme.

21. Ďakujem za pozornosť

22. This product was created with a support of the European Commission