KALKULUS II

1. KALKULUS II STTA DRS. SUPARYONO, MT.

2. NAMA : DRS. SUPARYONO,MT. S-1 : MATEMATIKA MIPA UNDIP SEMARANG S-2 : TEKNIK INDUSTRI ITB BANDUNG ALAMAT : PERUM AU, BLOK P-1 HP : 08122747910

3. PENILAIAN • KEHADIRAN 20% • TUGAS/PARTISIPASI SAAT KULIAH • UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) • UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)

4. KALKULUS II 1. SILABUS a. Teknik Integrasi b. Integral Tak Wajar c. Penggunaan Integral d. Fungsi dua variabel e. Sistem Koordinat kutub f. Integral lipat Dua dan Tiga 2. Daftar Pustaka a. Matematika Universitas2, M. Marga Ismail Besari, Armico Bandung b. Kalkulus, Frank Ayers, Jr., Dra Leo Prasetio, Erlangga c. The Calculus With Analitic Geometry, Louis Leithod d. Calculus, Apostol, Tom M, Blaisdell e. Calculus And Analytic Geometry, Thomas

5. RUMUS2INTEGRASI 1). 2). 3). = 4a). 4). 5). 6). 7). arc 7a).

6. 8). 9). 10). 11). 12). 13). 14).

7. Sifat-sifat integral tertentu. 1. = C = konstanta 2. = = 3. 4. = Jika M1 < f(x) < M2 Untuk a  x  b 5. Maka  M2 (b - a) M1 (b - a) 

8. 6. ; (a > b) = 7. = 0 8. = 9. ; F (x) = = F (x) Kontinu untuk a, a  x  b maka 10. = G (b) - G (a) ; G’ (x) = f (x)

9. PERSAMAAN TRIGONOMETRI YANG SERING DIGUNAKAN 1. 2. 3. 4. 5.

10. BAB I TEKNIK INTEGRASI 1. Teknik substitusi (penggantian) 2. Integrasi Parsial 3. Integrasi fungsi trigonometri 1. Teknik substitusi (penggantian) = = a.

11. Maka : Mis = t = dt = = b.

12. 2. INTEGRAL PARSIAL Contoh : u = x du = dx dv = ex dx  v = ex + c Hitung : a. b.

13. 3. Integral Trigonometri Ada 3 Kasus : I. II. III. Jika m ganjil mis : I. = =

14. Jika m genap : II. III. =

15. Latihan :

16. tg *). x 1

17. RUMUS2INTEGRASI 1). 2). 3). = 4a). 4). 5). 6). 7). arc 7a).

18. 8). 9). 10). 11). 12). 13). 14).

19. Sifat-sifat integral tertentu. 1. = C = konstanta 2. = = 3. 4. = Jika M1 < f(x) < M2 Untuk a  x  b 5. Maka  M2 (b - a) M1 (b - a) 

20. 6. ; (a > b) = 7. = 0 8. = 9. ; F (x) = = F (x) Kontinu untuk a, a  x  b maka 10. = G (b) - G (a) ; G’ (x) = f (x)

21. PERSAMAAN TRIGONOMETRI YANG SERING DIGUNAKAN 1. 2. 3. 4. 5.

22. BAB II INTEGRAL TAK WAJAR Disebut integral 1. Definisi. Integral tertentu tak wajar jika : a. Integran f(x) punyai 1 atau lebih titik diskontinu pada selang a x b b. Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga. 2. Integaran yang Diskontinu. a. Jika f (x) diskontinu di x = a dan dapat diintegralkan pada (z,b) untuk setiap z (a,b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh :

23. b. Jika f (x) diskontinu di x = b dan dapat diintegralkan pada (a,z) untuk setiap z  (a,b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh : c. Jika f (x) diskontinu di x = c dimana c  (a,b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh :

24. y x 0 RAJIN BELAJAR YA...... contoh 1 Hitung jawab : Integran F(x)=1/x ; akan berharga tak hingga untuk x mendekati 0. Utk itu ambil x=z(0,1) dimana F(x) bisa diintegralkan :

25. contoh 2 y f(x) Hitung Jika f(x) didefinisikan Untuk x=0 0 x 1 Oleh jawab : Untuk x>0 Dari grafik terlihat F(x) diskontinu pd x mendekati 0. Utk itu ambil z(0,1) dimana F(x) diintegralkan shgg: Mendekati 2 Jadi

26. 3. Batas Integrasi Tak Hingga a. Jika f(x) kontinu pada selang ax  u maka integral tak wajar f dari a ke + dinyatakan oleh : b. Jika f(x) kontinu pada selang wxb maka integral tak wajar f dari - ke b dinyatakan oleh : c. Jika f(x) kontinu pada selang wx u maka integral tak wajar f dari -  ke dinyatakan oleh : Jika nilai llimit definisi ada maka dikatakan integral tak wajar konvergen

27. contoh 4 Hitung jawab : Batas atas integrasinya tak hingga : Jadi = ¼ 

28. BAB III PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU 1. Konsep luas daerah. Mis daerah D daerah yg dibatasi grafik y = f(x) yg kontinu dlm selang [a,b] dan f(x)0, grs x=a, grs x=b dan sumbu x positif spt gbr: y y D 0 x 1 2 Xa-1 xa=b 0 x1 x2 xo=a

29. Akan ditentukan luas daerah D dgn cara sbb : bagi selang terrtutup [a,b] menjadi n bagian yaitu dgn ttk a=x0<x1<x2...<xn=b, buat segi empat. Shg berlaku : L segi empat bawahluas D luas segi empat atas : dimana : Jika segi empat tsb dibuat sbyk mungkin mk dgn mengambil D menuju tak hingga akan berlaku atau Shg berlaku

30. 2. Dgn konsep perhit. L daerah dpt diturunkan rumus sbb : a. Jika f(x) fungsi yg kontinu diselang tutup [a,b] dan C di titik dalam [a,b] sehingga f(x)0 di dlm [a,c], f(x)0 di dlm [c,b] mk luas D= (L daerah yg di batasi lengkungan Y=f(x), grs x=a, x=b) dpt dihitung dgn rumus : y x 0 b a c b. Jika f(x) dan g(x) fungsi yg kontinu diselang tutup [a,b] dimana f(x)g(x) untuk setiap x di [a,b] dan mis D adl daerah yg di batasi lengkungan grafik f(x), g(x), grs x=a & x=b maka: y f(x) g(x) 0 x a b

31. y 1 x  2 0 b -1 contoh 1 1. Tentukan luas daerah yg di batasi oleh y =cos x, grs x=0, x= dan sumbu x 2. Tentukan luas daerah yg di batasi oleh grafik2 y=x2dany=x3 Karena cos x0 di [0, ½] dan cos x0 [½,] maka : jawab Luas daerah : = 2

32. 2. Titik potong kedua grafik didapat dr pers x2=x3 atau x2(1-x) = 0 yg dipenuhi oleh x=0 atau x=1. Jd titik potongnya (0,0) dan (1,1) Y=x3 y Y=x2 1 Karena x2x3 utk setiap 0x 1 maka : Luas daerah : x 0 1

33. y 1 x a 0 b 3. Menghitung isi benda putar a. Sumbu putarnya sumbu x (Metode kulit) 1). Mis y = f(x) fungsi yg kontinu dlm selang tertutup [a,b] spt gbr : Akan ditentukan isi benda putar yg terjadi jika daerah yg dibatasi oleh lengkungan y=f(x), sumbu x, grs x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu x, dgn cara sbb : Jika segi empat ini diputar mengelilingi sumbu x akan terjadi silinder dgn ukuran : jari2 lingkaran f(c1) dan tinggi  iV={f(ci)}2.  ix, spt gbr di blkg

34. y 1 f(c1) x a xi-1 ci xi 0 b  ix  ix Karena ada n buah segi empat maka akan tdpt silinder dgn jmlh isi Isi benda putar yang terjadi dapat didekati dengan :

35. f(x) y f(c1) f(x) g(x) g(x) g(c1) x a xi-1 ci xi 0 b  ix 2. Jika daerah D=daerah yg di batasi oleh fungsi f(x) dan g(x) garis x=a, x=b dimana f(x) dan g(x) fungsi yg kontinu dan f(x)g(x) dlm [a,b], diputar mengelilingi sumbu x maka isi benda putar yg terjadi dpt ditentukan sbb : Isi = isi silinder luar- isi silinder dlm

36. b. Sumbu putarnya sumbu y (Metode kulit) 1. Mis y = f(x) : Akan ditentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yg dibatasi y = f(x), sumbu x, garis x=a & grs x=b diputar mengelilingi sumbu y dgn cr sbb : y x a xi-1 ci xi 0 b

37. 2. Jika daerah D = daerah yg di batasi lengkungan grafik fungsi2 f(x), g(x), grs x=a, x=b, dimana f(x), g(x) kontinu dan f(x)g(x) di [a,b] diputar mengelilingi sumbu y maka isi benda putar ditentukan sbb : x2 y f(x) f(c1)-g(c2) f(x) x a 0 b

38. x=-c x=-c y f(x) y f(x) Gbr 1 Gbr 2 D D x g(x) x a 0 b a 0 b y=-d y=-d a. Jika daerah Dpada gambar-1 diputar mengelilingi grs y=-d(d>0) maka isi benda putar yg terjadi dpt dihitung dgn rumus : b. Jika daerah D pada gambar-2 diputar mengelilingi grs y=-d(d>0) maka isi benda putar yg terjadi dpt dihitung dgn rumus :

39. c. Jika daerah Dpada gambar-1 diputar mengelilingi grs x=c(c>0) maka isi benda putar yg terjadi : d. Jika daerah D pada gambar-2 diputar mengelilingi grs x=c(c>0) maka isi benda putar yg terjadi : Catatan : Jika sumbu putar pd gambar diatas diganti garis y = d dan x=c dgn d>0 dan c >0 maka rumus2 tsb menjadi g. h.

40. contoh 1 Tentukan isi benda putar yg terjadi jika daerah yg di batasi oleh grafik y = x2 dan y = x3 diputar mengelilingi sumbu x : y=x3 y=x2 y 1 x 0 1

41. 4. Menghitung Luas Permukaan Datar Mis f(x) kontinu & terdiferensial pd [a,b], jika daerah D = daerah yg dibts lengkungan y=f(x), grs x=a, x=b dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x akan terjadi suatu benda putar. y f(x) f(x2) f(x1) f(x1-1) f(x1) x x2-1 x2 b 0

42. Luas permukaan benda putar dapat dihitung sebagai :

43. Contoh soal Tentukan luas permukaan benda putar yg terjadi jika daerah yg dibatasi oleh permukaan y=x3, garis x=0, garis x=2 diputar mengelilingi sumbu x Jawab Luas permukaan :

44. 5. Menghitung Panjang Lengkungan Mis y=f(x) fungsi yang kontinu di [a,b] dan terdiferensial di (a,b) dgn grafik sbb :. B y Q A P Akan ditentukan panjang lengkung AB dgn cara sbb : x a xi-1 xi b 0 Bagi selang [a,b] menjadi n bagian & pd setiap selang dibuat trapesium. Tinjau selang ke i Panjang segmen garis PQ

45. Karena ada n selang maka terdapat n buah segmen garis dgn jumlah panjang : Panjang busur (lengkungan) dari A ke B di definisikan sebagai :

46. Jika lengkungan dinyatakan dlm bentuk persamaan parameter : maka Contoh : tentukan panjang lengkungan y=x3/2 dari x=0 sampai x=2

47. BAB IV PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU (2) Mencari Besarnya Kerja dengan Integrasi. Mis benda P digerakan dgn gaya menurut grs lurus, mis sumbu x. Akan ditentukan kerja yg digunakan utk menggerakan P dr titik x=a sampai titk x=b, sbb :  x P xi xi+1 x=b x=a 0 Untuk n mendekati , akan didapat :

48. Contoh Suatu pegas diikat pada satu ujung (A) dan ujung lainnya dianggap sbg titk awal 0, pegas ditarik dgn gaya sejauh x sedangkan gaya yang digunakan sebesar f(x). Dik : panjang pegas dlm keadaan normal 10 cm. Jika utk merentang pegas sampai 12 cm diperlukan gaya 3 N, berapa kerja yg diperlukan utk merentang pegas dari posisi semula menjadi 18 cm jawab Menurut hukum Hooke : f(x)=K.x;K konstanta pegas ; x= jarak peregangan/rentangan f(x)=fungsi jarak rentangan. Karena utk merentang pegas dari 10 cm menjadi 18 cm adalah : f(x)= Kx f(2)= K.2 = 3

49. Kerja yg diperlukan untuk merentang pegas dari 10 cm menjadi 18 cm adalah : Prhatikan Pelajaran Jangan pada ngobrol sendiri!

50. 2. Mencari Titik Berat dengan Integrasi. a. Titk Berat Bangun Datar y Bentuk dari bangun dinyatakan homogen sehingga dapat dianggap rapat massa = 1 x 0 Dapat ditentukan bahwa momen suatu benda thd suatu sumbu X adalah MiYi & thd sumbu Y adalah MiXi shg dpt didef momen slrh bangun datar thd sumbu X adalah : dan thd sumbu Y adalah :