MATEMATIKA 2 ŠTUDIJSKO GRADIVO

1. MATEMATIKA 2 ŠTUDIJSKO GRADIVO

2. INTEGRALI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK Funkcije definirane z integralom Vsaka integrabilna funkcijaf:[a,b]→ℝ določa zvezno funkcijo F :[a,b]→ℝ: Lastnosti F lahko razberemo iz lastnosti f, npr: če je f zvezna je F odvedljiva in velja F’=f; če je f pozitivna, je F naraščajoča...

3. Za vsakx>0 je definirana funkcija Primer je zvezna lje odvedljiva je > 0 je strogo naraščajoča x↦l(x)je alternativna definicija funkcije ln(x). x↦l -1(x) pa je alternativna definicija funkcije ex

4. Pravilo določa funkcijoF :[a,b]→ℝ. Nove funkcije dobimo tudi z integriranjem funkcij več spremenljivk: f:[a,b]ⅹ[c,d]→ℝ: integral s parametrom Primer Kdaj je tako definirana funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna? Kaj je njen odvod, integral?

5. Zveznost če je x1 dovolj blizu x0 , je zato je fzvezna zvezna Izberimo natančnost e in privzemimo, da je f zvezna:

6. Odvedljivost Lagrange: zvezna za dovolj majhen h je za vse y∈[c,d] f(x,y) zvezno odvedljiva na x odvedljiva odvajanje integrala po parametru

7. Primer

8. zvezna Integrabilnost f zvezna integrabilna Primerjajmo funkciji in G1=G2 posebej: G1(b)=G2(b) zamenjava vrstnega reda integriranja

9. Primer

10. Formula o zamenjavi vrstnega reda integriranja velja tudi za funkcije f(x,y), ki so nezvezne v nekaj točkah ali celo vzdolž neke gladke krivulje. Primer nezvezna vzdolž premice y=x

11. Dvojni integral Prostornino pod ploskvijo ocenimo s pomočjo kvadrov. Pravokotnik[a,b]x[c,d]razdelimo na mrežo manjših pravokotnikov.Vsota prostornin včrtanih kvadrov je manjša, vsota prostornin očrtanih kvadrov pa večja od prostornine pod ploskvijo.

12. y d c a b x f(x,y) omejena na pravokotniku [a,b]×[c,d] delitev: Δyj Δxi mij,Mij natančna spodnja in zgornja meja na pravokotniku [xi-1,xi]×[yi-1,yi] Δxi= xi – xi-1, Δyj= yj – yj-1 spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D

13. Skupno limitoimenujemo dvojniintegral funkcije f na območju[a,b]×[c,d] in označimo z spodnji integral funkcije f zgornji integral funkcije f Vedno je S(f) ≤ Z(f). Funkcija fje integrabilna, če jeS(f) =Z(f). Zvezne funkcije so integrabilne. (Integrabilne so tudi funkcije, pri katerih je množica točk nezveznosti majhna, npr. če so nezvezne le v nekaj točkah, ali pa vzdolž neke gladke krivulje.)

14. Prostornina pod grafom z=f(x,y) je ,kjer je P(x) ploščina prereza na nivoju x. P(x)je ploščina pod grafomfunkcijey↦f(x,y): Dvojni integral jeenak dvakratnemu.

15. Primer ali pa

16. Primer splošno pravilo:

17. x ploščina prereza je Primer Polovico valja presekamo z ravnino.Izračunajmo prostornino dobljenega telesa v:x = h:r prostornina=

18. Definiramo: Integral funkcije f(x,y) po območju D, ki ni pravokotno obravnavamo takole: D zapremo v pravokotnik [a,b]x[c,d]in razširimo definicijo funkcije fs pravilom g(x,y)=f(x,y) za (x,y) iz D in g(x,y)= 0 sicer.

19. enačba ravnine: z y x Primer območje D: prostornina = 2. možnost:

20. DIFERENCIALNE ENAČBE Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. Primeri diferencialna enačba za y kot funkcijo x diferencialna enačba 2. reda Reddiferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa. diferencialna enačba 3. reda parcialna diferencialna enačba (2. reda) Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe

21. je rešitev diferencialne enačbe , saj je ni rešitev diferencialne enačbe , čeprav je za nekatere vrednosti x. F(x,y,y’)=0 splošna oblika diferencialne enačbe 1.reda Rešitev diferencialne enačbe je funkcijay=y(x), pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0 za vse xna nekem definicijskem območju. Primeri: Enačba mora biti izpolnjena za vsex na nekem intervalu.

22. Splošna rešitev je običajno odvisna od nekaj parametrov. Na primer, vse rešitve enačbeso oblike , kjer sta A in B poljubni realni števili. je rešitev enačbe je tudi rešitev enačbe je prav tako rešitev zgornje enačbe... Diferencialne enačbe imajo praviloma veliko rešitev, kar je posledica dejstva, da odvajanje ni injektivno. Velja pravilo: diferencialna enačba reda n ima splošno rešitev,ki je odvisna od n poljubnih parametrov.

23. Geometrični pomen diferencialne enačbe y=y(x) je rešitev enačbe y’=f(x,y) smerni koeficient tangente na graf rešitve v točki x0 je enak f(x0,y(x0)) funkcija f(x,y) določa polje smeri: pri vsaki točki (x,y)z majhno daljico označimo smer s koeficientom f(x,y). vsaka krivulja, ki je v svojih točkah tangentna na polje smeri, je graf ene izmed rešitev diferencialne enačbe f(x,y)=x-y

24. f(x,y)=-y-sin3x f(x,y)=x2-y2+1

25. Fizikalni primer: radioaktivni razcep Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5gizotopa 14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)? y=y(t) količina snovi v trenutku t y’=-kykje sorazmernostni faktor med količino snovi in hitrostjo razpadanja (npr. za 14C je k=3.83 10-12s-1) y(0)=C, torej je Czačetna količina opazovane snovi Za 14C: Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema. Hitrost razpadanja pogostopodamo z razpolovno doboT: zveza s k je kT=ln2 Razpolovna doba14Cje (0.6931/3.83) 1012s ≈ 5730 let.

26. Datiranje s 14C kozmični žarki stopnja radioaktivnosti 0 let 5730 let 11460 let 17190 let starost Rastline absorbirajo CO2v biosfero. Razmerje med 12C in14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi. Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žar- kov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2. Razmerje med 14CO2in 12CO2 v atmosferi je dokaj stabilno. Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.

27. Pri diferencialnih enačbah obravnavamo dva tipa nalog: • iskanje splošne rešitve npr. enačba splošna rešitev • začetni problem iščemo rešitev enačbe, ki ima v nekih točkah predpisane funkcijske vrednosti (in morda vrednosti odvodov) npr. začetni problem rešitev

28. V družini krivulj gre le ena skozi točko (0,3). V dvoparametrični družini krivulj je le ena, ki gre skozi izhodišče in ima tam tangento s smernim koeficientom 2.

29. Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami V diferencialni enačbi 1. reda lahko ločimo spremenljivki, če jo lahko zapišemo v obliki Primeri nista enačbi z ločljivimi spremenljivkami

30. Praktično navodilo: v diferencialni enačbi pišemo , prestavimo vse x na eno stran enačbe, vse y na drugo stran enačbe in potem integriramo vsako stran posebej. Reševanje enačb z ločljivimi spremenljivkami U(y) primitivna funkcija za u(y) V(x) primitivna funkcija za v(x) implicitna oblika splošne rešitve

31. A ∈ ℝ Primeri spremenljivk se ne da ločiti! nova spremenljivka:

32. Začetni problem pri enačbah z ločljivimi spremenljivkami Primer

33. Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. • Rešitev DE je funkcija y=y(x), ki za vse x ustreza enačbi. Število prostih parametrov, od katerih je odvisna rešitev je enako redu enačbe. • Geometrično je rešitev DE vsaka krivulja, ki je tangentna na polje smeri. • Začetni problem je iskanje rešitve DE, ki ustreza nekim začetnim pogojem. • DE z ločljivimi spremenljivkami rešimo tako, da ločimo spremenljivki in potem integriramo vsako stran enačbe posebej.

34. Primer modeliranja z DE Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo. y0........... začetna koncentracija tripsina y(t) ........... koncentracija tripsina v času t y’=ky...........hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji rešitev: y=y0ekt začetni problem: Model napoveduje eksponentno in neomejeno naraščanje količine tripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato model popravimo.

35. Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna koncentracija tripsina pa y0 dobimo začetni problem: Logistična krivulja: model predvideva, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila.

36. Logistična krivulja je dober model za omejeno rast, vendar ni vedno povsem ustrezna. Npr. pri tumorjih število rakastih celic najprej narašča eksponencialno, potem pa se rast umiri in sčasoma ustavi. S poskusi so ugotovili, da krivulja naraščanja ni logistična temveč t.im. Gompertzova krivulja (ena od vidnih razlik je, da pri njej prevoj nastopi precej prej kot pri logistični). Gompertzova funkcija

37. Diferencialna enačba pomeni, da število rakastih celic narašča sorazmerno z velikostjo tumorja, vendar se sorazmernostni faktor spreminja s časom. Vzroke za spremembo razlagajo različno: Eksperimentalno ugotovljeno zakonitost poskušamo razložiti tako, da pogledamo, kateri diferencialni enačbi ustreza Gompertzova funkcija. a s staranjem se reproduktivna moč celic zmanjšuje reproduktivni faktor se ne spreminja, vendar je naraščanje sorazmerno le z delom števila celic v tumorju, ker se v notranjosti tumorja ustvari nekrotično območje

38. rešitve homogene LDE 1.reda so oblike , kjer je A(x) primitivna funkcija zaa(x). • je rešitev splošne LDE 1.reda Linearne diferencialne enačbe 1. reda splošna LDE 1.reda homogena LDE 1.reda Velja: • poljubni rešitvi LDE 1.reda se razlikujeta za rešitev pripadajoče homogene enačbe. • splošna rešitev LDE 1.reda je oblikey=yP+yH

39. Reševanje LDE 1. reda: • izračunamo primitivno funkcijo A(x) za a(x); • izračunamo integral ; • splošna rešitev enačbe je Primer

40. Začetni problem za LDE 1.reda izračunamo: rešitev: Primer

41. E(t) vir napetosti: Primer LDE 1.reda RL- električni krog konstantni vir napetosti E: padec napetosti na tuljavi: EL=LI’ L R padec napetosti na uporu: ER=RI Kirchhoffov zakon:E=ER+EL

42. L E(t) R Primer izmenični vir napetosti:

43. Začetni problem nima rešitev, ker je edina rešitev enačbe dana z y(x)=0. • Začetni problem ima edino rešitevy(x)=x+1. • Začetni problem ima neskončno rešitev oblikey(x)=Cx+1. Primeri Rešljivost DE 1. reda

44. Rešitev začetnega problema lahko zapišemo v integralski obliki ki je primerna za približno reševanje. numerična metoda za reševanje DE 1.reda Picardova iteracijska metoda zadostni pogoji za obstoj in edinost rešitve DE 1.reda (Podobno smo pri Newtonovi metodi enačbo f(x)=0 preoblikovali v x=g(x).)

45. Privzemimo, da obstaja limitna funkcija ; tedaj je Tvorimo zaporedje funkcij y0(x), y1(x), y2(x),... po rekurzivnem pravilu: Za vse n velja: (če je f zvezna in če smemo odvajati limito) in limitna funkcijay(x)je rešitev začetnega problema.

46. Primer ...... Taylorjeva vrsta za funkcijo y(x)=ex.

47. Primer Picardove iteracije za začetni problem 0 1 2 ...... 3

48. Če staf(x,y) in fy’(x,y)zvezni na neki okolici točke(x0,y0) potem začetni problem ima natanko eno rešitev y=y(x) na neki okolici točke x0. Pri določenih pogojih Picardove iteracije konvergirajo proti rešitvi začetnega problema, dobljena rešitev pa je enolična. Primer Rešitve ni vedno mogoče podaljšati na celo realno os!

49. Linearne diferencialne enačbe 2.reda splošna LDE 2.reda homogena LDE 2.reda Velja: • poljubni rešitvi LDE 2.reda se razlikujeta za rešitev pripadajoče homogene enačbe. • splošna rešitev LDE 2.reda je oblikey=yP+yH , kjer je yP neka rešitevsplošne enačbe, yH pa poljubna rešitev homogene enačbe.

50. če sta y1 in y2 rešitvi homogene enačbe, potem je tudi c1y1+c2y2 rešitev homogene enačbe. (principsuperpozicije) funkciji y1 in y2 sta neodvisni, če nobena ni večkratnik druge • če sta y1 in y2 neodvisni rešitvi homogene enačbe, potem lahko vse rešitve homogene enačbe zapišemo kot superpozicijo y1 in y2. (sledi iz rezultatov o rešljivosti diferencialnih enačb) yH=c1y1+c2y2