1 / 20

BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. 6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n tuple) adalah suatu urutan dari n bilangan ril ( a 1 , a 2 , . . . , a n ). Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang

carla-oneil
Download Presentation

BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

  2. 6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n tuple) adalah suatu urutan dari n bilangan ril (a1, a2, . . . , an). Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang berdimensi n(n-space) dan dinyatakan sebagai Rn. z z Tripel berurutan (a1, a2, a3) dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai suatu titik atau suatu vektor (a1, a2, a3) (a1, a2, a3)  y y x x

  3. Definisi Dua vektor u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) pada Rn disebut sama (equal) jika u1 = v1, u2 = v2, … , un = vn Jumlah (sum) u + v didefinisikan sebagai u + v = (u1 + v1, u2 + v2, … , un + vn) Jika k adalah suatu skalar, maka kelipatan skalar (scalar multiple) ku didefinisikan sebagai ku = (ku1, ku2, . . . , kun)

  4. 6.1.1 Sifat-sifat Operasi Vektor pada Ruang Berdimensi n Teorema Jika u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn), dan w = (w1, w2, . . . , wn) adalah vektor-vektor pada Rn serta k dan l adalah skalar, maka a) u + v = v + u b) u + (v + w) = (u + v) + w c) u + 0 = 0 + u d) u + (–u) = 0 e) k(lu) = (kl)u f) k( u + v) = ku + kv (k + l) u = ku + lu 1u = u

  5. Definisi Jika u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) adalah vektor-vektor sembarang, maka hasil kali dalam Euclidean (Euclidean Inner Product) u . v didefinisikan sebagai, u . v = u1v1 + u2v2+ … + unvn Contoh 6.1 Hasil kali dalam Euclidean dari vektor-vektor u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0) pada R4 adalah u . v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18

  6. Sifat-sifat Hasil Kali Dalam Euclidean Teorema Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka: a) u . v = v . u b) (u + v) . w = uw + vw c) (ku) . v = k(u . v) d) v.v 0

  7. 6.1.2 Norma dan Jarak pada Ruang Berdimensi n Euclidean Jika u = (u1, u2, . . . , un), maka norma vektor u (ditulis dengan lambang ||u|| pada Rn adalah Jarak Euclidean (Euclidean Distance) antara titik u = (u1, u2, . . . , un) dan titik v = (v1, v2, . . . , vn) pada Rn didefinisikan sebagai,

  8. Contoh 6.2 Jika u = (1, 3, -2, 7) dan v = (0, 7, 2, 2), maka pada R4

  9. Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz pada Rn Teorema Jika u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) adalah vektor-vektor pada Rn, maka: |u . v|  ||u|| ||v|| Dalam bentuk komponen dapat ditulis menjadi |u1v1 + u2v2+ … + unvn|  (u12 + u22+ u32)1/2(v12 + v22+ v32)1/2

  10. Sifat-sifat Panjang pada Rn Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka: a) ||u||  0 b) ||u|| = 0 jika dan hanya jika u = 0 c) ||ku|| = |k| ||u|| ||u + v||  ||u|| + ||v|| (ketidaksamaan segitiga)

  11. Sifat-sifat Jarak pada Rn Teorema Jika u , v dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka: a) d(u, v)  0 b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v c) d(u, v) =d(v, u) =||ku|| = |k| ||u|| d(u, v) d(u, w) + d(w, v) (ketidaksamaan segitiga) Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka: u . v = 1/4 || u + v ||2 – 1/4 ||u – v||2

  12. 6.1.2 Ortogonalitas (ketegaklurusan) Definisi Dua vektor u dan v pada Rndisebut ortogonal jika u . v = 0 Contoh 6.3 Jika u = (-2, 3, 1, 4) dan v = (1, 2, 0, -1), maka ruang Euclidean R4 adalah ortogonal karena u . v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0 Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka || u + v ||2 = ||u||2 + ||v||2(teorema Phytagoras)

  13. Rumus matriks untuk hasil kali titik Jika u dan v dinyatakan dalam notasi matriks kolom berikut, Sehingga, u . v = vTu = u1v1 + u2v2+ … + unvn

  14. Contoh 6.4 = (5)(–1) + (–4)(3) + (7)(5) + (0)(7) = 18

  15. Jika A adalah matriks n x n maka berlaku, Au . v = vT (Au) = (vTA) u = (AT v)T u = u . AT v u . Av = (Av)Tu = (vT AT) u = vT(AT u) = AT u . v Contoh 6.5 Diketahui Buktikan bahwa Au . v = u . AT v Bukti

  16. Au . v = (7)(–2) + (10)(0) + (5)(5) = 11 u . ATv = (–1)(–7) + (2)(4) + (4)(–1) = 11 Terbukti Au . v = u . ATv

  17. Latihan Diketahui, Buktikan bahwa Au.v = u.ATv

  18. Tampilan Hasil Kali Titik dari Perkalian Matriks Misal A = [aij] adalah matriks m x n B = [bij] adalah matriks r x n Maka elemen ke ij dari AB adalah: ai1 b1j +ai2 b2j + … + air brj yang merupakan hasil kali titik dari vektor baris ke i dari A [ai1 ai2 … air] dan vektor kolom ke j dari B b1j b2j ⋮ brj

  19. Jika vektor-vektor baris A adalah r1, r2,… ,rn dan vektor-vektor kolom B adalah c1, c2,… ,cn , maka matriks hasil kali AB dinyatakan sebagai, Secara khusus, suatu sistem linier Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk hasil kali titik sebagai,

  20. Contoh 6.6 Sistem persamaan linier, 3x1 – 4x2 + x3 = 1 2x1 – 7x2 – 4x3 = 5 x1 + 5x2 – 8x3 = 0 Dapat ditulis dalam bentuk hasil kali titik, (3, –4, 1) . (x1, x2, x3) 1 (3, –4, 1) . (x1, x2, x3) = 5 (3, –4, 1) . (x1, x2, x3) 0

More Related