1.18k likes | 3.51k Views
DIFERENSIAL (fungsi sederhana). Lanjutan……. Hakekat Derivatif dan Diferensial. dy/dx terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y, dx merupakan diferensial dari x . Diferensial dari x : dx = ∆x Diferensial dari y : dy=(dy/dx) ∆x. Variabel terikat.
E N D
DIFERENSIAL(fungsi sederhana) Lanjutan……
Hakekat Derivatif dan Diferensial dy/dx terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y, dx merupakan diferensial dari x. Diferensial darix : dx = ∆x Diferensial dari y : dy=(dy/dx) ∆x Variabel terikat
dy/dx lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu. • ∆y/∆x lereng yang sesungguhnya (the true slope) • Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated), atau lebih kecil (under estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya (teragantung pada jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas)
Fungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran = lereng sesungguhnya, berapapun ∆x dy/dx = ∆y/ ∆x y = f(x) Perubahan x = ∆x Perubahan y = ∆y Diferensial x = dx Diferensial y = dy Kuosien diferensi = ∆y/ ∆x Derivatif = dy/dx R ∆y = dy P Q ∆x = dx dy/dx = ∆y/ ∆x
y y • Fungsi y = f(x) yang non-linier S S R R QR=∆y P QR=dy Q QS=dx P QS=∆x Q ∆x = dx ∆x = dx 0 x 0 x (b) (a) dy > ∆y Over-estimated dy < ∆y Under-estimated
Derivatif dari derifatif • Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya). • Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi pertama, dst.
Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya • Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya besarnya turunan pertama dan turunan kedua akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut • Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya.
Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-masing turunannya
Fungsi Menaik dan Menurun • Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu. Lereng nol y = f(x) Lereng negatif fungsi menurun f’(a) > 0, y = f(x) menaik f’(a) < 0, y = f(x)menurun Lereng positif fungsi menaik Lereng nol
Uji Tanda • Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim • Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0. • Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum. • Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.
Titik ekstrim fungsi parabolik • Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. • Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. • Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara grafik. y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta • Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y = -4
y y = x2 – 8x + 12 12 y’= 2x - 8 y” = 2 2 0 x 2 4 6 -4 (4,-4) -8
Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 • Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. • Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik • Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. • Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut : y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear
Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 x1 = 2, x2 = 4 • Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67) titik ekstrim maksimum • Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif) • Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 2.33 (4, 2.33) titik ekstrim minimum • Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif) • Jika y” = 0 2x – 6 = 0 x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkannilai y = 3 titik belok (3,3)
y y’ = x2 – 6x + 8 8 y’’= 2x – 6 (2,3.67) y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3 3.67 (3,3) (4,2.33) y” = 2 2 0 x 2 4 3 (3,-1) -2 -4 -6
Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 • Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum • Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum • Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0
Relationship between marginal-cost and average-cost functions • TC = C(Q) total cost • MC = C'(Q) marginal cost • AC = C(Q)/Q average cost C MC AC Q
Penerapan lain : • Elastisitas dengan rumus umum :