Průsečík přímky a roviny

1. Průsečík přímky a roviny 1. Rovina či přímka ve speciálních polohách vzhledem k průmětnám 1.1 Rovina je kolmá k jedné z průměten (promítací rovina) Je-li rovina  kolmá k půdorysně (nárysně), leží první (druhé) průměty všech jejích bodů na její půdorysné (nárysné) stopě. Potom první (druhý) průmět R1 (R2) průsečíku R přímky a s rovinou  je průsečíkem prvního (druhého) průmětu a1 (a2) dané přímky a apůdorysné (nárysné) stopy roviny . Druhý (první) průmět R2 (R1) průsečíku R leží na ordinále procházející průmětem R1 (R2) a na druhém (prvním) průmětu a2 (a1) dané přímky a .

2. 1.2 Rovina je rovnoběžná s jednou z průměten (promítací rovina) Je-li rovina  rovnoběžná s půdorysnou (nárysnou), leží druhé (první) průměty všech jejích bodů na její nárysné (půdorysné) stopě. Potom druhý (první) průmět R2 (R1) průsečíku R přímky a s rovinou  je průsečíkem druhého (prvního) průmětu a2 (a1) dané přímky a anárysné (půdorysné) stopy roviny . První(druhý) průmět R1 (R2) průsečíku R leží na ordinále procházející průmětem R2 (R1)a na prvním (druhém) průmětu a1 (a2) dané přímky a .

3. 1.3 Přímka je kolmá k jedné z průměten (promítací přímka) Je-li přímka a kolmák půdorysně (nárysně), leží první (druhé) průměty všech jejích bodů v jejím prvním (druhém) průmětu. A to z toho důvodu, že přímka a je promítací přímka a ta se ve svém prvním (druhém) průmětu zobrazí do jediného bodu. Ten musí být tedy i obrazem průsečíku R (pokud existuje) přímky a s rovinou . Odtud označme R1  a1 (R2  a2). Druhý (První) průmět R2 (R1) průsečíku R sestrojíme užitím např. jedné z hlavních přímek. Zvolíme-li horizontální hlavní přímku, pak její první (druhý) průmět je rovnoběžný s půdorysnou stopou p1 roviny  (se základnicí y12) a prochází bodem R1 (R2). Průsečíkem prvního (druhého) průmětu h1 (h2) horizontální přímky h se základnicí y12 (s nárysnou stopou n2 ) je první (druhý) průmět N1 (N2) nárysného stopníku N. Chybějící průmět N2 (N1) nárysného stopníku sestrojíme jako průsečík ordinály procházející bodem N1 (N2) a nárysné stopy n2 roviny  (základnice y12). Dále zkonstruujeme druhý (první) průmět h2 (h1) horizontální přímky h jako rovnoběžku sezákladnicí y12 (s půdorysnou stopou p1 ). Hledaný průmět R2 (R1) je průsečíkem druhých (prvních) průmětů a2, h2 (a1, h1) přímek a, h.

5. 2. Rovina i přímka jsou v obecné poloze vzhledem k průmětnám Hledáme-li průsečík dané přímky a a obecné roviny  , užíváme tzv. krycí přímky. Přitom krycí přímkou rozumíme přímku k ležící v dané rovině , jejíž jeden průmět splývá s průmětem dané přímky a. Po zavedení krycí přímky máme dvě přímky – přímku k ležící v dané rovině  a přímku a různoběžnou s rovinou . Jejich průsečík R je právě bodem, ve kterém přímka a protíná rovinu .

6. Nalezení průsečíku přímky a roviny Zvolme krycí přímku k tak, že a1 k1. Potom můžeme najít první průměty stopníků přímky k (neboť přímka k leží v rovině ), a to následujícím způsobem N1  k1  y12, P1  k1  p1. Potom dohledáme jejich druhé průměty. Na ordinále procházející průmětem N1 a na nárysné stopě n2 roviny  leží druhý průmět N2 nárysného stopníku N. na ordinále procházející průmětem P1 a na základnici y12 leží druhý průmět P2 půdorysného stopníku P. Druhéprůměty stopníků leží na druhém průmětu k2 krycí přímky k. Je-li sestrojen druhý průmět k2 krycí přímky k, je také nalezen druhý průmět R2 průsečíku R přímky a s rovinou  jako průsečíkdruhých průmětů a2 a k2, přímek a a k. První průmět R1 průsečíku R leží na ordinále procházející bodem R2 a na prvním průmětu a1 přímky a . R je bod, ve kterém přímka a protíná rovinu .

7. Příklad 10: Sestrojte průsečík přímky b s danou rovinou .

8. Promítání dvojice rovin Dvě roviny ve trojrozměrném euklidovském prostoru mohou být rovnoběžné nebo různoběžné. 1. Dvě rovnoběžné roviny Ze stereometrie víme, že jsou-li dvě rovnoběžné roviny α // βproťaty třetí rovinou γ, která je s nimi různoběžná, pak je třetí rovina γprotíná ve dvou rovnoběžných průsečnicích. Představíme-li si, že v Mongeově promítání je třetí rovinouγjedna z průměten, pak půdorysna (nárysna) protíná rovnoběžné roviny α // βv půdorysných (nárysných) stopách (pokud existují), které jsou navzájem rovnoběžné.

9. Příklad 10: Daným bodem A veďte rovinu α, která je rovnoběžná s rovinou β(pβ, nβ).

10. 2. Dvě různoběžné roviny Nejsou-li dvě roviny α, β v trojrozměrném euklidovském prostoru rovnoběžné, protínají se ve společné průsečnici. Nalezení průsečnice dvou různoběžných rovin Průsečnice r dvou různoběžných rovin α, β leží v obou rovinách a je určena dvěma různými body, které leží současně v obou rovinách. Jejími stopníky jsou body, ve kterých se protínají stopy obou různoběžných rovin α, β, tj. P  pα∩ pβ, N  nα∩ nβ (pokud tyto průsečíky existují).

11. Příklad 11: Sestrojte průsečnici a dvou různoběžných rovin α, β.

12. Rovinný řez hranolů a jehlanů Rovinným řezem hranolu rovinou, která není rovnoběžná s žádnou hranou hranolu, je n-úhelník, jehož jednotlivé strany jsou průsečnicemi stěn hranolu s rovinou řezu. Rovinným řezem jehlanu rovinou, která neprochází vrcholem jehlanu, ani není rovnoběžná s rovinou řídicího n-úhelníku jehlanu, je n-úhelník, jehož jednotlivé vrcholy jsou průsečíky hran daného jehlanu s rovinou řezu.

13. V Mongeově promítání rozlišujeme 2 případy konstrukcí řezu těles. Ty jsou závislé na zvolené rovině řezu. Rovina řezu může být 1. promítací, 2. obecná. 1. Řez tělesa promítací rovinou V případě, kdy je za rovinu řezu zadána promítací rovina, zobrazí se jeden pohled na řez jako úsečka. Např. v úloze, ve které hledáme řez tělesa půdorysně promítací rovinou, je prvním průmětem řezu úsečka sestrojená jako „průsečnice“ půdorysné stopy půdorysně promítací roviny a prvního průmětu tělesa. Vrcholy druhého průmětu řezu leží na ordinálách a na příslušných hranách tělesa. Viz příklad 12.

14. Příklad 12: Zobrazte průměty kosého čtyřbokého hranolu ABCDEFGH se čtvercovou podstavou ABCD ležící v nárysně, je-li dáno: vrcholy B[0, -62, 57], D[0, -23, 28] podstavy ABCD a vrchol F[62, 5, 57] podstavy EFGH. Sestrojte řez kosého hranolu promítací rovinou  (12, 14, +∞).

15. Příklad 13: Zobrazte průměty pravidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV s podstavou ABCDEF ležící v půdorysně, je-li dán vrchol podstavy F[14, 38, 0] a vrchol jehlanu V[49, 29, 75]. Sestrojte řez jehlanu promítací rovinou  (+∞, -46, 27).

16. 2. Řez tělesa obecnou rovinou V případě, kdy sestrojujeme řez tělesa obecnou rovinou, užíváme k nalezení průmětů prvního bodu řezu krycí přímky. Tj. zvolíme jednu (vhodnou) hranu tělesa, zakryjeme ji krycí přímkou a pomocí úlohy „nalezení průsečíku přímky s rovinou“ sestrojíme bod řezu na zvolené hraně. Zbývající body řezu na dalších hranách tělesa sestrojíme za pomoci tzv. osové afinity (u hranolů) či perspektivní kolineace (u jehlanů) s osou afinity v půdorysné stopě. Chybějící druhé průměty bodů řezu doplníme v rovině řezu např. pomocí hlavních přímek. Nakonec určíme viditelnost stran řezu.

17. Kolineace v E3 Definice 1: Nechť ρ a ρ’ jsou dvě různé vlastní roviny a nechť S je takový bod trojrozměrného eukleidovského prostoru E3, který neleží ani v rovině ρ, ani v rovině ρ’. Pak zobrazení f : ρ→ρ’, ve kterém je obrazem libovolného bodu A ρ, kde A≠ S, bod A’ definovaný vztahem A’ = SA∩ρ’, se nazývá kolineace mezi rovinami ρa ρ’. Poznámka: Body A, A’ nazýváme kolineárně sdružené body. Středu promítání S říkáme střed kolineace, přímce o = ρ∩ρ’ osa kolineace. Střed i osa kolineace mohou být vlastní i nevlastní.

18. Definice 2: Perspektivní kolineace mezi rovinami ρa ρ’ je kolineace s vlastní osou o a s vlastním středem S. Definice 3: Osová afinita mezi rovinami ρa ρ’ je kolineace s vlastní osou o a s nevlastním středem S∞.

19. Středovou (perspektivní) kolineaci lze s výhodou užít při konstrukci řezu jehlanu rovinou ρ’, která není vrcholová, ani rovnoběžná s rovinou ρ řídicíhon-úhelníku. Ve středové kolineaci určené hlavním vrcholem jehlanu a rovinami ρa ρ’ jsou řídicí n-úhelník a řez kolineárně sdruženými útvary.

20. Osovou afinitu lze využít při konstrukci řezu hranolu rovinou ρ’, která není rovnoběžná s žádnou hranou hranolu, ani s rovinou ρ řídicího n-úhelníku. Řezem je n-úhelník, který je v afinitě roviny ρ’ na ρ určené směrem pobočných hran, afinně sdružený s řídicím n-úhelníkem hranolu.

21. Příklad 14: Zobrazte průměty kosého čtyřbokého hranolu ABCDEFGH se čtvercovou podstavou ABCD ležící v půdorysně, je-li dáno: vrcholy A[30, 51, 0], D[68, 34, 0] podstavy ABCD a vrchol H[68, -68, 86] podstavy EFGH. Sestrojte řez kosého hranolu rovinou  (57, -48, 56).

23. Příklad 15: Zobrazte průměty trojbokého jehlanu ABCV s podstavou rovnostranného trojúhelníka ABC ležící v půdorysně, jsou-li dány vrcholy A[60, -17, 0], C[83, 50, 0] podstavy jehlanu a výška v = 75 jehlanu. Sestrojte řez jehlanu rovinou  (90, -82, 55). Poznámka: Pro vrchol B podstavy jehlanu volte xB <xA .