La integral definida

1. La integral definida VBV

2. Derivada  Recta tangente • Integral  Área • Entendemos: • Área de una función f : región comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.

3. Pensemos en como obtener el área bajo la función f f(x) Sabemos calcular el área de polígonos…

4. Podríamos … f(x) x x0 x1 x2 x3 x4 Nosotros construiremos rectangulos!!!

5. En realidad… • Este es un problemamuyantiguo (Arquimedes se planteaesto, pero son Newton y Leibniz los que lo resuelven). • Idea: Construirrectangulos “bajo” la curvaf(x), encontrar el área de todosestosrectangulos.

6. Sea [a,b] un intervalo cerrado. • Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que: x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn • Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de [a,b]

7. Denotemos por Δxila longitud de cada sub-intervalo tal que: Δx1= x1 – x0 Δx2= x2 – x1 … Δxi= xi – xi-1 … Δxn-1= xn-1 – xn-2 Δxn= xn – xn-1 Notar que Δxicorresponderá a la base de cada rectangulo.

8. A la longitud del sub-intervalo (o sub-intervalos) más largo de la partición P se llama norma de la partición y se le denota ||P||. • Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}

9. Ejemplo: • Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.

10. Pensar en una partición para [a,b] • Geométrica: • a, ar, ar2,… arm, donde r0 • Aritmética: • a, a+d, a+2d, … a+md

11. PARTICIÓN GEOMÉTRICA • Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a • Se tiene: xi= x0*rn • Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi NO es constante .

12. PARTICIÓN ARITMÉTICA • Se define d=(b-a)/n • Se tiene: xi= x0+id • Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d. • Por esto, denotamos Δx=d.

13. Pensemos en la altura de cada rectángulo… • Sea f : [a,b]  una función acotada • P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b] • Para i = 1, . . . ,n denotamos: • mi = inf { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } • Mi = sup { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } • Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.

14. DEF:SUMA INFERIOR de f asociada a P f x2 … x1 a=x0 xn-1 b=xn

15. DEF:SUMA SUPERIOR de f asociada a P f x2 … x1 a=x0 xn-1 b=xn

16. Ejemplo: • Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2 • Usando una partición con n=4.

17. Proposición: • Para cada partición, se verifica: s(f,P) ≤ S(f,P) • Dem: mi ≤ Mi  mi Δxi ≤ Mi Δxi   mi Δxi ≤ Mi Δxi  s(f,P) ≤ S(f,P)

18. Proposición: • P1 P2  s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1) • Dem: Pensar en agregar puntos (de a uno a la partición P1).

19. Corolario: • Sean P1 y P2dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces: • m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a) • Además, si P= P1  P2 , entonces: • s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)

20. DEF:INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]

21. DEF:INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]

22. OBS:

23. DEF: • f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si: • Se escribe:

24. Pensar en… • Alguna función que NO sea Riemann integrable.

25. Ejemplo: • Calcular la integral de Riemann para f(x)=x en [a,b]. • Considerando las particiones aritméticas: • Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n} • Se tiene que:

26. Pensar… • ¿qué debe suceder para que … ??????

27. Teorema • Si la norma de la partición Pnse aproxime a cero, la suma inferior y superior coinciden. • Esto es • Notar que es equivalente a decir:

28. OBS: • Si hacemos que la norma de la partición Pnse aproxime a cero. • Entonces, la suma de Riemann se aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.

29. Veamos esto geometricamente… n = 3 rectángulos

30. n = 6 rectángulos

31. n = 12 rectángulos

32. n = 24 rectángulos

33. n = 48 rectángulos

34. n = 99 rectángulos

35. Interpretación … La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

36. Teorema • Considere una sucesión de particiones Pnde un intervalo [a,b] tales que: • y, • Entonces, f es Riemann integrable,

37. Ejercicios: • Construir 10 sub-intervalos para [0,1] usando la partición: • Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo. Encontrar las sumas de riemann.

38. Definición: • Sea f : [a,b]  una función acotada • P una partición de [a,b] • Una SUMA DE RIEMANN para la función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:

39. En la graficahemosconsiderado el puntomedio de cada sub-intervalo. f x2 … x1 a=x0 xn-1 b=xn

40. y • • • y = f(x) • • • • wn-1 wn wi w2 w1 x • • • • • • • • • • x0=a x1 x2 0 xn=b xi-1 xi xn-1 • • • … … Δ1x Δ2x Δix Δn-1x Δnx Otra grafica…

41. Ejemplo: • Calcular la suma de riemann en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2 • Usando una partición con n=4.

42. OBS: • Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann. • Escribimos: • Para denotar que:

43. Propiedades: • Sean f,g : [a,b]  acotadas e integrables. • Se cumple:

44. Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.

45. Proposición(Aditividad): • Si f : [a,b]  es acotada e integrable, y para todo c  [a , b] . • Se cumple: • f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b]. • Además se verifica el reciproco.

46. Ejercicio Sea f una función continua en 1, 5, si: Determine el valor de:

47. Definición: • Sea f : [a,b]  acotada e integrable. • Definimos:

48. Teorema: • S f : [a,b]  es monótona entonces f es integrable.

49. Observación • Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en cálculo son monótonas por intervalos. • Por la propiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prácticamente todas las funciones • elementales como por ejemplo ex , lnx,arctanx,etc.

50. Teorema: • S f : [a,b]  es continua entonces f es integrable.