INVERS (PEMBALIKAN) MATRIKS

1. INVERS (PEMBALIKAN) MATRIKS 1

2. SILABI Pembalikan matriks Cara pembalikan matriks berordo dua Matriks transpos Kofaktor Adjoin matriks Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua 2

3. PEMBALIKAN Matriks (Matriks Inverse) Berorde 2x2 Determinan |A| 3

4. Cara Pembalikan Matriks Berordo Dua Matriks A apabila dibalik disimbolkan dengan A-1 A . A-1 = I Hanya terdapat pada matriks bujur sangkar, determinan ≠ 0 A = a11 a12 A-1 = b11 b 12 a21 a22 b21 b22 b11 = 1 0 b210 1 a11b11 + a12b21 = 1 a21 b11 + a22 b21 = 0 a11 b12 + a12 b22 = 0 a21b12 + a22b22 =1 b12 a11 a12 b22 a21 a22

5. b11 = a22 b11 = a22 a11a22 – a21a12 A b12 = -a12 b12 = -a12 a11a22 – a21a12 A b21 = -a21 b12 = -a21 a11a22 – a21a12 A b22 = a11 b22 = a11 a11a22 – a21a12 A Tentukan balikan matriks A = 4 A = 24 – 20 = 5 b11 = 3 = 0,75 4 b21 = -5 = -1,25 A-1 = 0,75 -1 4 -1,25 2 b12 = -4 = -1 4 b22 = 8 = 2 4 8 4 3

6. Matriks transpos Jika matriks B diperoleh dari matriks Amxn dengan menukar baris – baris menjadi kolom – kolom atau sebaliknya, maka B sisebut transpos matriks A yang dinyatakan dengan A+ atau A’ A = a11 a12 ……. …….a1n A’ = a11 a21…………………………………..am1 a21 a22 …………. a2n a12 a22…………………………………..am2 am1 am2………………… amn a1n a2n….. …………………amn Contoh : A = 2 3 1 A’ = 2 5 5 0 4 3 0 1 4

7. Tanda kofaktor minor 7

8. Kofaktor Jika A matriks bujur sangkar dengan ordo n dan aij elemen pada bujur ke i kolom ke j , maka Kij adalah kofaktor dari aij. Jika dibentuk maktriks baru K dengan elemen-elemen kofaktor dari senua elemen A maka : K : (Kij) = K11 K12……………K1n K21 K22……….….K2n Kn1 Kn2…………..Knn Kofaktor dapat dicari dengan cara Nilai dari elemen Kij diperoleh dengan mencoret baris ke i dan kolom ke j sehingga tersisa nilai yang tidak tercoret Contoh : A = 2 3 K11 = 1 K 21 = -3 4 1 K12 = -4 K22 = 2 K= 1 -4 -3 2

9. Adjoin matriks Adjoin dari matriks A yang dinyatakan dengan Adj (A) adalah matriks dengan elemen-elemen sama dengan tranpos matriks kofaktor dari aij : Jadi Adj (A) = K’ = K11 K21 ………..….. Kn1 K12 K22………………Kn2 K1n K2n……………….Knn Contoh : A = 2 3 K11 = 1 K 21 = -3 4 1 K12 = -4 K22 = 2 K 1 -4 Adj A = K’ = 1 -3 -3 2 -4 2

10. A = 1 2 3 3 0 2 2 1 1 K11 = 0 2 = -2 K21 = - 2 3 = 1 K31 = 2 3 = 4 1 1 1 1 0 2 K12 =- 3 2 = 1 K22 = + 1 3 = -5 K32 = - 1 3 = 7 2 1 2 1 3 2 K13 = 3 0 = 3 K23 = - 1 2 = 3 K33 = 1 2 = -6 2 1 2 1 3 0 K = -2 1 3 Adj A = K’ = -2 1 4 1 5 3 1 5 7 4 7 -6 3 3 -6 Menentukan Kebalikan (Invers) Matriks Dengan Matriks Adjoin, jika A matriks bujur sangkar ordo n yang non singular dan Kij kofaktor dari elemen aij, maka invers matriks A adalah A-1 dengan A-1 = Adj (A) A Contoh : 1. A = 8 4 K11 = 3 K21 = -5 5 3 K12 = -4 K22 = 8 Adj A = 3 -4 A = 24 – 20 = 4 Jadi A-1 = 3 -4 = 3/4 -1 -5 8 -5 8 -5/4 2 4 Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua

11. 2. A = 0 1 2 1 2 3 2 1 1 K11 = 2 3 = -1 K21 = - 1 2 = 1 K31 = 1 2 = -1 1 1 1 1 2 3 K12 = - 1 3 = +5 K22 = 0 2 = -4 K32 = - 0 2 = 2 2 1 2 1 1 3 K13 = 1 2 = -3 K23 = - 0 1 = 2 K33 = 0 1 = -1 2 1 2 1 1 2 Adj A = -1 1 -1 A = 0 1 2 0 1 A = 0+6+2 – 8-0-1 5 -4 2 1 2 3 1 2 = -1 -3 2 -1 2 1 1 2 1 A-1 = Adj (A) -1 1 -1 A = 5 -4 2 -3 2 -1 -1 = 1 -1 1 -5 4 -2 3 -2 1 + + + - - -

12. Minor dan Kofaktor Kofaktor Laplace Expansion ; jika |A| = 0, kemudian |A| adalah tunggal,maka tidak dapat diidentifikasi 12

13. AC' 13

14. Matriks AC' 14

15. 15

16. Inverse Matriks A 16

17. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Sehimpunan persamaan linier dapat disajikan dalam bentuk notasi Matriks. Bentuk umumnya : A mx n X n x 1 = c m x 1 Jika m = n dan A mempunyai inverse  Matriks bujursangkar yang non-singular, maka : A nx n X n x 1 = c n x 1 17

18. Penyelesaian untuk vektor kolom x dapat diperoleh dengan membalik Matriks A : X n x 1 = A-1nx n c n x 1 Selain itu juga bisa diselesaikan dengan kaidah cramer 18

19. Aturan Cramer 19

20. 20

21. 21

22. Latihan Selesaikan himpunan-himpunan persamaan linier berikut dengan menggunakan matrix balikan (inverse matriz) dan kaídah Cramer 22