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Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen

Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen. Zu Übung 1, WS 2010/2011. Inhalt. Test von Werten auf die Eigenschaft „Wachstumsfunktion“ durch Logarithmieren Zusammenhang zwischen den Ergebnissen bei der Logarithmierung mit unterschiedlichen Basen. Wachstumskurve.

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Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen

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Presentation Transcript

  1. Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen Zu Übung 1, WS 2010/2011

  2. Inhalt • Test von Werten auf die Eigenschaft „Wachstumsfunktion“ durch Logarithmieren • Zusammenhang zwischen den Ergebnissen bei der Logarithmierung mit unterschiedlichen Basen

  3. Wachstumskurve • Wachstumskurve aus Aufgabe 1

  4. Logarithmus zur Basis 10 zur Wachstumskurve • Logarithmus zur Basis 10 der Wachstumskurve aus Aufgabe 1

  5. Interpretation der Geraden nach dem Logarithmieren • Die Geradenach dem Logarithmieren zeigt, dass die Kurve eine Exponentialfunktion der Zeit darstellt • Folge: Zu jeder Zeit ist der Zuwachs der Population proportional zur momentanen Anzahl der Individuen • Anmerkung. Dieses Wachstumsgesetz gilt auch für Kapital bei konstanter Verzinsung

  6. Ansteige des Logarithmus zur Basis 10 • Der Logarithmus zur Basis 10 zeigt eine Gerade mit Anstieg Δy / Δx = 1,63/15, also log y = 0,11 ·t Δy = 1,63 Δx = 15

  7. Funktion der Wachstumskurve zur Basis 10

  8. Wachstumskurve • Bei Wechsel der Basis ändert sich der Faktor vor der Zeit

  9. Relativer Zuwachs pro Zeit bei Basis e • Der relative Zuwachs Δy / y pro Zeiteinheit wird entweder unmittelbar aus dem Diagramm oder über die Ableitung der Funktion ermittelt

  10. Relativer Zuwachs pro Zeit bei Basis10 • Beachte: Bei einer von e unterschiedlichen Basis enthält die Ableitung y‘ den Faktor ln(Basis), also ln(10) bei Basis 10

  11. Vergleich der Ergebnisse zu Basis e und Basis 10 • Der Zuwachs pro Zeit ist unabhängig von der Basis, deshalb, daraus folgt eine Beziehung zwischen den Faktoren in den Exponenten zu unterschiedlichen Basen: • Bei einer von e unterschiedlichen Basis unterscheiden sich Faktoren im Exponenten den Faktor ln(Basis), also ln(10) bei Basis 10

  12. Vergleich der Ergebnisse zu Basis e und Basis 10 im Beispiel der Aufgabe • Beachte: Bei einer von e unterschiedlichen Basis unterscheiden sich Faktoren im Exponenten den Faktor ln(Basis), also bei Basis 10 um ln(10) =2,30

  13. Zusammenfassung • Folgt nach dem Logarithmieren von Werten eine Gerade, dann folgen sie einer „Wachstumsfunktion“ • Die Gerade zeigt sich bei beliebiger Basis • Folge: Zu jeder Zeit ist der Zuwachs der Population proportional zur momentanen Anzahl der Individuen • Der Koeffizient a der Exponentialfunktiony = exp(a·t) zeigt bei Basis e den relativen Zuwachs Δy / y pro Zeiteinheit • Bei Basen ungleich e enthält der relative Zuwachs pro Zeiteinheit noch den ln der Basis, z. B. bei y = 10^(a·t) folgtΔy / y=a· ln(10)

  14. finis

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