MATEMATIKA DISKRIT

1. MATEMATIKA DISKRIT TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT

2. MATEMATIKA DISKRIT3 SKS • Buku Teks : Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H Rossen, McGraw-Hill • Penilaian : • Tugas • Kuis • UTS • UAS

3. LOGIKA DAN EKUIVALENSI LOGIKA Bab 1 Sub-bab 1.1 – 1.2

4. Tujuan Instruksional khusus • Memahami tentang logika proposional • Memahami tentang penggunaan operator logika pada proposisi • Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional

5. Logika • Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning) • Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar • Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: Dino adalah mahasiswa UB. Semua mahasiswa UB pandai. Dino orang pandai. • Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.

6. Proposisi • Proposisimerupakansebuahpernyataanataukalimat yang punyanilaikebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisidisimbolkandenganhuruf p, q, dsb. • Biasanyaberbentukkalimatdeklaratif Contohbukanproposisi: • Berapahargatiketke Malaysia? • Silakanduduk.

7. MACAM PROPOSISI • Kalimatdeklaratif yang tidakmemuatpenghubungdisebutproposisi (primitif ) ex: • 2 adalahBilanganbulat • Kalimatdeklaratifygmemuatpenghubung ”atau” “dan” ”jikamaka” disebutproposisimajemuk (compound) ex: • TaufikHidayatpandai main bulutangkisatautenis

8. Konektif • Jika p dan q adalahproposisi, dapatdibentukproposisi (majemuk) baru (compoundproposition) denganmenggunakankonektif • Macam-macamkonektif: • NOT (negasi) Simbol atau ‾ • AND (konjungsi) Simbol ^ • Inclusive OR (disjungsi) Simbol v • Exclusive OR Simbol • ImplikasiSimbol • ImplikasigandaSimbol

9. Tabel KebenaranNegasi Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • p = Jono bukan seorang mahasiswa

10. TabelKebenaranKonjungsi Contoh : • p = Harimau adalah binatang buas • q = Malang adalah ibukota Jawa Timur • p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur • p ^ q salah. • Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitanantara p dan q

11. Tabel KebenaranDisjungsi (Inclusive OR) Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • q = Mira seorang sarjana hukum • p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum

12. Tabel KebenaranExclusive Disjunction • “Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q • p  q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar • p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer" • p  q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer"

13. Kalimat majemuk (compound statements) • p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) • Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai. • Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: • (pq)^r • p(q^r) • (p)( q) • (pq)^( r) • dll

14. Tingkat Presedensi • Urutanpenyelesaianlogikajikamenemuiproposisimajemuk

15. Tabel Kebenaran (p r)q

16. HITUNG Lengkapilahtabeldibawahinisertaberikankesimpulanakhirnya

17. Implikasi • Disebut juga proposisi kondisional (conditionalproposition) dan berbentuk “jika p maka q” • Notasi simboliknya : p  q • Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • q = Mira seorang sarjana hukum • p  q = Jika Jono seorang mahasiswa maka • Mira seorangsarjana hukum

18. Tabel KebenaranImplikasi

19. Hypotesa dan konklusi • Dalam implikasi p  q p disebut antecedent, hypothesis, premise q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent,conclusion)

20. Perlu dan Cukup • Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. • Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. • Perlu = necessary; Cukup = sufficient • Contoh: • Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum • Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum • Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa

21. Tabel kebenaranImplikasi Ganda (Biimplikasi) • Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” • Notasi simboliknya p  q

22. KESIMPULAN BIIMPLIKASI • p  q ekivalen dengan (p  q)^(q  p)

23. Ekivalensi Logikal • Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). • Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p  q

24. Konversi dan Inversi • Konversi dari p  q adalah q  p • Inversi dari p  q adalah  p   q • Apakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!!

25. Kontrapositif • kontrapositif dari proposisi p  q adalah  q   p • Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p  q dan  q   p ekivalen???

26. JAWAB KONTRAPOSITIF • p  q dan  q   p ekivalen

27. Ekivalensi Logika

28. Ekivalensi Logika

29. Ekivalensi Logika

30. Tautology • Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun • Contoh: p  p v q

31. Kontradiksi • Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun • Contoh : p ^ p

32. Latihan-1 • Dari bbrpkalimatdibawahinimana yang termasukproposisi ? Tentukannilaikebenarandariproposisitsb. • 7 merupakansebuahbilangan prima. • Janganlakukan. • Jika 10 habisdibagidengan 4, makajugahabisdibagidengan 2. • x + y = y + x untuksetiappasangandaribilangan real x dan y • Jam berapasekarang?

33. Latihan 2. Tentukan apakah (p  (p  q))  q adalah tautologi? 3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p  q b. (p  q)  (p  q) c. (p  q) ^ (q  p)