Válasz függvény

1. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Válasz függvény Romhányi Judit 2006. 10. 26. PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék

2. Bevezetés 2D és 3D szemcsés rendszereken alkalmazott lokális perturbációra adott választ vizsgáljuk. Kísérleti bizonyíték, arra, hogy • a struktúra, • a rendezetlenség, • az anizotrópia, • a súrlódás, jelentősen befolyásolja a választ.

3. Az erők terjedése a szemcsés anyagokban még megoldatlan probléma. Egyik oka: Rendezetlenség. • Kontaktus erők rendezetlensége • Kontaktusok redundanciája • súrlódás • Geometriai eredetű • bi-diszperz rendszer • ötszög alakú szemcsék (2D) • Azonos makroszkopikus körülmények közt elvégzett kísérlet eltérő válasz a perturbációra. Motivált a statisztikus fizikai megközelítés. • Számos, azonos körülmények között elvégzett kísérlet átlagát tekintjük.

4. Elméleti modellek az erő propagálásának jellemzésére, mind a rács, mind a kontínuum tartományban: • Kontínuum jellegű leírásnál pl.: • A klasszikus elasztikus modell • Elliptikus parciális diff egyenletet (PDE) jósol a rugalmassági küszöb alatt • és hiperbolikusa fölötte. • A q modell parabolikus PDE megoldást javasol, • OSL modell megoldása hiperbolikus PDE-t ad. • Rácsmodellek esetén: • Rendezett esetre hullámegyenlet jellegű megoldást, • Gyenge rendezetlenség mellett diffúziós egyenleteket, • Erős rendezetlenségre pedig elliptikus PDE-t jósolnak.

5. Kísérlet: lokálisan erő alkalmazása után a rendszer válaszának vizsgálata. • Először 2D-s rendszerekkel foglalkozunk: • Mono-diszperz korongok rendezett, háromszög rácsba rendezve • Bi-diszperz korongokból álló minta, a rendezetlenség különböző fokaival. • Derékszögű rácsba rendezett korongok különböző súrlódási eh.kal. • Ötszög alakú szemcsék (teljesen rendezetlen eset) • Tetszőleges irányú alkalmazott erő hatása • Nyírás utáni válasz vizsgálata.

6. A kísérlet bemutatása Foto-elasztikus mérés: alapja: a szemcsék feszültség által indukált kettős törése lehetővé teszi 2D-ban a belső szerkezet vizsgálatát. Elrendezés: • Két függőleges plexilap közé pakolt szemcsék • A függőlegestől ~2°-kal eltérő lapra helyezett szemcsék. polarizátorok közé tesszük, majd átvilágítjuk és egy 640480-as felbontású digitális kamerával lefotózzuk.

7. A nyomás alatt álló szemcsén mérve a transzmissziós intenzitást képet kaphatunk a bennük levő erők (feszültségek) eloszlásáról. Az erő mérése:Az intenzitás az (x,y) pozícióban: ahol I0a beeső intenzitás, t a minta vastagsága, C optikai együttható,  a hullámhossz. F növelésével a fekete-fehér sávok sűrűsödnek, ennek alapján F merhető.

8. Az erő kalibrálása: Először G2 (i,j)-t határozzuk meg  (i,j) pozícióra, majd az N pixellel lefedett egy (v. több) szemcsére négyzet átlagot számolunk:

9. A fekete-fehér sávok sűrűsödésével nő <G2> is, ennek kihasználásával kalibrálunk: • Ismert erőket alkalmazva mérjük <G2>-et. • Egységes súlyokat alkalmazva mérünk.

10. Az eljárás: • Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkül feltérképezzük a szemcsék helyét. • Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér. • Kép: polarizátorok + terhelés • Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvétel esetleges szemcse elmozdulás meghatározása. A 3.Kép - 2.Kép = a lok. perturbáció okozta feszültség változás. ~G2

11. Statisztikus megközelítés: • megvalósítás különböző képet eredményez még rendezett szerkezetű minta esetén is. (súrlódások és kontaktusok a preparáció mikroszkopikus részleteiben rejlik). Számos, azonos körülmények közt végzett kísérlet átlagos viselkedés legyen az (x,y) pozícióban a feszültség, az n-dik megvalósítás esetén. Átlagolás: • átlagolása  n-re. • Durva-szemcsés átlagolás.

12. Az egyes megvalósítások közti fluktuációt jellemzi. Var = rms2 (x,y). Hasonló jelleg összefüggés keresése:  (i,j)-re. • átlagos válasz • rms(x,y)

13. Kísérleti eredmények: • 4-féle elrendezés, az erők terjedését befolyásoló tényezőknek megfelelően: • Rendezetlen szerkezetű minta • Derékszögű pakolás (rendezett) és a súrlódás szerepe • Nem merőleges irányú erők hatása • Nyírt rendszer válasza

14. Rendezetlenség szerepe: ~ bidiszprez rendszer válasza Geometriai rendezetlenség Random kontaktus erők () A rendezetlenség (poli-diszperzitás) mértékének kontrolált változtatása: w(a) : az a korong –átmérő eloszlása. Bevezetjük az A mennyiséget : ,ahol az m-dik momentum: A =1 felel meg a teljesen rendezett, monodiszperz rendszernek A =1 től való eltérés ~ a rendezetlenség mértéke

15. Bidiszperz rendszert vizsgálunk: a1 és a2 átmérőjű szemcsékből rendre N1 és N2 db van. Ekkor R=a1/a2 ni=Ni/N , (i=1,2) N= N1 + N2 ,ahol Másik út a rendezetlenség jellemzéséhez: A szemcse-szemcse auto-korrelációs fv. kiszámolása: A: a rsz. Területe rij a távolság i és j rész között Különböző szemcsék közt: ,és i, j 1-től N1 ill. N2-ig fut

16. Hexagonálisan pakolt mono- diszperz korongok auto-korrelációs fv.-e. (b), (c) és (d): auto-korrelációs fv. A=0,993, A=0,988 és A=0,965 esetén.Az auto korrelációs fv. itt gyorsan lecsökken a háttér 1 értékére.

17. rendezetlenség -re emlékeztető jelleg. Bi-diszperz rendszerek lokális gerjesztésre adott válaszai. A1 rendezett rendszer ~ két csúcs jellegű válasz, rendezetlenség növelésével a 2 csúcs összeolvad.

18. Derékszögben pakolt korongok vizsgálata különböző  mellett. Ez a pakolási módszer csökkenti a kontakt erők véletlen jellegét. (kontaktus szerepet játszik a stabilitásban. A kontaktus háló jól definiált, a kontaktus erő sehol sem 0.) • meghatározása: 2 korongot összeragasztva ( gördülés) lecsúsztatunk egy az ugyanebből az anyagból készült lejtőn. 1=0,94 ; korongok bevonása teflon szalaggal 2=0,48.

19. Különböző súrlódás mellett adott válasz. Nagyobb súrlódásnál a válasz fv. viszonylag hamarabb kiszélesedik.

20. Tetszőleges irányú erők hatására adott válasz: • Kétféle elrendezés: (50g terhelés) • -ekből álló rendezetlen rendszer ( = 90°, 60°, 45° és 30°) • Hexagonális rácsba rendezett korongok ( = 90°, 75°, 60°, 45°, 30° és 15°) Normális irányú erő esetére belátható, hogy a teljesen rendetlen rsz. úgy viselkedik, mint az elasztikus anyagok. Elasztikus anyagra alkalmazva a  irányú erőt, a feszültség-tenzor elemei: Koordináta transzformáció z-tengely F irányába esik, ezzel pl.

24. A következő kísérletben mono-diszperz korongok háromszög rácsára alkalmazunk  irányú erőt. • = 90°-ra az ismert válasz, hogy az erők a 2 rácsvektor irányában terjednek. (a) • = 70°-nál a jobb – bal szimmetria megtörik, de még mindig a rácsvektorok irányában terjednek az erők. (b) • = 60° , az erő az egyik rácsvektor irányába mutat. (c)

25. = 45°, 30° és 15° esetekben • az egyik irány a kitűntetett rácsvektor iránya, • a másik pedig ~ 62,5° pozitív irányban a függőleges tengelyhez képest • ~ az a másod-szomszéd rácsvektor, amelynek iránya közelebb esik az alkalmazott erő irányához.

26. Nyírt rendszer vizsgálata: • -alakú szemcsék, • (a függőlegessel bezárt)  szögű nyírások. • Felületre merőleges erő alkalmazása. : az a szög, amelynek irányában a rendszernek a legtöbb kontaktusa van. (): eo. • Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkül feltérképezzük a szemcsék helyét. • Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér. • Kép: polarizátorok + terhelés • Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvétel esetleges szemcse elmozdulás.

27. () összehasonlítása nyírás előtti és nyírás utáni esetben Kvantitatív kép a nyírás köszönhető geometriai érintkezési struktúra megváltozásáról. (adatok  szemcsére és 50 mérésre vannak átlagolva) A szerkezetbeli változás nem olyan szembetűnő, mint az az erő-csatornákban. Megfigyelés: erő-csatornák 45°-os szögben szeretnek állni.

28. Magyarázat:  ~ 5°-os nyírás kifejezhető, mint egy /2 szögű forgatás és egy összenyomás 45°-os irány mentén, valamint széthúzás az erre merőleges irányban. Az összenyomás irányában megnőnek a kontaktus erők, és ez erős aszimmetriához vezet a feszültség hálóban. Az erő korreláció a kitűntetett irányban hosszú távúak, és a korrelációs függvények hatványfüggvény jellegűek, -0,81 –es exponenssel.

29. 3D-s kísérlet: Dobozba zárt szemcsés anyag esetén a lokális terhelés hatására a doboz alján kialakuló feszültség eloszlását vizsgálták. Elrendezés: A homok vékony (~ 100 m) fémes membránra kerül, ennek deformálódását mérték. A P dugattyú ált. kifejtett terhelés M=5g-nak felel meg, A=1cm2 területen. Mérés 2 különböző méretű és alakú homok keverékén: d1~1mm, d2~300 m. A lock-in erősítővel (x=0-ban) mért válasz amplitúdót ábrázoljuk ezután az alkalmazott erő-moduláció amplitúdójának (F) fv-ében. Mozgatva az erőt kifejtő dugattyút, zz(x) feltérképezhető a doboz alján.

30. A válasz erő irányú, centrális jelleget mutat. (mint bi-diszperz 2Dben.) A w fél érték szélesség lineárisan nő a mélység függvényében, és a meredekség anyag független Összevetve az egyetlen rendelkezésre álló elméleti eredménnyel: (3D fél-végtelen.)

31. Kísérlet összefoglalása: Rendezett rendszer: rács-szimmetria megjelenése a válaszban. Rendezetlen rendszer: kontínuum jelleg ~ elasztikus anyagokhoz hasonló viselkedés. F F rács F rács F + -ek ? Kis skála ~ szemcse mérete.Hiperbolikus fv.ek Nagy skála ~ kontínuum leírás Súrlódás rendezetlen jelleg

32. Numerikus eredmények: • 2D-s szimuláció különböző rácstípusokra (háromszög és derékszögű) • Mono-diszperz és • Poli-diszperz korongokkal. • A kísérlet menete: • Kontaktusok nélküli kiinduló konfiguráció létrehozása • Relaxáció gravitációs térben • Merőleges irányú terhelés alkalmazása • Újabb relaxáció

33. Mono-diszperz korongok háromszög rácsba rendezve: A külső erő növelésével átmenet történik az 1 csúccsal jellemzett profilból a 2 csúcsosba. Az átmenethez tartozó erő növekszik  növelésével. Az alk. külső erő (Fext) alatt (x=0) mért válasz Fext fv-ében. Kis Fext mellett lineáris válasz. Lineáristól való eltérés oka a külső erő miatti csúszás, ill. a kontaktusok csökkenése.

34. Kis külső erő mellett a kontaktus háló változatlan, a válasz elasztikus jellegű. Növelve Fext-t horizontális kontaktusok szűnnek meg csepp alakban. A csepp mérete Fext –el arányosa nő, és -vel arányosan csökken.  = 0 esetben a csepp alakú tartomány erősen anizotrop. Ha a csepp nem éri el az aljátnyomáseloszlás 1 csúcsú. Ha eléri (Fext elég nagy) két csúcs látható a válaszban.

35.   0 esetben effektív kapcsolat marad a csepp belsejében is.A rendszer sokkal izotropabbnak látszik, mint =0-nál. Elég kis  -re a rendszerben csúszások léphetnek fel két csúcsú válasz jelenik meg. Ha  nagy, a nyomáseloszlást alsó lapon 1 csúcs fogja jellemezni.

36. Felhasznált irodalom: G. Reydellet & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 86 No. 15. (2001) G. Reydellet, L. Vanel & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 87 No. 3 (2001) J. Geng, G. Reydellet, E. Clément & R.P. Behringer: Physica D, 182 274-303 (2003) C. Goldenberg & I. Goldhirsch: Nature, Vol. 435 (2005) Köszönöm a figyelmet!