1 / 16

Bentuk Kuadrat dan Distribusinya

Bentuk Kuadrat dan Distribusinya. Definisi 2.1. Sebuah matrik A berordo k x k dan merupakan sebuah vektor kolom dari variabel riil dengan ukuran k x 1 , maka q=y ΄ Ay disebut bentuk kuadrat dalam y dan A disebut matrik dari bentuk kuadrat.

Download Presentation

Bentuk Kuadrat dan Distribusinya

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Bentuk Kuadrat dan Distribusinya Definisi 2.1. Sebuahmatrik A berordo k x k dan merupakansebuahvektorkolomdarivariabelriildenganukuran k x 1 , maka q=y΄Ay disebutbentukkuadratdalam y dan A disebutmatrikdaribentukkuadrat.

  2. y adalahvektorkolom k x 1, maka y΄adalahvektorbaris 1 x k. Sehingga q=y΄Ay adalahmatrik 1 x 1 dimanaelemennyaadalahfungsidarivariabel-variabel y1, y2, … , yk. • Jika y1, y2, … , ykmerupakannilainumerikmaka q adalahsuatuskalar. • q merupakanfungsidalambentukmatrik, jikadinyatakandalambentukjumlahkuadratdanbentukperkaliandari y, makabentuknyaadalah

  3. Definisi 2.2. Bentuk kuadrat y΄Ay disebut positive definite jika y΄Ay>0 untuk semua y≠0, disebut positive semidefinite jika y΄Ay≥0 untuk beberapa y≠0. Theorema 2.1. Matrik simetris A adalah positive definite jika dan hanya jika semua nilai akar cirinya positif. Theorema 2.2. Matrik simetris A adalah positive semidefinite jika dan hanya jika semua akar cirinya tidak negatif dan minimal satu akar ciri sama dengan nol.

  4. Theorema 2.3. Misalkan A adalah matriks positive definite yang dinyatakan dalam bentuk pastisi sebagai berikut: dimana A11 dan A22 adalah matrik bujur sangkar. Mis juga B=A-1 dimana Dan dimensi dari B11 dan B22 sama dengan dimensi dari A11 dan A22. Maka

  5. Turunan dari Bentuk Kuadrat • Suatuskalar z dapatdinyatakansebagaifungsidari k variabel y1, y2, … , yk : z=f(y1, y2, … , yk)=f(y) • Kita dapattentukan k turunanparsialdarifungsi di atas, denganditurunkanterhadapsetiapvariabel y.

  6. Contoh: dan Diketahui bentuk kuadrat z=y΄Ay, dalam bentuk fungsi sebagai berikut:

  7. Turunan parsialnya adalah: sehingga:

  8. Definisi 2.3. [Ekpektasi dari vektor random] Vektor dari random variabel E[yi]=μi, i = 1, 2, …, k , maka

  9. Rules of Expectation • Jika a sebuahvektorbilanganriil, maka E[a]=a • Jika a sebuahvektorskalar k x 1 dan y random vektor k x 1 denganekpektasiμ, maka E[a΄y]=a΄E[y]= a΄μ • Jika A matrik n x k dan y vektor random k x 1 denganekpektasiμ, maka E[Ay]=AE[y]=Aμ

  10. Varians dari vektor random Varians dari variabel random individual Y adalah nilai harapan dari variabilitas pengukuran dari Y disekitar rata-ratanya μ. Pada dua variabel Yi dan Yj dengan rata-ratanya adalah μi dan μj, covariansnya adalah cov[Yi,Yj]=E[(Yi- μi)(Yj- μj)].

  11. Definisi 2.4 Misal: adalahvektor random denganvar Yi=σij=σi2, i= 1, 2, …, k cov(Yi, Yj)= σij, i≠j; dan E[Y]=μ,. Variansdari Y, dinotasikandenganvar Y atau V, adalahmatrik k x k : Var Y = V = E[(Y-μ)(Y-μ)΄]

  12. Rules of Variance • Jika Y sebuahvektorrandom denganVar Y = V. Dan Z= a΄Y dengan a vektorbilanganriil, makaVara΄Y = a΄Va • Jika Y sebuahvektorrandom Var Y = V, A matrik k x k, dan Z = AY makaVar Z = AVA΄

  13. Misal adalah vektor random dengan var yi = σ2, i=1,2,3. Asumsikan bhw y1 , y2 , y3 independen dan berdampak σ12 = σ13 = σ23 = 0. Matriks variance-covariance dari y adalah: Asumsikan bhw X adalah matrik rank penuh berukuran n x k, sehigga X´X mrpk matrik nonsingular.

  14. Jika diketahui z = (X´X )-1 X´y Berdasarkan aturan 2 dengan A = (X´X )-1 X´, diperoleh var z = AVA´= (X´X )-1 X´ σ2I [(X´X )-1 X´]´ = (X´X )-1 X´ (X´)´[(X´X)-1]´ σ2 = (X´X )-1 X´X [(X´X)´] -1 σ2 = (X´X )-1σ2

  15. Theorema Mis y adalah vektor random k x 1 dengan E[y]=μ dan var y = V. Dan A adalah matrik bilangan riil berukuran k x k. Maka E[y´Ay]=tr(AV)+ μ ´Aμ Bukti: Untuk i≠j σij=E[yi, yj]- μiμj Untuk i=j σij= σii =E[yi2]- μi2

More Related