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Lógica de Predicados

Lógica de Predicados. Implementação de Resolução. Em Lógica de 1ª. Ordem. Resolução não é uma simples extensão da Resolução da Lógica Proposicional O processo é mais longo e cuidadoso: Transformar a(s) fórmula(s) para a forma normal conjuntiva Skolemizá-la(s)

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Lógica de Predicados

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Presentation Transcript

  1. Lógica de Predicados Implementação de Resolução

  2. Em Lógica de 1ª. Ordem • Resolução não é uma simples extensão da Resolução da Lógica Proposicional • O processo é mais longo e cuidadoso: • Transformar a(s) fórmula(s) para a forma normal conjuntiva • Skolemizá-la(s) • Transformá-las para a forma clausal • Unificá-las durante a resolução • Por outro lado, ao usar a unificação, a resolução torna-se competitiva em relação ao DPLL otimizado (Chaff)!

  3. Algoritmos para gerar CNF (repetidamente) • 1 -Leis de eliminação • P  Q = (P  Q)^(Q  P) • PQ = (PvQ) • 2 -Leis da negação • (H)  H • ((z)(H)) = ((x)H),((z)(H)) = ((x)H) • 2 -Leis de De Morgan • (PvQ) =P ^Q, (P^Q) =P v Q • 3 – Renomeação de variáveis • 4 – Distributiva: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH)

  4. Exemplo 1 de Skolemização • (x)arma(x) • Então posso transformar isso em arma(M1) • Desde que M1 ainda não exista na prova ou na base de conhecimento!

  5. Exemplo 2 de Skolemização • (x)(y)prof(y,x) • todo aluno tem ao menos um professor • Se trocarmos para (x)(Fred,x) • Fred é professor de todos os alunos do CIn  • Não é uma interpretação correta do predicado  • Porque acontece isso??

  6. Função de Skolem • Porque Fred existe no domínio • A idéia é que b seja “um professor genérico” de x (sem ser uma variável ) • y=f(x), pois y depende de x • Trocamos (x)(y)r(y,x) para (x)r(f(x),x) • (z)(x)(y)p(z,y,x) vira (z)(x)p(z,g(z,x),x)

  7. Resolução eficiente • Idealmente todas as expansões possíveis devem ser efetuadas • Mas isso é caro computacionalmente! • Então organizemos os passos destas expansões num algoritmo e escolhamos melhor as expansões • Devemos evitar gerar o que já existe, para torná-lo eficiente • Tentar ir o mais rápido possível para {}

  8. {[P],[P,Q],[Q, R],[R]} [P] [P,Q] [Q, R] [R] [Q] 1,2 [P, R] 2,3 [Q] 3,4 [R] 3,5 [R] 1,6 [P] 4,6 [P] 2,7 {} 5,7 {[P],[P,Q],[Q, R],[R]} [P] [P,Q] [Q, R] [R] [Q] 1,2 [Q] 3,4 {} 5,6 Exemplo

  9. Rastro da resolução [P] [P,Q] [Q, R] [R] [Q] [P, R] [Q] [R] [R] {} [P] [P]

  10. Usos da resolução - decisões • Exemplo • genitor(X,Y) :- pai(X,Y). •  • pai(adam,bill). • pai(bill,carl). • Para provar que adam é genitor de bill • {[genitor(X,Y),pai(X,Y)],[pai(adam,bill)], [pai(bill,carl)], [genitor(adam,bill)]}

  11. Usos da resolução - decisões • [genitor(X,Y),pai(X,Y)] • [pai(adam,bill)] • [pai(bill,carl)] • [genitor(adam,bill)] • [genitor(adam,bill)] 1,2 • [genitor(bill,carl)] 1,3 • [pai(adam,bill)] 1,4 • {} 4,5 • {} 2,7

  12. Usos da resolução - perguntas • Ou Consultas • Quem é o genitor de Bill?? • genitor(X,bill). X??? • Incluir a seguinte cláusula na Base [genitor(X,bill), Resp(X)] • Por quê???

  13. Usos da resolução - consultas • [genitor(X,Y),pai(X,Y)] • [pai(adam,bill)] • [pai(bill,carl)] • [genitor(X,bill),Resp(X)] • [genitor(adam,bill)] 1,2 • [genitor(bill,carl)] 1,3 • [pai(X,bill),Resp(X)] 1,4 • [Resp(adam)] 4,5 • [Resp(adam)] 2,7 Pára quando achamos a(s) resposta(s)!

  14. Sobre consultas • Pode resultar em mais de uma resposta • Se eu disser que • mae(anne,bill) e pai (adam,bill) • E perguntar “quem é genitor de bill?”

  15. Usos da resolução - decisões • [genitor(X,Y),pai(X,Y)] • [genitor(X,Y),mae(X,Y)] • [pai(adam,bill)] • [mae(anne,bill)] • [genitor(X,bill),Resp(X)] • [genitor(adam,bill)] 1,3 • [genitor(anne,bill)] 2,4 • [pai(X,bill),Resp(X)] 1,5 • [mae(X,bill),Resp(X)] 2,5 • [Resp(adam)] 3,8 • [Resp(anne)] 4,9

  16. Consultas – informação incompleta • Se eu disser que adam ou tom é pai de bill e perguntar quem é pai de bill, o que acontecerá??? • A resposta é adam ou tom: • [pai(adam,bill), pai(tom,bill)] • [pai(X,bill),Resp(X)] • [pai(tom,bill),Resp(adam)] 1,2 • [Resp(adam),Resp(tom)] 2,3

  17. Importância da igualdade • É importante dotar nossa linguagem de igualdade • Equals(a,b) ou a=b • Se concluirmos P(a), então tb concluímos P(b) • Q(a,b) pode ser resolvida com ¬Q(b,a) • ...

  18. Propriedades da igualdade • Reflexividade: (x) x=x • Simetria: (x,y) x=y  y=x • Transitividade: (x,y,z)(x=y)^(y=z)(x=z) • Mesmo assim, ainda não podemos provar que P(b) a partir de P(a)... • Só se pudermos substituir termos iguais • Porém, custo caro computacionalmente

  19. Tratamento da igualdade • Paramodulação:regra de inferência a ser usada junto com a regra de resolução • Se temos as cláusulas • m1 = [Px(t)] U m’1, onde t é um termo • M2 = (a=b) U m’2 • O é um unificador entre t e a • Então o paramodulante binário é • PM=PxO(bO) U m’1O U m’2O

  20. Exemplo de paramodulação • ¬P(x) v Q(h(x)) • Px(t)= Q(h(x)), t=h(x) e m’1=¬P(x) • ¬R(y) v (h(y) = g(y,f(y)) • a = h(y), b=g(y(,f(y)) e m’2= ¬R(y) • t e a (h(x) e h(y)) têm um unificador • O = {xy} • PM=PO(bO) U m’1O U m’2O • PM= Q(g(y,f(y))) v ¬P(y) v ¬R(y)

  21. Resolução eficiente na prática • Escolher bem os resolventes a cada passo (refinamentos) • Diminuir o espaço de busca (simplificação) • Todas as estratégias para melhorar o desempenho da resolução passam por atacar estes problemas

  22. Estratégias de refinamento • Estratégia Unitária • Privilegiarcláusulas com um só literal • Como pegamos cláusulas pequenas, há garantia de chegarmos rápido a {} • Porém, não é completa para qualquer conjunto de cláusulas • Mas é completa para cláusulas de Horn • A1 ^...An  A

  23. Estratégias de refinamento • Resolução Linear • Construir uma linha, ao invés de uma árvore de expansões • Usar sempre a cláusula gerada por último • Se pensarmos neste problema como uma busca para um caminho que contém a solução, que tipo de busca é essa??

  24. Problema de Prova • Law: it is crime for an American to sell weapons to hostile nations. Country Nono, an enemy of USA, has some missiles, sold by American Cel. West. • Como fazer um sistema provar que West é criminoso??

  25. Sentenças especificadas em lógica de 1a. ordem • Lei: x,y,z American(x)^Weapon(y)^Nation(z)^Hostile(z)^ Sells(x,y,z)=> Criminal(x) • Inimigo é hostil:x Enemy(x,America) => Hostile(x) • Mísseis são armas: x Missile(x) => Weapon(x) • Nono e USA são países inimigos • Country(Nono), Country(America), Enemy(Nono,America) • West é americano: American(West) • Nono tem mísseis... $x Owns(Nono,x)^Missile(x) • ...vendidos por West • x Owns(Nono,x)^Missile(x) =>Sells(West, Nono,x)

  26. Prova

  27. Solução para “Cap. West”

  28. Solução por resolução linear

  29. E este exemplo por linear? • {[P,Q],[P,Q],[P,Q],[P,Q]} • Claramente insatisfatível!! • Porém IMPOSSÍVEL por linear (e tb por unitária) !! • Qual a vantagem das cláusulas de Horn para casos como este??

  30. Porque é bom usar cláusulas de Horn para realizar a resolução??

  31. Resolução e Cláusulas de Horn • É que sempre que aparece um negado (o conseqüente), se ele existir em outra cláusula, ele não estará negado! • A1 ^...An  A é {[A1],...[An],[A]} • Então se existir prova, será fácil encontrá-la • Correto e completo e barato, se existir prova • É fácil

  32. SAT, Horn-SAT e conversões • Using a linear algorithm for unit propagation, the algorithm is linear in the size of the formula. • It is logical to wonder if Horn-SAT can be used to prove that P=NP, by converting any SAT problem to a Horn-SAT problem and then solving it in polynomial time. • Problems: • Transforming a SAT problem to a Horn-SAT problem takes exponential time. • The resultant transformation is exponential in length.

  33. Estratégias de Simplificação • Eliminação de literais puros • Um literal é puro se não existe no conjunto de prova a sua negação • Ex: {[P],[Q],[P,L],[L,Q],[P,Q,R], ,[R]} • L é puro, pois nunca será eliminado por resolução • Então é melhor retirar as cláusulas que o contém do processo de busca da {} • Se é para chegar a {}, podemos partir de {[P],[Q],[P,Q,R], ,[R]}

  34. Estratégias de Simplificação • Descarte por englobamento (ou subsunção) • Uma cláusula C1 engloba outra C2 sse existir uma substituição O, tal que C1O  C2 • Se descartamos C2, não estamos perdendo a insatisfatibilidade do conjunto, apenas apressando a chegada de {} • Ex1: P(x)  P(y) v Q(z) • Ex2: A v B v C, A v C, B v C • Resolvendo as 2 últimas, temos AvB, que engloba a 1ª. • Então o conjunto resultante seria A v B, A v C, B v C • Ajuda a resolução unitária

  35. Exemplo em Prolog avo(X,Y) :- genitor(X,Z), genitor(Z,Y).  ^ genitor(X,Y) :- pai(X,Y). genitor(X,Y) :- mae(X,Y). pai(adam,bill). pai(bill,carl). mae(anne,bill). Quem é avó(ô) nessa história????

  36. ?- gen(X,Z),gen(Z,Y). X=anne X=adam ?- pai(X,Z),gen(Z,Y). ?- mae(X,Z),gen(Z,Y). ?- pai(bill,Y). ?- gen(bill,Y). ?- gen(carl,Y). ?- pai(carl,Y). ?- m(carl,Y). ?- pai(bill,Y). ?- mae(bill,Y). ?- pai(bill,Y). ?- m(bill,Y). ?- fail. ?- fail. ?- true. Y=carl ?- fail. ?- true. Y=carl ?- fail. Árvore SLD ?- avo(X,Y).

  37. Negação por falha em Prolog • Prolog tem várias extensões (ex:LIFE, CHR,...), com diferentes melhorias • Prolog tem comandos built-in para controlar a busca na árvore • Ex: evitar insistir em determinados ramos • Operador de negação por falha em premissas: • not p(X) verificado sse p(X) falha • Isso é MUITO DIFERENTE de p(X) SER FALSO, mas quebra o galho muitas vezes

  38. Conclusões

  39. Paradigma de programação • A ”função” membro, implementada como relação: • member(X,[X|Xs]). • member(X,[Y|Ys]) :- member(X,Ys). • Vão-se gerando sentenças novas que precisam ser provadas • até que uma é provada! • Pode entrar em loop, por falta do occur-check

  40. Implementando resolução • Prover boas estruturas de dados • Indexação e hashtables • Boas ligações de pesquisa com BDs • BDs inteligentes ou dedutivos • Estamos sempre recuperando literais para tentar prová-los • Bons algoritmos de unificação • O problema reduz a busca em árvore • Obj: Reduzir o backtracking • Ex: Residente(p,Itu)^Ocupacao(p,Presidente)

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