Hubungan Gugus

1. HubunganGugus

2. Gugusganda Gugusganda (Cartesius) diartikan sebagai dua buah unsur yang disusun secara dua-dua atau disebut ganda-dua. Penyusunan ini terjadi adanya keinginan untuk melihat sesuatu dari perolehan berupa prestasi. • Matematika diperoleh dari : • nilai ujian : 1 s/d 4 • nilai tugas-rumah : 1 s/d 3 • Susunan ganda-duanya sebanyak 12 pasang : • {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

3. Susunanganda-duanyasecaraumumberupa (x,y) dimana y dan x seletak. Sehinggatitik-titikbilangandalamsatugarisadalahjugatitik-titikbilanganpadagarisbilangannyata. Susunansecaraumumganda-duanyaberupa (x,y) dimanakedudukan y dan x bebasseletak. X = {xi | xi Є N} dan Y = {yi | yi Є N}, dimanai = 1, 2, 3, akantergambardalamsuatugrafiksistemkoordinat(x,y).

4. SifatHubungan Sekatan Gugusganda Dua Nilai ujian : x1=1 (tidak pandai), x2 = 2 (sedang), x3 = 3 (pandai), x4 = 4 (pandai sekali) Nilai tugas : y1=1 (malas), y2 = 2 (seadanya), y3 = 3 (rajin) Dengan sistem koordinat diperoleh 12 unsur dari XxY. Jika dikelompokan menjadi 4 anakgugus yang terputus terhadap sesamanya; Hubungan yang demikian disebut sekatan suatu hubungan (XxY).

5. Keempat hubungan di atas : H1 : tidak pandai-sedang karena malas belajar-seadanya H2 : tidak pandai-sedang tapi rajin belajar H3 : pandai tapi malas belajar-seadanya H4 : pandai dan rajin belajar H2 H4 Jika x Є X dan y Є Y, maka hubungan dua gugus tersebut dinotasikan sebagai xHy atau notasi gugusnya sebagai : H = {(x,y); (x,y) Є (XxY), h(x,y)} H3 H1

6. Hubungan Penataan Tertata Lengkap Persyaratannya : (a) Tiappasangan x dan y dapatdibedakan x = Perdanadan y = Dewiadalahsaudarasekandung; PerdanalebihtuadariDewi. Bentuk hubungan ini dinyatakan : xHy ≠ yHx (b) bersifatmenghantar x = Perdanaanaksulung, y = Dewianaktengahdan z = Trisnoanakbungsudarisaudarasekandung. xHy ≈ Perdana kakak Dewi yHz ≈ Dewi kakak Trisno xHz ≈ Perdana kakak Trisno

7. Tertata Taklengkap Persyaratannya : (a) bersifattolak-setangkupuntuksembarangunsur x Є X dan y Є Y x = Tiara sekelasdengan y = Dody; berarti pula y = Dodysekelasdengan x = Tiara. xHy ≈ Tiara sekelas dengan Dody yHx ≈ Dody sekelas dengan Tiara (b) bersifatmenghantar. x = Tiara, y = Dodydan z = Sarah sekelas. xHy ≈ Tiara sekelas dengan Dody yHz ≈ Dody sekelas dengan Sarah xHz ≈ Tiara sekelas dengan Sarah

8. Hubungan Kesetaraan Persyaratannya : a. bersifatmemantulataureflektif : xHx x Є X (x,x) Є H b. bersifatsetangkupatausimetrik : (x,y) Є H (y,x) Є H c. bersifatmenghantaratautransitif : (x,y) Є H dan (y,z) Є H (x,z) Є H Contoh : y + x ≤ 4, berarti y ≤ 4 -x untuk x = :

9. Perhatikanuntuk x ≥ 5, y tidakada; disinimaksudnyanilai y = -1 dan -2 tidakdimilikigugus Q (nilaikembarkartu domino). Jadi H = {(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)} Dh = {1,2,3,4} Wh = {3,2,1,0}

10. Pemetaan Hubungan & Fungsi HubunganFungsi HubunganBiasa

11. Dari ilustrasi hubungan dua gugus di atas diperoleh empat macam pemetaan, bila pemetaannya dibatasi sebagai berikut : a. pemetaan di atas X ke atas Y; dinotasikan Df = X dan Wf = Y b. pemetaan di atas X ke dalam Y; dinotasikan Df = X dan Wf Y c. pemetaan di dalam X ke atas Y; dinotasikan Df X dan Wf = Y d. pemetaan di dalam X ke dalam Y; dinotasikan Df X dan Wf Y • Bilapemetaannyadisepakatidari X ke Y, maka : • pemetaandari X keatas Y, untukWf = Y • pemetaandari X kedalam Y, untukWf Y Suatupemetaankeatas Ydinyatakanbersifatsurjektif. Pemetaanbersifatinjektif, bilabayangandari xiyaituyi = f(xi) tidakmerupakanbayangantitikxj yang lain. Berarti f(xi) = f(xj), maka xi = xj. Pemetaanbersifatinjektifdanjugasurjektif, makapemetaantersebutdinyatakanbersifatbijektif. Pemetaan 1-1adalahpemetaanbersifatbijektifataupemetaansebandingdari X keatas Y atau “pemetaan 1-1”,karena setiapunsurxЄDfberpadanantepatsatuunsuryЄWf.

12. Pemetaan f dan f-1 pemetaan1-1 pemetaan hub. Fungsi & biasa

13. PemetaanMajemuk pemetaan X ke Y ke Z pemetaan X keZ PemetaanIdentitas pemetaan X ke Y ke X pemetaanY keX ke Y