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Des treillis, des règles et des bases Karell Bertet Laboratoire L3I Université de La Rochelle Treillis Nancéens 1er Déc

Des treillis, des règles et des bases Karell Bertet Laboratoire L3I Université de La Rochelle Treillis Nancéens 1er Décembre 2008. Plan. Plusieurs définitions: Définition algébrique Treillis des fermés Treillis de Galois Règles et bases Définitions Aspects algorithmiques Conclusion.

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Des treillis, des règles et des bases Karell Bertet Laboratoire L3I Université de La Rochelle Treillis Nancéens 1er Déc

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  1. Des treillis, des règles et des bases Karell Bertet Laboratoire L3I Université de La Rochelle Treillis Nancéens 1er Décembre 2008 N° 1 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet

  2. N° 2 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Plan • Plusieurs définitions: • Définition algébrique • Treillis des fermés • Treillis de Galois • Règles et bases • Définitions • Aspects algorithmiques • Conclusion

  3. N° 3 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet minorants de c minorants de e f Borne inférieure c e a Borne supérieure majorants de c majorants de e Treillis algébrique [Bir 40] • Un treillis (X,) est un ensemble X muni : • D'une relation d'ordre  : relation binaire transitive, réflexive et antisymétrique • D'une borne supérieure et d'une borne inférieure pour chaque paire d'éléments de l'ensemble :

  4. N° 4 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Borne inférieure b l Borne supérieure Définition algébrique e • Diagramme de Hasse: • Réduction transitive de (suppression des arcs de transitivité) • Réduction réflexivede  (suppression des boucles) f d b a g c i h n o j m l k

  5. N° 5 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Table d’un treillis • A tout treillis on associe sa table: • Les colonnes sont les sup-irréductibles du treillis (ensemble J) Caractérisation: existence d’un unique prédécesseur j- dans le diagramme de Hasse pour tout j  J • Les lignes sont les inf-irréductibles du treillis (ensemble M) Caractérisation: existence d’un unique successeur m+ dans le diagramme de Hasse pour tout m  M • Pour chaque paire (j,m)  JxM, on définit: • T[j,m] = x si j  m • T[j,m] =  si j  m+ • T[j,m] =  si j- m • T[j,m] =  si et j  m+ et j- m • T[j,m] = o sinon Relations flèches

  6. N° 6 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Table d’un treillis • Propriétés: • La table est unique et réduite (propriétés de réduction sur les lignes et les colonnes) • Tout treillis est isomorphe au treillis de Galois de sa table réduite • Il existe une bijection entre treillis et table réduite • De nombreuses classes de treillis se caractérisent par leur table réduite (relations flèches) • Possibles retombées algorithmiques intéressantes

  7. N° 7 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Ø f d b af df c bd be adf acf bdf bce bde abcdef Treillis des fermés [CasMon 03] • Le treillis des fermés sur un ensemble S est défini par: • Une famille F de fermés sur S Fermé: “parties de S stables par intersection et contenant S” • Munie de la relation d'inclusion entre les fermés • Exemple:F={,f, c, d, b, af, db,..., abcdef} parties de S: F famille de fermés sur S={a,b,c,d,e,f} stables par intersection : acf F et adf F af F et contenant S: S F • (a)=af • (ab)=abcde • ()= • .......

  8. N° 8 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Treillis des fermés [CasMon 03] Propriétés: • (F,)posséde la propriété de treillis • A tout treillis (X, ) on peut associer un treillis des fermés sur les sup-irréductibles qui lui est isomorphe Système de fermeture: • Tout treillis des fermés forme un système de fermeture • Il est possible de lui associer un opérateur de fermeture défini sur P(S) par: (X) = le plus petit fermé de la famille F contenant X

  9. N° 9 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ø a b c d e f 1 2 3 4 56 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 10 6 7 8 9 10 f d b 3 4 5 6 7 8 1 2 9 6 7 8 10 9 10 1 2 3 4 5 a f d f c b d b e 9 1 2 10 3 4 5 6 7 8 b c e b d e a c f a d f b d f Ø a b c d e f Treillis de Galois / Treillis des concepts [Will99] • Le Treillis de Galoisou Treillis des conceptsse définit à partir d'une table de données binaires

  10. N° 10 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Treillis de Galois / Treillis des concepts [Will99] • Les données binaires sont décrites par: • Un ensemble O d'objets • Un ensemble I d'attributs • Une connexion de Galois (f,g) entre objets et attributs: • f associe aux objets leurs attributs • g associe aux attributs leurs objets • Propriété: • f o g est un opérateur de fermeture sur les attributs, • g o f est un opérateur de fermeture sur les objets

  11. N° 11 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Treillis de Galois / Treillis des concepts [Will99] • Le treillis de Galois des données (O,I,(f,g)) se définit par: • Un ensemble de concepts: un concept est une paire (A,B) avec: • A  O, B  A = f(B) et B = g(A) • Muni d'une relation d'extension/subsomption entre les concepts: • (A,B) (A’,B’)  A  A‘   B  B’ • Propriété: la relation sur l'ensemble des concepts est une relation d'ordre possédant la propriété de treillis

  12. N° 12 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ø 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 10 6 7 8 9 10 f d b 3 4 5 6 7 8 1 2 9 6 7 8 10 9 10 1 2 3 4 5 a f d f c b d b e 9 1 2 10 3 4 5 6 7 8 b c e b d e a c f a d f b d f Ø a b c d e f Treillis de Galois et treillis des fermés Treillis de Galois

  13. N° 13 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Treillis de Galois et treillis des fermés Treillis des fermés sur les objets 0 Treillis des fermés sur les attributs I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ø 12345678 678910 3 4 5 6 7 8 10 f d b 67810 345678 12345 af df c bd 129 be 9 10 adf acf bdf 345 12 678 bce bde 9 10 abcdef Ø

  14. N° 14 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Bijection treillis - table 1 n 1 1 bijection Données binaires (bimodales) Table réduite (contexte réduit) Bijection fondamentale Treillis  treillis des fermés treillis de Galois

  15. N° 15 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Un peu d’histoire [Mon 08] • Algèbre de Boole et treillis booléens: Définition d’un treillis booléen par application de l’algèbre booléennes aux ordre • 1847: George Boole, Algèbre de la logique • 1847-1913: De Morgan, Boole, Peirce, …. Scheffer • 1880: Peirce, On the Algebra of Logic • Treillis algébriques: • 1897-1900: Richard Dedekind, Introduction du « dualgruppe » • 1928-1936: Merge, Klein, Store, Birkhoff, Öre (« structure »),Von Neuman ….. • 1938: Sympsosium of lattice theory • 1938-1940: les deux premiers livres: Birkhoff (Lattice Theory, 1940) et Olivenko (Théorie générale des structures, 1938). • 1984-1970: Premières revues (Algebra universalis et Order) Terme lattice

  16. N° 16 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Différentes définitions pour différents usages • Définition algébrique: • Un ordre et deux opérateurs binaires, approche historique • Utilisation: résultats structurels de maths discrètes (bijection table réduite / treillis, classes de treillis, …) • Treillis des fermés • Corrélations entre les éléments d’un ensemble S • Utilisation: manipulation de règles entre attributs (règles d’association, bases, dépendances fonctionnelles …) • Treillis de Galois • Regroupements maximaux d’éléments sur deux ensembles O et A. • Utilisation: analyse de données de type objet x attributs (analyse formelle des concepts, analyse relationnelle des concepts, …)

  17. N° 17 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Plan • Plusieurs définitions: • Définition algébrique • Treillis des fermés • Treillis de Galois • Règles et bases • Définitions • Aspects algorithmiques • Conclusion

  18. N° 18 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet a b c d e f 1 2 3 4 56 7 8 9 10 Règles entre attributs • Les corrélations entre les attributs peuvent s'exprimer par des règles: • Règle d'implication ou règle exacte: e b: « tous les objets possédant l'attribut e possèdent également l'attribut b » (les objets 9 et 10 possèdent e donc b) • Règle d'association ou règle approximative: d f: « une majorité des objets possédant l'attribut d possèdent également l'attribut f » (les objets 3,4,5,6,7,8,10 possèdent d, seul l'objet 10 ne possède pas f)

  19. N° 19 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Règles d'association [Agrawal 94] • Motif (itemset): ensemble d'attibuts • Support du motif: proportion d'objets qui possèdent le motif par rapport à l'ensemble des objets • Motif fréquent: son support est supérieur à un seuil de fréquence • Règle d'association: deux motifs A B • Confiance d'une règle: support (A B)/support (A) • Règle valide: confiance supérieure à un seuil de confiance • Règle exacte: confiance de 1

  20. N° 20 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Règles d'implication [BarMon 70] • Un système implicatif (IS) est une relation binaire entre les parties d'un ensemble S:  P(S)  P(S) • Un système implicatif unaire (UIS) est une relation binaire entre les parties de S et S lui-même:  P(S)  S • Une règle implication est un couple d'un système implicatif (unaire) (B,x)  noté B  x Prémisse Conclusion

  21. N° 21 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Règles d’implication et treillis des fermés • Treillis des fermés d’un SI: • On dit que X  S vérifie une règle B  x si X  B  x  X • Un fermé (X) vérifie toutes les règles d'implication. • (F,  ) est un treillis des fermés avec F = {X  S tq X vérifie toutes les règles du SI } • A tout treillis (des fermés) on associe plusieurs SI • SI direct: une seule passe sur les règles suffit pour calculer un fermé • SI non direct: plusieurs passes sont nécessaires

  22. N° 22 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Règles d'implication et treillis des fermés Treillis des fermés sur les attributs I • SI direct: • cd = {af, eb, efa, cfa, • cdb, afc, abc, bfd, • efd, cde, bce, abe, cdf } • (a) = plus petit fermé contenant a • = application de la règle af • = {a,f} Ø f d b a f d f c b d b e a d f a c f b d f b c e b d e a b c d e f

  23. N° 23 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Bases de règles d'implication Ensemble des UIS purs, équivalents (i.e. représentant les mêmes données et le même treillis) ordonnés par inclusion des règles: Un unique UIS maximal, complet et exponentiel: f  UIS directs Un unique UIS minimal parmis les UIS directs [BerMon05]: la base canonique directecd  UIS non directs Plusieurs UIS minimaux Mais un unique UIS minimum [Duq85]: la base canoniquecan  ... 

  24. N° 24 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Liens structurels 1 n 1 1 bijection Données binaires (bimodales) Table(réduite) Base canonique (directe) Base informative (générique) Treillis (  treillis des fermés ou treillis de Galois) Règles d'implication Règles d'association

  25. N° 25 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Bases de règles d’implication • Base: ensemble minimal de règles à partir desquelles on peut retrouver toutes les règles possibles par un mécanisme d'inférence (axiomes d'Armstrong, ...) • Bases de règles d'implication: La base canonique[Duq85](ou Stem base, ou base de Duquenne-Guigues) can = { P  (P) \ P with P  S pseudo fermé } La base canonique directe

  26. N° 26 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Bases de règles d’implication La base canonique directe que l'on retrouve [BerMon05]: • sous différentes terminologies: dépendances fonctionnelles, base minimale à gauche [DemetHua91], base faible d'implications [TaouilBastide02], canonical iteration free basis [Wild94], base constrctive optimale [BerNeb04], ... • sous différentes formes: clauses de Horn, générateurs minimaux ... Génération: • à partir d’un SI équivalent par génération d’un SI direct intermédiaire qu’il s’agit ensuite de minimiser [Wild95][BerNeb03] • à partir de la table, pendant la génération du treillis (extension de l’algorithme de Bordat) [Ber06]

  27. N° 27 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Lien avec la logique • Fonction de Horn: formule propositionnelle sous forme normale disjonctive (FND) ou conjonctive (FNC) telle que: • les disjonctions de la FND admettent une seule variable complémentée • ou les conjonctions de la FNC admettent une seule variable non complémentée On parle d’implicants premiers • Bijection: Implicants premiers  Implications de la BCD ab'd  a'+b+d'  ad  b • Distinction entre: • implicants premiers à deux variables (2-SAT : pb polynomial) • à plus de 2 variables (SAT : pb NP-complet)

  28. N° 28 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Bases de règles d’association • Bases de règles d'association: plusieurs, parmis lesquelles: La base générique informative[Gas06:IGB] définie à partir des générateurs minimaux : gi = { G  (G) \ G règle valide, avec G générateur minimal } Génération d’un générateur minimal: • Génération des fermés, puis traitement (exponentiel) de chaque fermé [Floch03:Jen] (0 ou plusieurs générateurs minimaux par fermé) • Génération de la BCD: Les générateurs minimaux sont les prémisses de la base faible d'implications [TaouilBastide02] donc de la base canonique directe

  29. N° 29 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Algorithmes de génération Données binaires Table réduite • [Norris78][Bordat86] • [Gan84:NextCloure] • [Godin 91][Nourine99] ... • [Duq85: BC] • [Bertet.07:BCD] Base canonique (directe) Base informative (générique) Treillis de Galois (  treillis des fermés ou treillis de Galois) • [Godin94] • [Pas00:Close] • [Stum02:Titanic] • [Zaki02:Charm] • [Ham05:Prince] • [Floch03:Jen] • [Wild85] • [BertNeb03] • [Agra94:Apriori] Règles d'implication Règles d'association

  30. N° 30 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Algorithmes de génération • Risque algorithmique d'explosion combinatoire: • Nombre exponentiel de règles / concepts / fermés dans le pire des cas, .... mais polynimial en pratique • Génération polynomiale d'un concept / fermé. • Génération exponentielle d'une règle (problème ouvert) • Utilisation en fouille de données et classification: • du treillis de Galois (ou treillis des fermés) • des règles d'association (ou bases génériques) Intérêt algorithmiques croissant suite à la montée en puissance des ordinateurs

  31. N° 31 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Algorithmes de génération Algorithmes utilisés en fouille de données et classification Données binaires Table réduite • [Norris78][Bordat86] • [Gan84:NextCloure] • [Godin 91][Nourine99] ... • [Duq85: BC] • [Bertet.07:BCD] Base canonique (directe) Base informative (générique) Treillis de Galois (  treillis des fermés ou treillis de Galois) • [Godin94] • [Pas00:Close] • [Stum02:Titanic] • [Zaki02:Charm] • [Ham05:Prince] • [Floch03:Jen] • [Wild85] • [BertNeb03] • [Agra94:Apriori] Règles d'implication Règles d'association

  32. N° 32 Treillis Nancéens- 1er Décembre 2008 Karell Bertet Conclusion • Différentes terminologies pour différents usages: • Treillis algébriques: résultats structurels, classes de treillis (treillis démantelables, treillis dichotomiques, treillis issus de duplications, …) • Treillis des fermés: manipulation de règles / dépendances fonctionnelles / bases entre attributs • Treillis de Galois / des concepts: analyse de données de type objet x attributs / classification supervisée ou non « la mathématique est l'art de donner le même nom à des chosesdifférentes » (Poincaré) Importance du lien entre les objets issus de la théorie des treillis:  retombées algorithmiques

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