Jövő heti gyakorlat

1. Jövőhetigyakorlat • Nov. 16, péntek, 10:15, QBF10 • Előadó: SzabóMárton (iwiw) • Katalógus → házifeladatnakbeszámít

2. Komplex hálózatok modellezése

3. Miértvizsgálunkhálózatokat? • Hogyankeresed meg a kulcsod? • Hogyanfedezedföl a vidámparkot? • Hogyanterjednek a járványok?

4. Ismétlés: átmérő

5. Ismétlés: kisvilág-tulajdonság • Kéttetszőlegespontközöttiátlagostávolság a hálózatátmérőjéhezképestkicsi • Másképp: a hálózatpontjainakszámához (N) képest a pontokközöttiátlagostávolság (L) logaritmikusannő: • Szociálishálózatok • Internet • A komplexhálózatokraigaz a kisvilág-tulajdonság

6. Ismétlés: fokszámeloszlás

7. Ismétlés: skálafüggetlenség • A fokszámeloszlás hatványfüggvényt követ

8. Ismétlés: klaszterezettség • Globális klaszterzettség: • Lokális: icsúcsravonatkozóan (ki: ifokszáma, Ni: a szomszédaiközthányélmegy) • nempontugyanaz a kettő! alacsonyklaszterezettségmagasklaszterezettség

9. Mi a cél? Olyanmodellttalálni, amirendelkezik a komplexhálózatoktulajdonságaival. • Kisátmérő • Kisvilág • Skálafüggetlen • Nagy klaszterezettség • Növekedés Mitjelentenekezek pl. az WWW-ben?

10. Erdős-Rényi modell Azelsőpróbálkozás: mindenhálózatvéletlen Kialakulás: 1950-es évekvége ErdősPál, RényiAlfréd: On random graphs (1959) Probabilistic method megalapozása Egy n csúcsteljesgráfban nincsegyszínű r-klikk

11. A G(n,p) gráf generálása

12. Az ER modell • A videókat frame-enkéntlejátszvalátható, hogy a G(40,p) gráfhogyanalakul a p paraméterfüggvényében • Figyeljük meg kétkritikuspontot: megjelenikazóriáskomponens, majdösszefüggőlesz a hálózat • Óriáskomponens: nagyjából ahol , azaz környékén • Hirtelenösszefüggőlesz a hálózat: nagyjábólkörnyékénvárhatjuk • Lásd a határfüggvényekrőlszólórészt

13. Az ER tulajdonságai Átlagos fokszám • Élekszámánakvárhatóértéke: • Egypontfokszámánakvárhatóértéke: • Átlagosfokszám : Klaszterezettség • Nincsmagaslokálisklaszterezettség

14. Az ER modelltulajdonságai

15. Az ER tulajdonságai n=100, p=0.005 n=100, p=0.01 n=100, p=0.025

16. Az ER tulajdonságai összefüggő nem öf.

17. Holtartunkeddig Az ER egyszerűenleírható Széptulajdonságok Analitikusankönnyenszámolható Kisátmérő Kisvilág-tulajdonság Nincs: Lokálisklaszterezettségéslezártháromszögek Bármelykétcsúcsegymástólfüggetlenülu.a. valséggellétezik -> alacsonklaszterezettség Nemmagyarázzák meg a hubokképződését A fokszámeloszlás a Poissonhoz tart, a hatványeloszláshelyett Nemskálafüggetlen Növekedés

18. A Watts-Strogatz modell • Az ER modellhiányosságai: • Kislokálisklaszterezettség, kevésháromszög • Azéleketegymástólfüggetlenül, konstansvalószínűségelhúzzuk be → alacsonyklaszterezettségi • A hubokképződésétnemmagyarázza meg • A fokszámeloszlásPoissonhoz tart – a hatványfüggvényhelyett • Watts-Strogatz: • A legegyszerűbbmodell, amiaz 1. hiányosságotkiküszöböli • Megmagyarázza a klaszterezettséget, miközbenmegtartjaaz ER-ből a rövidutakat • Részbenmegmagyarázza a kisvilágjelenséget

19. A Watts-Strogatzmodell • Alapötlet: ismerősökhálózata • Közeliismerősök, akikjellemzőenegymást is ismerik • Néhánytávoliismerős • A WS(N,p,K) gráf • N a csúcsokszáma • K-reguláris a kiindulógráf • N >> K >> ln(N) >> 1 • p azélekújrahúzásának (rewiring) valószínűsége

20. A Watts-Strogatzmodell Algoritmus: • Kiindulás: egyK-reguláris ring lattice Ncsúcson • Sorbanmindenéletegymástólfüggetlenülpvalószínűséggeláthúzunkmáshova • egyenletesenválasztunk a szabadhelyekből • ne legyenpárhuzamoséléshurokél

21. A WS modell • n=30, k=6 gráfbólkiindulva: P=0.2 P=0.4 p=0.7 p=1

22. Finomhangolás p-vel p = 0 p ~ 1

23. A WS modell hátulütői 1. Fokszámeloszlás Watts-Strogatz Átl. k = K, P(k) ~ Poisson(k) Valóshálózat P(k) ~ k -γ

24. A WS modell hátulütői 2. Mechanizmus A WS feltevései: • Fix Ndbpont • Pedighálózatokfolytonnőnekvagyelfogynak • Minden életegyforma p valószínűséggelcserélünkkiegyújra • Ezsemhangziktúljól, a gazdagegyregazdagabblesz??

25. Holtartunkeddig A WS jólmegmagyarázza a klaszterezettséget Kisátmérő Kisvilág-tulajdonság Klaszterezettség Nemmagyarázzák meg a hubokképződését Mégmindignemskálafüggetlen Növekedés Preferenciáliskapcsolódás

26. Preferenciáliskapcsolódás Egynemzetségen (nem) belül a fajokszámánaknövekedése Canis sujtásos sakál(Canis adustus) aranysakál(Canis aureus) prérifarkas(Canis latrans) szürke farkas(Canis lupus) panyókás sakál(Canis mesomelas) vörös farkas vagy rőt farkas (Canis rufus) abesszin farkas más néven kaber, etióp róka vagy etióp sakál (Canis simensis) óriásfarkas(Canis dirus) - kihalt. A gazdagegyregazdagabblesz

27. Barabási-Albert modell • Kiindulás • Egynéhány (≥2) csúcsbólállógráf, amibennincsizoláltpont • Építkezés • Minden lépésbenegyújcsúcsotveszünkhozzá + mújélet • Egymármeglévőcsúcshozvalószínűséggelkapcsolódik • Arányos a fokszámmal • Nagyobbfokszámúcsúcshoznagyobbeséllyelkapcsolódik (preferenciáliskapcsolódás)

28. BA modell • 20 csomópontignövekedik • Preferenciáliskapcsolódás

29. Nemelég-e kevesebb? A modell: csaknövekedés • Elindulunkegynéhánycsúcsbólállógráfból • Minden lépésbenbeveszünkegyújcsúcsot + mélet • Minden újélnekegyenletesenválasztjuk a végpontját a meglevőcsúcsokközött • Exponenciálislecsengésűfokszámeloszlás • Nemskálafüggetlen B modell: csakpreferenciáliskapcsolódás • Indulás: N izoláltcsúcs, behúzunk 1 élet • Minden lépésbenvál. egycsúcsot, a mármeglévőfokszámmalarányosvalsózínűséggelhozzákötjükvalamelyikmásikhoz () • Kezdetbenskálafüggetlennektűnőeloszlás, egyretöbbélbehúzásávalnormálishoz tart

30. A BA modelltulajdonságai • Fokszámeloszlás • P(k) ~ k-3 • Valóbanhatványfüggvény http://discopal.ispras.ru/images/c/c9/Barabasi-Albert_model.pdf • Skálafüggetlen • Kisvilág-tulajdonságú

31. A BA modelltulajdonságai Klaszterezettség • Analitikusannemlehetszámolni • Szimuláció: <k>=4 véletlengráfokkalösszehasonlítva • Véletlengráfokban: • BA-ban: • A hálózatméretévelcsökken • Megfigyelthálózatok: független a hálózatméretétől

32. Holtartunkeddig A BA modellazeddigilegjobbpróbálkozás Kisátmérő Kisvilág-tulajdonság Skálafüggetlenség Növekedés Preferenciáliskapcsolódás A klaszterezettség a hálózatméretévelcsökken Nemfüggetlen

33. Összefoglalás nov. 16. gyakorlat!