LOGIKA 2. Előadás

1. LOGIKA 2. Előadás Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

2. Elérehetőség: • aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ • szilagyi@aszt.inf.elte.hu Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA TECHNIKAI ADATOK

3. Az emberi gondolkodás vizsgálata A logika a következtetés, a bizonyítás, és az érvelés tudománya A matematikai logika • Formalizálja azt a nyelvet, amin a matematikai állításokat megfogalmazzuk • Szabályokat állít fel, hogy az állításokból új állításokra következtessünk • Állításformákat elemez • Bizonyítási módszereket fejleszt ki A TANTÁRGY TÉMÁJA

4. Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 0. rendű logikai törvények • Szemantikus következmény • Normálformák • Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 1. rendű logikai törvények • Szemantikus következmény • Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció) TEMATIKA

5. Egy axiómarendszerrel szemben azok a legfontosabb követelések merültek fel, hogy legyen • Ellentmondásmentes (konzisztens): levezethető-e egy állítás és annak tagadása is • teljes: minden állítást vagy igazolni, vagy cáfolni lehessen • eldönthetőség: az elmélet bármely állításáról eldönthető, hogy levezethető-e vagy sem ALAPFOGALMAK

6. NYELV=ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA ABC:Szimbólumok tetszőleges nemüres halmaza Pl.: V={0,1} Szavak: Egy abc elemeiből álló véges sorozat Pl.: 01010001 V*: V abc elemeiből alkotott szavak halmaza Pl.: {0,1,00,01,10,11, …} V abc feletti formális nyelv (L): V* egy tettszőleges részhalmaza Pl.: {0,1,00,11,000,111} Kérdés: Van-e olyan szabályrendszer, amivel L elemei megadhatóak? Szintaxis (Nyelvtan, L nyelvé): Olyan szabályok összessége, mely megadja, hogy melyek az L nyelv kifejezései (szavai) Szemantika (Jelentés, L nyelvé): Megadja, hogy mi az L- beli szavak jelentése ALAPFOGALMAK: FORMÁLIS NYELV

7. A gondolkodás egyik közismert formája a következtetés Definíció: Gondolkodásforma vagy következtetésforma egy F = {A1, A2,…,An} állításhalmaz és egy A állításból álló (F,A) pár. Megjegyzések: • Az állítás adott körülmények között lehet igaz (i) vagy hamis (h). Ezt az értéket az állítás igazságértékének nevezzük. • Nem tartalmi, oksági szempontból ragadjuk meg a következtetést, hanem az igazságérték megtartásának szempontjából. Kritérium: Mikor helyes egy következtetés Helyes következtetésforma egy (F,A) pár, ha minden olyan esetben, amikor az F-ben minden állítás igaz, a következmény állítás is igaz. ALAPFOGALMAK : KÖVETKEZTETÉS

8. Eldöntésprobléma: Egy olyan feladat, melynek megoldása egy eldöntendő kérdésre adott igen, nem válasz. Döntési eljárás: Az eldöntésprobléma megoldására kidolgozott módszer. Kérdés: Létezik-e olyan univerzális döntési eljárás, mely egy általában végtelen osztály minden elemét eldönti, azaz egy igen / nem választ képes adni a vele kapcsolatban felmerült döntési problémára ALAPFOGALMAK : ELDÖNTÉSPROBLÉMA

9. Tárgya Az egyszerű állítások és a belőlük logikai műveletekkel kapott összetett állítások vizsgálata (könyv 19 és 28-33 oldalak). Definíció: Egyszerű állítás • Logika fontos alapfogalma • Valamely kijelentő mondat információtartalma Definíció: Állításjel Az egyszerű állításhoz rendelt azonosító (Pl,: E: Esik az eső.) Definíció : Igazságérték Egy állítás információ tartalmat jellemezzük két értékkel: igaz, hamis értékekkel, melyeket igazságértéknek nevezünk • Igaz egy állítás: ha információtartalma megfelel a valóságnak, • Hamis egy állítás: ha információtartalma nem felel meg a valóságnak Az igazságérték meghatározásának módszerei: • megfigyelés, kísérletezés, általánosítás • az egyes tudomány területeken elért eredmények vizsgálata ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS

10. Egy kosárban öt alma van. Az almákat úgy kell elosztani öt ember között, hogy mindenki kapjon egy almát és a kosárban is maradjon egy. Hogyan csinálnád? FEJTÖRŐ

11. Definíció : klasszikus kétértékű logika Olyan logika, melyben • Az állítás információ tartalma egyértelműen eldönthetőnek kell legyen: igaz vagy hamis • Ellentmondás elve: az állítás nem lehet egyszerre igaz is és hamis is • Dichotómia, kétértékűség, harmadik kizárt elve: nem lehet, hogy egy állítás sem nem igaz sem nem hamis, az igazságértékek objektívek, és az időtől függetlenek • A következtetésnél leírt fő jellemzők érvényesek A köznapi nyelvben használt kijelentések általában nem állítások. ITÉLETLOGIKA: EGYSZERŰ ÁLLITÁS

12. A köznapi nyelvben és a matematikában is kötőszavak segítségével az egyszerű állításokból összetett állításokat (ítéleteket) képezünk. Pl.: Ha esik az eső, akkor nem megyünk kirándulni. E: Esik az eső, K: Kirándulni megyünk E   K Definíció: Összetett állítás Összetett állítás egy egyszerű állításokból álló összetett mondat, amelynek az igazságértéke csak a benne szereplő egyszerű állítások igazságértékeitől függ. Ezért az összetett állítások csak olyan nyelvtani összekötőszavakat tartalmazhatnak amelyek logikai műveleteknek feleltethetők meg. ITÉLETLOGIKA: ÖSSZETETT ÁLLITÁS

13. A leggyakrabban használt kötőszavak a következők: ITÉLETLOGIKA: ÖSSZETETT ÁLLITÁS

14. A lehetséges kétváltozós logikai műveletek közös igazságtáblája. A táblázat tartalmazza a • 16 db. Lehetséges műveletet • 4.db.1-változósműveletet • 2.db. 0-változós műveletet Ezekből a logika tárgyalásánál a {,,,} műveleteket használjuk csak. LOGIKAI MŰVELETEK

15. 5. : kizáró vagy (X és Y közül pontosan az egyik) • 6.: Sheffer vonás (X és Y közül legalább az egyik nem) 7.: Peirce vonás (sem X , sem Y) LOGIKAI MŰVELETEK

16. Definíció: ítélet -vagy állítás - vagy logikai változók Olyan változók, melyek az állítások halmazát futják be. Az ítélet változók értékei igazság értékek. Jelölés: X,Y,Xn...(indexezve is). Definíció: Formalizálás Formulának nevezzük informálisan az olyan kifejezést, amelyet összetett állításból kapunk, úgy, hogy benne az • Az állítást kifejező egyszerű mondatot állításjelre cseréljük • Az összetett mondatot vele azonos értelmű összetett mondattá alakítjuk, úgy hogy a logikai összekötőknek megfeleljenek a nyelvi összekötők • Állításjeleket ítélet változókra cseréljük • A nyelvtani összekötőket pedig a megfelelő logikai műveletre cseréljük SZINTAXIS: Formalizálás

17. Példa: ‚Panni, Robi, és Sanyi készülnek a vizsgára.’ P: Panni készül a vizsgára R: Robikészül a vizsgára S: Sanyikészül a vizsgára Panni készül a vizsgára és Robi készül a vizsgára és Sanyi készül a vizsgára. P  R  S X Y Z SZINTAXIS: Formalizálás

18. Jelölések: V(x) = igaz, ha x programutasítások végrehajtódnak, hamis egyébként F: ítéletlogikai formula, feltétel Mit jelent: (F  V(p))  ( F  V(p) IF F THEN V(p) FEJTÖRŐ

19. Szerkezeti indukció elve Olyan definíció, ahol a definiálandó fogalmat (mondat, szó, formula,...) egy adathalmaz (ábécé) felett két lépésben definiálunk. • 1. (alaplépés)-ben, az adathalmaz bizonyos elemeivel azonosítjuk a definiálandó objektumot. • 2. (indukciós lépésben) a már definiált objektumokból és az ábécé további elemeiből, megadott szabályok szerint állítjuk elő az objektumokat. Például az aritmetikai kifejezés(term) definíciója. • 1. Egy x változó vagy egy aritmetikai konstans term. • 2. Ha t1, t2 termek, akkor (t1+t2), és (t1t2) is termek • 3. Az összes term az 1. és 2. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő. ELŐKÉSZITÉS: SZERKEZETI INDUKCIÓ

20. Szerkezeti rekurzió elve Pontosan egy olyan L0 –on értelmezett F függvény van, melynek 1. (alaplépés)-ben, értékeit rögzítjük L0 prímformuláin, és megmondjuk, hogy F 2. (rekurziós lépésekben) •  A-n felvett értéke az A-n felvett értékéből • Illetve (A  B) értéke, az A-n és B-n felvett értékekből hogyan származtatható ELŐKÉSZITÉS: SZERKEZETI REKURZIÓ

21. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Definíció: Az ítéletlogika abc-je: V0 Az ítéletlogika abc-je V0 a következő szimbólumokat tartalmazza: • ítélet- vagy állításváltozók (az állítások szimbolizálására). Esetenként logikai változónak is nevezzük ezeket a változókat. Jelölés: X,Y,Xn...(indexezve is).Az ítéletváltozók halmazát Vv jelöli. • logikai összekötőjelek: , , ,  vagy a jegyzetben még , esetleg . • elválasztójelek: ( ) SZINTAXIS: Az ítéletlogika leíró nyelve

22. Az ítélet- vagy állítás-logika nyelve , vagy 0-ad rendű logika nyelve Definíció: Az ítélet logika nyelve: L0 Az ítélet logika nyelve a V0 ábécé feletti legszűkebb olyan tulajdonságú szóhalmaz, amelynek: • V0 minden eleme egyúttal szava is. • ha S eleme a szóhalmaznak, akkor S is eleme. • ha S és T eleme a szóhalmaznak, akkor (ST) is eleme a szóhalmaznak, ahol  tetszőleges binér logikai összekötőjel. Belátható, hogy a definícióban hivatkozott szóhalmaz egyértelműen létezik. Nem minden szó tartozik a nyelvhez. Az ítéletlogikában a formulákat tanulmányozzuk. Szintaxis: A nyelvtanilag helyes mondatok szerkesztési szabályai. Szemantika: A nyelv mondatainak értelmezése. SZINTAXIS: Itéletlogika Nyelve

23. Definíció: L0 szintaxisa (szabályokkal definiáljuk) (könyv. 46.old. 4.1.2.def) 1. (alaplépés) minden ítéletváltozó ítéletlogikai formula. (prímformula) 2. (indukciós lépés) • Ha A ítéletlogikai formula, akkor A is az. • Ha A és B ítéletlogikai formulák, akkor (AB) is ítéletlogikai formula „” a három binér művelet bármelyike. 3. Minden ítéletlogikai formula az 1, 2 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő. TÉTEL: Lo nyelv minden eleme formula. TÉTEL: Nem minden Vo feletti jelsorozat ítéletlogikai formula (Lo ). Példa: Formula-e? • ((XY)Z) Nem • ((XZ)Y) Igen SZINTAXIS: Itéletlogika Nyelve

24. Definíció:Közvetlen részformula (könyv. 48.old. 4.1.6.def) 1. prímformulának nincs közvetlen részformulája. 2. A közvetlen részformulája, az A formula 3. Az (AB) közvetlen részformulái az A (baloldali) és a B (jobboldali) Például a ((ZX) Y) formula baloldali és jobboldali részformulái a (ZX) és Y. Definíció:Részformula Az A formula részformuláinak halmaza a legszűkebb olyan halmaz, melynek 1. Eleme A, és 2. Ha C formula eleme, akkor C közvetlen részformulái is elemei. SZINTAXIS: Részformula

25. A formulában található logikai összekötőjelek száma. Definíció:Logikai összetettség (szerkezeti rekurzió elve alapján) • Az X ítélet változó logikai összetettsége 0, azaz l(X) = 0 • l(A) = l(A)+1 • l(A◦B )= l(A)+l(B)+1 Példáula X logikai összetettsége 1, a ZX logikai összetettsége 2. Definíció:Logikai összekötőjel hatásköre Azon részformulá(k) közül a legkisebb logikai összetettségű, melye(ke)n az adott műveleteket el kell végezni (az adott művelet is előfordul). Definíció:Logikai műveletek prioritása ( precedenciasor) , , ,,  Példa: Határozzuk meg az egyes logikai összekötő jelek hatáskörét a fenti definíciók figyelembe vételével. ((AB)C)(DE) SZINTAXIS: Logikai összetettség

26. Definíció Fő logikai összekötőjel Az a logikai összekötőjel, melynek hatóköre maga a formula, azaz a formula előállítása során az utolsóként alkalmazott logikai jel. Definíció: A fő logikai összekötőjel típusa szerint a formula típusai: • A negációs • (AB) konjunkciós • (AB) diszjunkciós • (AB) implikációs SZINTAXIS: Formula típusa

27. Definíció: literál Ha X ítéletváltozó, akkor az X és a X formulákat literálnak nevezzük. Az ítéletváltozó a literál alapja. X és X azonos alapú literálok. Definíció: Elemi konjunkció: különböző literálok konjunkciója. XYWZ Definíció: Elemi diszjunkció: különböző literálok diszjunkciójaXYWZ (klóz). SZINTAXIS: Formula típusa

28. Definíció: Szerkezeti fa (könyv 49. oldal) Egy C formula szerkezeti fája olyan véges, rendezett fa, melynek: • csúcsai formulák • gyökere C • A-nak pontosan egy gyermeke van: A • A○B csúcsnak pontosan 2 gyermeke van: A és B • levelei prím formulák. Példa: Rajzold fel az ABCformula szerkezeti fáját! 1. ABC A BC B C SZINTAXIS: Szerkezeti fa

29. Definíció: Formula láncok (könyv 52-53. oldal) • konjunkciósformulaláncA(B(CD)) • diszjunkciós formulalánc A(B(CD)) • kettős implikációs formulaláncA(B(CD)) Asszociatívak,  jobbról balra zárójelezzük őket, de nem jelentenek mást • implikációs formulaláncA(B(CD))az implikáció nem asszociatív  jobbról balra zárójelezendő SZINTAXIS: Láncformulák

30. Algoritmus: Zárójel elhagyás algoritmusa (könyv 52-53. oldal) Zárójelelhagyás célja egy formulából a legtöbb zárójel elhagyása a formula szerkezetének megtartása mellett . • 1. a formula külső zárójel párjának elhagyása (ha még van ilyen) • 2. egy binér logikai összekötő hatáskörébe eső részformulák külső zárójelei akkor hagyhatók el, ha a részformula fő logikai összekötőjele nagyobb prioritású nála. Részletezve: • (A○B) nem hagyható el a zárójel, mert a negáció a legerősebb logikai összekötő jel • (A○B)(C○D) ha  gyengébb, mint ○, akkor a zárójelek elhagyhatóak Példa:(((XY)(YZ)) (XZ)) a zárójelelhagyás után (XY) (YZ)XZ SZINTAXIS: Zárójelezés

31. Hárman: Alíz, Béla és Cili beszélgettek. Alíz azt mondja: „Béla hazudik.” Béla azt mondja: „Cili hazudik.” Cili azt mondja: „Alíz és Béla hazudik.” Ki mond igazat, ki hazudik? FEJTÖRŐ

32. Hárman: Alíz, Béla és Cili beszélgettek. Alíz azt mondja: „Béla hazudik.” Béla azt mondja: „Cili hazudik.” Cili azt mondja: „Alíz és Béla hazudik.” Ki mond igazat, ki hazudik? Megoldás: Vizsgáljuk meg, melyik eset lehetséges: Alíz igazat mond, vagy Alíz hazudik. Ha Alíz igazat mond, akkor Béla hazudik, de akkor Cili igazat mond, ami nem lehet, hiszen Cili szerint Alíz hazudik. Ha Alíz hazudik, akkor Béla igazat mond, és Cili hazudik. Ebben nincs ellentmondás, mert az „Alíz és Béla hazudik.” állítás valóban hamis, hiszen Béla igazat mond. Tehát Alíz és Cili hazudik, Béla igazat mond. FEJTÖRŐ

33. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Két módon: 1) Szemantika megadásának lépései: a) Interpretáció (az ABC elemeihez rendel i / h értéket) b) Boole értékelés (szerkezeti rekurzió elve alapján a formulákhoz rendel i / h értéket ) • Igazságtábla (kiterjesztett, egyszerű; mohó / lusta kiértékelés) • Szemantikus fa 2)Szemantika megadása Igazságértékelés függvény és fa megadása a szerkezeti rekurzió elve alapján SZEMANTIKA

34. A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).   • Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni. • Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát. • Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk. • Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük: Emlékeztető: Formula • minden ítéletváltozó ( Vv)  JFF • ha AJFF akkor AJFF • ha A,BJFF akkor (A○B)JFF minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával. Egyszerű állításÖsszetett állítás interpretáció Boole-értékelés { i , h } { i , h } Formula jelentése mindig igazságérték! 1. SZEMANTIKA: Interpretáció

35. Definíció: Interpretáció Interpretáció: I:Vv{i,h} • I(X) jelöli az X változó értékét az I interpretációban. Az I interpretáció tehát változókiértékelés, amit igazságkiértékelésnek is hívnak. • n különböző változót 2n módon lehet interpretálni. Definíció: Formula bázisa Ítéletváltozók halmazának egy rögzített sorrendje. Egy formula véges sok ítéletváltozót tartalmaz és így a formula vizsgálatához csak ezeknek az interpretációja szükséges. Szerepeljenek egy formulában az {X,Y,Z} ítéletváltozók. E változók egy sorrendjét bázisnak nevezzük. Legyen most a bázis X,Y,Z. 1. SZEMANTIKA: Interpretáció

36. Definíció:Boole-értékelés BI(C) BI a formulákon értelmezett függvény. BI(C) a C formulához hozzárendeli annak helyettesítési értékét az adott I interpretációban. BI(C)-definíciójaszerkezeti rekurzióval: 1. A C formula ítéletváltozó BI(C)= I(C) 2. A C formula negációs BI(A)=  BI(A) A C formula (AB) alakú BI(AB)= BI(A)BI(B) Ez „egyértelmű”, a formula igazságértéke csak a benne szereplő ítéletváltozók interpretációjától függ. 1. SZEMANTIKA:Boole-értékelés

37. Definíció: Egy n-változós formula igazságtáblája egy olyan n+1 oszlopból és 2n+1 sorból álló táblázat, ahol, • a fejlécben: a bázis (a formula változói rögzített sorrendben) és a formula szerepel. • a sorokban • a változók alatt az interpretációk (a változók igazságkiértékelései), • a formula alatt a formula helyettesítési értékei találhatók. 1. SZEMANTIKA: Igazság tábla

38. A ((ZX) Y) formula igazságtáblája • Egy n-változósA formula az igazságtáblájával megadott b: {i,h}n{i,h} leképezést ír le. • (ZX) Y) és a (XYZ)(XYZ)(XYZ) formulák is ugyanezt a leképezést írják le. Egy formulához egyértelműen hozzátartozó az általa leírt leképezés, de egy leképezést leíró formula több is létezik. • Egy A formula igazhalmaza azon I interpretációk halmaz amelyekre a formula helyettesítési értéke igaz. (Ai) • Egy formula hamishalmaza azon I interpretációk halmaza amelyekre a formula helyettesítési értéke hamis.(Ah) 1. SZEMANTIKA: Igazság tábla

39. Kiterjesztett igazságtábla Olyan igazságtábla, mely ki vannak bővítve az egyes részformuláknak megfelelő oszlopokkal. Példa: A(BC) 1. SZEMANTIKA: Igazság tábla

40. Kiterjesztett egyszerűen A kiterjesztett igazságtábla egy olyan egyszerűsítése, melyben csak az egyes logikai jeleknek ill. ítélet változóknak megfelelő oszlopok vannak, és minden logikai jel alá a hatáskörébe tartozó részformula igazság értéke kerül bejegyzésre (ahol ő a fő logikai összekötő jel). Példa: A(BC) I. MOHÓ kiértékelési mód - mechanikusan II. LUSTA kiértékelési mód- egyes dolgokat felesleges kiértékelni- ha C igaz, akkor B-t nem kell kiértékelni- ha A hamis, akkor az implikáció mindig igaz. 1. SZEMANTIKA: Igazság tábla

41. Definíció: Szemantikus fa Egy n-változós szemantikus fa egy n-szintű bináris fa, ahol a szintek a bázisbeli változóknak vannak megfeleltetve. Egy X változó szintjén a csúcsokból kiinduló élpárokhoz X, X címkéket rendelünk: • Xjelentése X igaz • X jelentése X hamis Igyegy n-szintű szemantikus fa ágain az összes (2n ) lehetséges igazságkiértékelés (I interpretáció-igazságkiértékelés) megjelenik. Adott bázis esetén az összes interpretáció megadható, szemantikus fával. 1. SZEMANTIKA: Szemantikus fa

42. Példa: Szemantikus fa Szemantikus fa az X, Y, Z logikai változókra, mint bázisra. XX YY YY ZZ ZZ ZZ Z Z i iiii h i h i ih hhi i h i h hh i h hh 1. SZEMANTIKA: Szemantikus fa

43. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Két módon: 1) Szemantika megadásának lépései: a) Interpretáció (az ABC elemeihez rendel i / h értéket) b) Boole értékelés (szerkezeti rekurzió elve alapján a formulákhoz rendel i / h értéket ) • Igazságtábla (kiterjesztett, egyszerű; mohó / lusta kiértékelés) • Szemantikus fa 2)Szemantika megadása Igazságértékelés függvény és fa megadása a szerkezeti rekurzió elve alapján SZEMANTIKA

44. Egy n-változós A formula az igazságtáblájával megadott b: {i,h}n{i,h} leképezést ír le. • Egy formula igazhalmaza/hamishalmaza előállítható rekurzív módon is. • Ennek eszköze a formulákon értelmezett Aigazságértékelés függvény (= i vagy h), amely a különböző formulák esetén az igazságtábla felírása nélkül megadja a formula közvetlen részformuláin keresztül az A interpretációia vonatkozó Ai és a Ah feltételeket, amelyeket teljesítő interpretációkban a formula értéke i vagy h lesz. 2. SZEMANTIKA: Igazságértékelés függvény

45. A szabályok grafikus ábrázolása (A) i(AB) i (AB) i (AB) i Ah AiAiBiAhBi Bi 2. SZEMANTIKA: Igazságértékelés fa

46. Ai: AAi • Ah: AAh • Ai / Ah megadása a gyakorlatban az igazságértékelés fával történik. Az igazságérétkelés fát a szerkezeti fa segítségével állítjuk elő: • gyökér: a formula maga és i/h halmaz keresése • gyerekek: a formula közvetlen részformulái a fenti formában. 2. SZEMANTIKA: Igazságértékelés függvény

47. 2. SZEMANTIKA: Igazságértékelés függvény