METODE RESPON FREKUENSI

1. METODE RESPON FREKUENSI

2. PENDAHULUAN • Respon Frekuensi adalah tanggap keadaan tunak suatu sistem terhadap masukan sinusoida. • Kelebihan dari pendekatan respons frekuensi dalam mencari kriteria kestabilan adalah tidak perlu lagi menentukan akar-akar persamaan karakteristik. • Kelebihan lainnya adalah bahwa pengujian respon frekuensi pada umumnya sederhana dan dapat dilakukan secara teliti dengan menggunakan pembangkit sinyal sinusoida yang telah tersedia dan alat-alat ukur yang teliti. • Seringkali fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat ditentukan secara eksperimental dengan pengujian respon frekuensi. • Korelasi antara respon frekuensi dan transien adalah tidak langsung, kecuali untuk sistem orde kedua.

3. x(t) y(t) G(s) X(s) Y(s) Keadaan Tunak thd masukan sinusoida • Karakteristik respon frekuensi suatu sistem dapat diperoleh secara langsung dari fungsi alih sinusoida, yaitu fungsi alih yang diperoleh dengan mengganti s dengan jw (frekuensi). • Tinjau sistem linier parameter konstan, dengan masukkan x(t) adalah sinusoida: x(t) = X sin wt • Misal fungsi alih G(s) dapat ditulis sebagai perbandingan dua polinomial dalam s, yaitu:

4. Selanjutnya transformasi Laplace keluaran Y(s) adalah : dimana X(s) adalah transformasi Laplace dari masukan x(t) • Untuk sistem yang stabil, bagian nyata dari si adalah negatif dan respon keadaan tunak sistem linier stabil parameter konstan terhadap masukan sinusoida tidak tergantung pada syarat awal (syarat awal nol). • Jika Y(s) hanya terdiri dari kutub-kutub yang berbeda, maka persamaan dapat diurai secara parsial menjadi:

5. dimana a dan bi adalah konstanta-konstanta dan a adalah konjugasi kompleks dari a. • Transformasi Laplace balik dari persamaan memberikan: • Untuk sistem stabil si mempunyai bagian nyata negatif. Oleh karena itu jika t mendekati , maka e-st mendekati nol, maka respon keadaan tunak sistem adalah: dimana konstanta a dapat dihitung sebagai berikut:

6. Dengan cara yang sama, konjugasi a : • Karena G(jw) adalah besaran kompleks, maka dapat ditulis dalam bentuk: dimana |G(jw)| menyatakan besar dan  menyatakan sudut dari G(jw). • Dengan cara yang sama, ekspresi untuk G(-jw): • Selanjutnya persamaan dapat ditulis:

7. dimana Y = X|G(jw)|. • Kita lihat bahwa suatu sistem linier stabil parameter konstan yang dikenai masukan sinusoida, pada keadaan tunak, akan mempunyai keluaran sinusoida dengan frekuensi yang sama dengan masukan. • Tetapi amplitudo dan fasa dari keluaran, pada umumnya berbeda dengan masukan. • Amplitudo keluaran merupakan hasil kali amplitudo masukan dengan |G(jw)|, sedangkan sudut fasa berbeda dari masukan sebesar  = G(jw)

8. untuk masukan sinusoida: • Sudut fasa negatif disebut fasa ketinggalan (phase lag), sudut fasa positif disebut fasa mendahului (phase lead)

9. Sistem Masukan Keluaran Gelombang Sinus Gelombang Sinus Respons frekuensi menggambarkan besar dari gelombang sinus keluaran bervariasi sebagai fungsi dari frekuensi gelombang sinus masukan.

10. x(t) y(t) SOAL Tinjau sistem dibawah ini: Untuk masukan sinusoida x(t) = X sin wt , maka gambarkan fungsi keluarannya y(t). Jawab: • Fungsi alih G(s) adalah: • Dengan mensubstitusikan s=jw pada G(s) diperoleh:

11. Perbandingan amplitudo keluaran terhadap masukan adalah: • Sedangkan sudut fasa  adalah : • Jadi, untuk masukan x(t) = X sin wt , keluaran y(t) dapat diperoleh sebagai berikut: • Dapat dilihat bahwa untuk w yang kecil, amplitudo keluaran y(t) hampir sama dengan K kali amplitudo masukan. Pergeseran fasa keluarannya adalah kecil untuk w yang kecil.

12. Untuk w yang besar, amplitudo keluarannya kecil dan hampir berbanding terbalik dengan w. Pergeseran fasa keluarannya mendekati -90° jika w mendekati tak terhingga.

13. Respon frekuensi dari diagram kutub-nol • Respon frekuensi dapat ditentukan secara grafis dari diagram kutub-nol fungsi alih. • Tinjau fungsi alih berikut: dimana p dan z adalah nyata. • Respon frekuensi dapat ditentukan dari : • Besar G(jw) adalah :

14. Dan sudut fasa G(jw) adalah

15. Dari analisis respon transien sistem loop tertutup, kita tahu bahwa pasangan konjugasi kompleks didekat sumbu jw akan menghasilkan mode osilasi respon transien yang tinggi • Pada respon frekuensi, pasangan kutub-kutub semacam itu akan menghasilkan puncak respon yang tinggi. • Sebagai contoh tinjau fungsi alih berikut: dimana p1 dan p2 adalah konjugasi kompleks, seperti diperlihatkan pada gambar berikut.

17. Karena |AP||BP| adalah sangat kecil di dekat w = w1 , maka |G(jw)| sangat besar. • Jadi sepasang kitub konjugasi kompleks di dekat sumbu jw akan menimbulkan puncak respon frekuensi yang tinggi. • Sebaliknya jika respon frekuensi tidak mempunyai puncak yang tinggi, maka fungsi alih tersebut tidak mempunyai kutub-kutub konjugasi kompleks di dekat sumbu jw. • Fungsi alih semacan ini tidak akan menunjukkan osilasi transien yang tinggi. • Karena respon frekuensi secara tidak langsung menunjukkan letak kutub dan nol dari fungsi alih, maka kita dapat memprediksi karakteristik respon transien suatu sistem dari karakteristik respon frekuensinya.

18. DIAGRAM BODE • Karakteristik respon frekuensi sistem kontrol dengan fungsi alih sinusoidal dicirikan oleh besar dan sudut fasa, dengan frekuensi sebagai parameternya. Ada tiga jenis penyajian : • Diagram Logaritmik atau Diagram Bode • Diagram Polar • Diagram Log Besar terhadap Fasa. • Fungsi alih sinusoida dapat disajikan dengan dua diagram yang terpisah: - Diagran besar terhadap frekuensi - Diagran sudut fasa terhadap frekuensi Keduanya digambar terhadap frekuensi dalam skala logaritmik.

19. Satuan yang digunakan dalam penyajian logaritmik adalah decibel (db): db = 20 log10 |G(jw)|. • Kurva-kurva digambarkan pada kertas semilog, dengan menggunakan skala log untuk frekuensi dan skala linier untuk besar (dalam dB) atau sudut fasa (dalam derajat). • Kelebihan utama penggunaan diagram logaritmik adalah bahwa perkalian dapat diubah menjadi penjumlahan. • Penentuan fungsi alih secara eksperimental dapat dipermudah jika data respon frekuensi disajikan dalam bentuk diagram logaritmik. • Penyajian logaritmik berguna dalam menunjukkan karakteristik fungsi alih baik pada frekuensi rendah maupun pada frekuensi tinggi dalam satu diagram.

20. Faktor-faktor Dasar dari G(jw)H(jw) Faktor-faktor dasar yang sangat sering terdapat pada suatu fungsi alih sembarang G(jw)H(jw) adalah: • Penguatan K • Faktor integral dan turunan (jw)1 • Faktor orde pertama (1 + jwT)1 • Faktor kuadratik [1 + 2(jw/wn) + (jw/wn)2]1 • Buat bentuk umum setiap G(jw)H(jw) dengan membuat sketsa kurva untuk setiap faktor dan menyusun diagram logaritmik gabungan dengan menjumlah kurva-kurva individual secara grafis (penjumlahan logaritma penguatan berkaitan dengan mengalikan). • Proses untuk mendapatkan diagram logaritmik selanjutnya dapat disederhanakan dengan menggunakan pendekatan asimtotik pada kurva untuk setiap faktor.

21. Faktor Penguatan K • Setiap angka yang lebih besar dari satu mempunyai harga positif dalam decibel, sedangkan angka yang lebih kecil dari satu mempunyai harga negatif. • Kurva log-besar untuk suatu penguatan K yang konstan merupakan garis lurus horisontal dengan besar 20 log K db. • Sudut fasa dari penguatan K adalah nol. • Pengaruh perubahan penguatan K pada fungsi alih adalah menaikkan atau menurunkan kurva log-besar dari fungsi alih tersebut sesuai dengan besar 20 log K , tetapi tidak mempunyai pengaruh pada sudut fasa. • Gambar berikut memperlihatkan garis konversi bilangan-decibel dimana harga decibel setiap bilangan dapat diperoleh dari garis ini.

22. Jika bilangan membesar dengan faktor 10, maka harga decibel membesar dengan faktor 20. Bisa dibuktikan dengan 20 log (K x 10n) = 20 log K + 20n • Kebalikan suatu bilangan : 20 log K = - log (1/K)

23. Faktor Integral dan Turunan (jw)1 • Besar logaritmik dari 1/jw dalam db adalah : 20 log |1/jw| = -20 log w db sudut fasa dari 1/jw adalah konstan (-90°). • Pada diagram logaritmik, perbandingan frekuensi dinyatakan dalam bentuk oktaf atau dekade. • Oktaf adalah pita frekuensi dari w1 sampai 2 w1 , dimana w1 adalah suatu harga frekuensi sembarang. • Dekade adalah pita frekuensi dari w1 sampai 10w1 dimana w1 juga merupakan suatu frekuensi sembarang. • Pada kertas semilog, setiap perbandingan frekuensi dapat dinyatakan dengan jarak horisontal yang sama. Misalnya jarak horisontal dari w = 1 sampai w = 10 sama dengan jarak horisontal dari w = 3 sampai w = 30.

24. Jika log besar -20 log w db digambar terhadap w pada skala logaritmik, akan diperoleh suatu garis lurus. Karena: (-20 log 10 w) db = (-20 log w -20) db • Maka kemiringan garis tersebut adalah: -20 db/dekade atau -6 db/oktaf • Dengan cara yang sama, log besar dari jw dalam db adalah: 20 log |jw| = 20 log w db • Sudut fasa dari jw adalah konstan (90°). • Kurva log-besar tersebut merupakan suatu garis lurus dengan kemiringan 20 db/dekade. • Gambar berikut menunjukkan kurva respon frekuensi masing-masing untuk 1/jw dan jw.

25. Kurva respon frekuensi dari 1/jw Kurva respon frekuensi dari jw

26. Kedua log-besar tersebut menjadi sama dengan 0 db pada w=1. • Fungsi alih mengandung faktor (1/jw)n atau (jw)n , maka besar log-besar masing-masing menjadi: atau • Selanjutnya kemiringan kurva log-besar masing-masing adalah -20n db/dekade dan 20n db/dekade. • Sudut fasa dari (1/jw)n adalah -90° x n di seluruh daerah frekuensi, sedangkan sudut fasa dari (jw)n adalah 90° x n di seluruh daerah frekuensi.

27. Faktor Orde Pertama (1+jwT)1 • Log-besar dari faktor orde pertama : adalah • Untuk frekuensi rendah, w<< 1/T , log-besar dapat didekati dengan: Jadi kurva log-besar untuk frekuensi rendah konstan 0 db. • Untuk frekuensi tinggi, w >> 1/T Pada w=1/T  log-besar = 0 db; pada w=10/T  log-besar = -20 db (-20 db/dekade).

28. Jadi harga -20 log wT mengecil 20 db setiap dekade dari w. • Untuk w >> 1/T, kurva log-besar menjadi suatu garis lurus dengan kemiringan -20 db/dekade(-6 db/oktaf). • Penyajian logaritmik kurva respon frekuensi dari faktor : 1/(1+jwT) dapat didekati dengan dua buah garis lurus asimtot: - Garis lurus 0 db untuk daerah frekuensi 0 < w < 1/T - Garis lurus dengan kemiringan -20 db/dekade (1/T < w < ). • Frekuensi pada perpotongan dua asimtot disebut frekuensi patah (break/corner frequency), yaitu w = 1/T. • Frekuensi patah membagi kurva respon frekuensi menjadi dua daerah: frekuensi rendah dan frekuensi tinggi.

29. Sudut fasa dari faktor 1/(1 + jwT) adalah  = - tan-1wT • Pada frekuensi nol, sudut fasa =0. • Pada frekuensi patah, sudut fasanya adalah • Di titik tak terhingga, sudut fasa =-90°. • Karena sudut fasa dinyatakan oleh fungsi tangen balik, maka sudut fasa akan simetrik pada titik infleksi di =-45°.

31. 3dB 5º

32. SOAL Filter RC R Vi C Vo Fungsi pindah:

33. 1/RC 1/RC Fasa frek. rendah = 0° Fasa frek. Tinggi -90° Fasa turun menjadi -90° pada bagian kutub Bode plot Kemiringan 20 dB/dec dimulai dari frek. kutub Mag (dB) Phase (deg)

34. Bode plot - single zero 20 Kemiringan +20 dB/dec Mag, dB 0 w 90 Phase, deg 0 w

35. Low freq gain (diperoleh pada s=0) Kemiringan -20 dB/dec Bode plot - Single pole 0 Mag, dB -20 w 0 Phase, deg -90 t w 1/10

36. SOAL Buat diagram Bode untuk setiap kutub/nol secara terpisah, Kemudian gabungkan untuk memperoleh hasil akhir. Jawab: Dua kutub: s = -1, dan s = -5 Satu nol: s = -2

37. .2 2 20 20 Mag, dB 0 -20 w 90 Phase, deg 0 -90 0.1 1 10 100 w

38. 20 Mag, dB 0 -20 w 90 Phase, deg 0 -90 0.1 1 10 100 w

39. .5 5 50 20 Mag, dB 0 -20 w 90 Phase, deg 0 -90 0.1 1 10 100 w

40. .2 .5 2 5 20 50 Overall response is sum of component responses 20 Mag, dB 0 -20 w 90 Phase, deg 0 -90 0.1 1 10 100 w