Heteroskedasticni model volatilnosti

1. Heteroskedasticni model volatilnosti Milan Cvetkovic cvele87nis@hotmail.com Matematicki institut SANU

2. 1. Uvod • Jedan od najpoznatijih oblika rizika je trzisni rizik ili neizvesnost u promenama cena akcijama. Smatra se da je trzisni rizik najveci rizik, koji je prisutan u investicionom poslovanju akcijama. Najcesci uzroci promena cena su nesklad u ponudi i potraznji na trzistu i promena kamatnih stopa. • U strucnoj terminologiji koristi se rec volatilnost, kako bi se direktno opisao rizik promene vrednosti akcije ili nekog drugog finansijskog derivata. Volatilnost predstavlja mehanizam za merenje rizika i upravljanje njime, a koristi se i za procenu vrednosti derivata, upravljanje aktivom i za optimizaciju portfolija. • Sa matematickog gledista, sto ce kasnije biti i detaljno predstavljeno, volatilnost predstavlja uslovnu standardnu devijaciju prinosa, a analiticki modeli koje koristimo, da bismo je prikazali su: ARCH i GARCH. • Americki ekonomista Robert Fry Engle III, je prvi predstavio ovakve koncepte za proveru volatilnosti. 2003. godine dobija, zajedno sa profesorom Clive Grangero-om Nobelovu nagradu u ekonomiji za “Metode analiziranja ekonomskih vremenskih serija sa vremenski promenljivom volatilnoscu (ARCH)”.

3. 2. Volatilnost • U ekonomskom smislu, pod volatilnoscu se podrazumeva mera nepredvidive promene neke promenljive u odredjenom vremenskom periodu. • Najcesce se racuna kao standardna devijacija promene cene. • Promenljivost je obicno izrazena na godisnjem nivou i to moze biti ili apsolutni broj ($ 5) ili deo srednje vrednosti (5%). • Najjednostavniji pristup proceni volatilnosti je da se koristi standardna devijacija (historic standarddeviation). • Sluzbena matematicka vrednost volatilnosti je oznacena kao “godisnja standardna devijacijadnevnih promena cena akcija". • Specijalna osobina volatilnosti akcije je ta da ona nije direktno vidljiva. • Dnevnilog prinos neke akcije, dat je na sledeci nacin (ln(1+Rt)). • Na trzistu opcija, ako prihvatimo pretpostavku da cene zadovoljavajuBlack-Scholes-ov model, onda mozemo koristiti cenu, da bismo izracunali volatilnost (to je tzv.Implicitna volatilnost (implied volatility)).

4. 3. Uopsteni modelvolatilnosti

5. 4. Istorijska volatilnost • Istorijska volatilnost (historic volatility) se odredjuje iz vremenskih serija proslosti trzisne cene. • Standardna devijacija je najcesci, ali ne i jedini nacin da se izracuna istorijska volatilnost. • To je mera fluktuacije cena akcija i meri se tako sto se uzima u obzir svakodnevni procenat promene cene akcije i izracunava se prosecni procenat tokom odredjenog vremenskog perioda. • Matematicke jednacine za SD i za pripadajucu volatilnost su: • Ocena volatilnosti na osnovu vremenske serije stopa prinosa sredstava, predstavlja najjednostavniji pristup; ocenjena vrednost se uzima istovremeno i kao predvidjena vrednost za sve buduce periode.

6. 5. Implicitna volatilnost • Implicitna volatilnost je trenutna nestabilnost akcija i procenjuje se po ceni opcije, koja se pise za predmetnu akciju. • Na primer, ako je data evropska kupovna opcija za koju su poznati podaci o tekucoj ceni sadrzanog sredstva, o ugovorenoj ceni, o vremenu dospeca, o kamatnoj stopi i stopi dividende, i ako je poznata stvarna vrednost opcione premije, tada se izBlack-Scholes-oveformule za evropsku kupovnu opciju moze, primenom numerickog postupka, izracunati implicitna volatilnost:

8. 7. ARCH (q) model

13. 8. Literatura • [1] Tsay Ruey (2005): Analysis of financial time series, second edition, • ISBN: 13 978-0-471-69074-0 • [2] Desnica Zoranka (2009): Vremenske serije u finansijama: ARCH i GARCH, • Novi Sad, Master teza • [3] Engle F. Robert (1982): Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with • Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation, Econometrica, Vol. 50, • No.4. pp. 987-1008 • [4] Rossi Peter (1996): Modelling stock market volatility, ISBN 0-12-598275-5 • [5] BollerslevT. (1986): GeneralizedAutorregressiveConditional • Heteroskedasticity, JournalofEconometrics, 31, 307-327.