Etude de deux systèmes chaotiques

1. Pendule Double et Circuit de Chua Etude de deux systèmes chaotiques Bérut Antoine Lopes Cardozo David

2. Plan • Pendule double • Dispositif expérimental 1) Problèmes mécaniques 2) Problèmes d’acquisition B) Exploitation des données • Circuit de Chua A) Trois circuits de Chua B) Résultats escomptés

3. Montage Butées des potentiomètres : 10 tours maximum • Longueur des barres : • supérieure : 20 cm • inférieure 25 cm

4. Principe de l’acquisition • Les potentiomètres varient entre : • 0 et 10 kΩ pour l’angle supérieur • 0 et 20 kΩ pour l’angle inférieur • Pont équilibré dans la position de repos du pendule.

5. Choix de la position initiale

6. Vidéo d’un lancé

7. Premières acquisitions

8. Tentative de traitement Dérivée brute Avec 70 lissages numériques

9. Amélioration du circuit d’acquisition Filtre passe-bas à 45Hz Amplification gain 10

10. Résultats Une des trois séries d’acquisitions (en haut l’angle inférieur, en bas l’angle supérieur)

11. Traitement numérique Portrait de phase avec un filtre numérique à 2Hz Décalage entre modèle et courbe expérimentale

12. Portraits de phase(angle 1)

13. Portraits de phase (angle 2)

14. Doublement de période (portrait de phase)

15. Doublement de période (sur les courbes) Angle du portrait de phase précédent Les trois autres angles

16. Circuit de Chua non autonome C1 = 10 nF, C2 = 100 nF, R = 2kΩ réglable, RN1 = 22 kΩ, RN2 = 22 kΩ, RN3 = 3,3 kΩ, RN4 = 220Ω, RN5 = 220Ω, RN1 = 2,2 kΩ, Deux AO AD712 alimentés à ± 12 V. Source : article « A new non-autonomous version of Chua’s circuit » par Recai Kiliç, Ö. Galip Saraçoglu et Fatma Yildirimb (Journal of the Franklin Institute 2006).

17. Circuit de Chua simple Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits and systems, vol 35, n° 12, décembre 1988).

18. Circuit de Chua autonome Source : article “ A simple circuit to demonstrate bifurcation and chaos” par Hobson et Landbury.

19. Résistance négative non linéaire Schéma d’une résistance négative d’impédance Z (a) et sa caractéristique attendue (b). Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits and systems, vol 35, n° 12, décembre 1988).

20. Résultats potentiellement atteignables A period-4 attractor The single scroll attractor A period-3 attractor The double scroll attractor

21. Conclusions Caractéristiques du chaos mises en évidence : • Sensibilité aux conditions initiales • Doublement de période Données théoriques, non obtenues expérimentalement : • Caractère déterministe du chaos • Attracteur étrange